Chiarimento

[cavedio]

Salve a tutti,
la mia perplessità riguarda un passaggio utilizzato più volte sul mio libro di Meccanica Razionale, che io ho riprodotto in figura:



in particolare non riesco a capire come si arriva a questa uguaglianza.

Grazie in anticipo

[ELWOOD1]

nella parentesi del secondo membro c'è CP vettor cosa?

[cavallipurosangue]

Ah, stai cercando di ricavare la seconda cardinale, quello è un "pezzo". Chiaramente quell'uguaglianza vale solo nel caso di moti rigidi piani...

In ogni caso in generale un qualsiasi doppio prodotto vettorale:

$vecvwedge(vecuwedgevecw)=(vecvcdotvecw)vecu-(vecvcdotvecu)vecw$, ora però siccome nel tuo caso $vec\omegacdotvecCP=0$, vista l'ipotesi di moto piano rigido, ottieni la formula che dici... (occhio però a cosa metti nelle parentesi...)

[cavedio]

grazie cavallipurosangue, non riesco ancora a capire però, come arriva a scrivere il secondo membro. Non potresti gentilmente scrivere un accenno di dimostrazione?
Perchè le regole del triplo prodotto vettore le applico ma non capisco quel prodotto vettoriale in sospeso (CP^).
Nel libro è utilizzato prima per poter scrivere in modo alternativo la matrice di inerzia.

[cavallipurosangue]

Ma infatti quel prodotto vettoriale in sospeso è sbagliato di sicuro... Sarà un refuso di stampa... Spero...

[cavedio]

penso proprio di no...cmq grazie lo stesso!! Il cretino sono io che a ricevimento mi sono dimenticato di chiederlo al mio Professore che ora è ad un congresso....

[cavallipurosangue]

Vediamo se si riesce a tirar fuori qualcosa: per definizione in un sistema continuo omogeneo, dove $dm=rhodV$:

$vecK_C=rhoint_VCP_iwedgevecv_idV$

essendo poi per la formula fondamentale della cinematica rigida piana: $vecv_i=vecv_C+vecomegawedgeCP_i$, si ha:

$vecK_C=rhoint_VCP_iwedge(vecv_C+vecomegawedgeCP_i)dV=\rho[int_VCP_iwedgevecv_CdV+int_VCP_iwedge(vecomegawedgeCP_i)dV]=mCGwedgevecv_C+\rho[int_VCP_i^2dVvecomega+int_V(CP_icdotvecomega)Cp_idV]=mCGwedgevecv_C+I_C\vecomega$

Non so se volevi sapere questo o davvero la seconda cardinale, ma il metodo è lo stesso...