Chiarimento sull'Entropia

[_Tyrant_]

Ho un dubbio riguardante l'entropia e volevo esporvelo.
Sia ha una massa $ M = 1Kg $ di acqua che si trova ad una temperatura $ T\_1 =280K $ e che viene portata a temperatura $ T\_2=360K$.
a) Determinare la variazione di entropia dell’universo se l’acqua a $ T\_1 $ è posta inizialmente a contatto con una sorgente a temperatura $ T\_a $ (con $ T\_1 $ < $ T\_a $ < $ T\_2 $) fino al raggiungimento dell’equilibrio, quindi con una sorgente a temperatura $ T\_2 $, con $ T\_a $ = $ (T\_1 + T\_2)/2$.
b) Determinare la temperatura $ T\_a $ che rende minima la variazione di entropia dell’universo.

Il primo punto sono riuscito a farlo senza problemi usando il fatto che $ T\_a $ è una sorgente quindi $ Delta S\_a=-(Qass)/T\_a $. Non riesco bene a fare il ragionamento logico per il secondo punto e volevo sapere cosa ne pensavate a proposito.
Grazie mille in anticipo per le risposte!

[Faussone]

Attenzione che la variazione di entropia dell'universo è pari alla somma della variazione di entropia delle sorgenti più la variazione di entropia del corpo, il cui calcolo richiede un integrale (da quanto hai scritto sembra non l'abbia calcolata così, se hai fatto così allora è ok).
Sul secondo punto non vedo difficoltà, lasci incognita quella temperatura, scrivi la conseguente variazione di entropia dell'universo in funzione di quella temperatura e trovi poi il minimo della funzione.

[_Tyrant_]

Nel primo punto ho utilizzato sia la formula per la variazione di entropia della sorgente, che è quella che ho scitto sopra, sia quella del corpo che avendo calcolato diventa:

Andando $ T\_1 $ a $ T\_a $:
$ Q\_1=Mc(T\_a-T\_1) $
$ Delta S\_1=Mcint_()^ () (dQ)/(dT) =Mcln(T\_a/T\_1) $
$ Delta S\_a=-Q\_1/T\_a $

Andando $ T\_a $ a $ T\_2 $:
$ Q\_2=Mc(T\_2-T\_a) $
$ Delta S\_2=Mcint_()^ () (dQ)/(dT) =Mcln(T\_2/T\_a) $
$ Delta S\_2=-Q\_2/T\_2 $

[Faussone]

"_Tyrant_":Nel primo punto ho utilizzato sia la formula per la variazione di entropia della sorgente, che è quella che ho scitto sopra, sia quella del corpo che avendo calcolato diventa:

Andando $ T\_1 $ a $ T\_a $:
$ Q\_1=Mc(T\_a-T\_1) $
$ Delta S\_1=Mcint_()^ () (dQ)/(dT) =Mcln(T\_a/T\_1) $
$ Delta S\_a=-Q\_1/T\_a $

Andando $ T\_a $ a $ T\_2 $:
$ Q\_2=Mc(T\_2-T\_a) $
$ Delta S\_2=Mcint_()^ () (dQ)/(dT) =Mcln(T\_2/T\_a) $
$ Delta S\_2=-Q\_2/T\_2 $

Bene giustissimo, quindi era solo una mia impressione data da quanto avevi scritto all'inizio che avessi dimenticato l'altro termine.

A questo punto ci sei anche per il secondo punto, ti rimando a quanto ho scritto prima nella seconda parte allora.

[_Tyrant_]

Ma nel caso sarebbe corretto siccome:

$ Delta S\_u=Delta S\_1+Delta S\_2 $

fare i minimi di $ Delta S\_1 $ e $ Delta S\_2 $ separatamente per trovare il minimo di $ Delta S\_u $?

[Faussone]

"_Tyrant_":Ma nel caso sarebbe corretto siccome:

$ Delta S\_u=Delta S\_1+Delta S\_2 $

fare i minimi di $ Delta S\_1 $ e $ Delta S\_2 $ separatamente per trovare il minimo di $ Delta S\_u $?

Certo che no.
Qui si tratta di analisi elementare, se fai i minimi separatamente trovi banalmente che il minimo si ha se la temperatura non varia e sia sempre $T_1$ e sempre $T_2$, un risultato privo di significato perché la $T_a$ deve essere in comune ovviamente.
(Ovviamente la variazione di entropia totale dopo le due trasformazioni del solo corpo è indipendente da $T_a$ quindi potresti solo considerare le sorgenti, non credo volevi dire quello, se così allora ok).