Chiarimenti teorici su forza gravitazionale, velocità di fuga e moto orbitale
Salve, sto studiando da autodidatta la Gravitazione Universale e penso di aver capito quasi tutto a grandi linee solo che ho qualche dubbio sulla teoria che spero mi verrà sciolto dai membri del forum 
.
Primo: Ho notato che negli esercizi del mio libro riguardanti la velocità di fuga (per esempio calcola la velocità minima di partenza per allontanarsi all'infinito da un pianeta di.....) viene sempre specificato che il corpo che deve allontanarsi dal pianeta viene lanciato "radialmente" dal pianeta (ovvero su una linea di campo gravitazionale).
Se non lanciassi radialmente il corpo, bensì con una certa inclinazione, la velocità minima di fuga sarebbe la stessa no? Poiché la formula sarebbe sempre
$1/2mv^2-G(Mm)/r=0$
Secondo: sempre sul mio libro si parla di velocità necessaria per l'entrata in orbita di un corpo prendendo in esempio solo casi di corpi lanciati già alla quota prevista per l'entrata in orbita.
Se invece lanciassi dal suolo il corpo con una certa velocità e con una certa pendenza , sarebbe possibile che esso entrasse in orbita ad una certa quota? Se si, a quali condizioni?
Terzo (ed ultimo
): (ammettendo vero il primo punto) se lanciassi perpendicolarmente ad una linea di campo un corpo con velocità minore di quella di fuga ma maggiore di quella necessaria per farlo entrare in orbita, il corpo ricadrebbe sulla terra?
Grazie in anticipo per l'aiuto
Spero di non aver scritto balle troppo grosse 
.Primo: Ho notato che negli esercizi del mio libro riguardanti la velocità di fuga (per esempio calcola la velocità minima di partenza per allontanarsi all'infinito da un pianeta di.....) viene sempre specificato che il corpo che deve allontanarsi dal pianeta viene lanciato "radialmente" dal pianeta (ovvero su una linea di campo gravitazionale).
Se non lanciassi radialmente il corpo, bensì con una certa inclinazione, la velocità minima di fuga sarebbe la stessa no? Poiché la formula sarebbe sempre
$1/2mv^2-G(Mm)/r=0$
Secondo: sempre sul mio libro si parla di velocità necessaria per l'entrata in orbita di un corpo prendendo in esempio solo casi di corpi lanciati già alla quota prevista per l'entrata in orbita.
Se invece lanciassi dal suolo il corpo con una certa velocità e con una certa pendenza , sarebbe possibile che esso entrasse in orbita ad una certa quota? Se si, a quali condizioni?
Terzo (ed ultimo
): (ammettendo vero il primo punto) se lanciassi perpendicolarmente ad una linea di campo un corpo con velocità minore di quella di fuga ma maggiore di quella necessaria per farlo entrare in orbita, il corpo ricadrebbe sulla terra?Grazie in anticipo per l'aiuto
Spero di non aver scritto balle troppo grosse
Risposte
"iMatteo1":
Primo: Ho notato che negli esercizi del mio libro riguardanti la velocità di fuga (per esempio calcola la velocità minima di partenza per allontanarsi all'infinito da un pianeta di.....) viene sempre specificato che il corpo che deve allontanarsi dal pianeta viene lanciato "radialmente" dal pianeta (ovvero su una linea di campo gravitazionale).
Se non lanciassi radialmente il corpo, bensì con una certa inclinazione, la velocità minima di fuga sarebbe la stessa no? P
Corretto. La velocità di fuga è la velocità per la quale il corpo si allontanerebbe indefinitamente dal pianeta, se l'energia cinetica del corpo è maggiore della variazione di energia potenziale tra il punto corrente e l'infinito allora ciò si verifica, indipendentemente dalla direzione della velocità iniziale. L'orbita assunta allontanandosi sarebbe però iperbolica o parabolica (per velocità maggiore di quella di fuga o al limite uguale a quella di fuga rispettivamente).
"iMatteo1":
Secondo: sempre sul mio libro si parla di velocità necessaria per l'entrata in orbita di un corpo prendendo in esempio solo casi di corpi lanciati già alla quota prevista per l'entrata in orbita.
Se invece lanciassi dal suolo il corpo con una certa velocità e con una certa pendenza , sarebbe possibile che esso entrasse in orbita ad una certa quota? Se si, a quali condizioni?
Terzo (ed ultimo
Chiariamo una cosa, non esiste una velocità minima al suolo per entrare in orbita: se tu ora lanci un qualsiasi oggetto, quell'oggetto inizia in pratica a orbitare intorno alla Terra, l'unico motivo per cui non orbita indefinitamente attorno alla Terra è perché impatta il terreno che lo arresta. Se il corpo, per qualche motivo, potesse attraversare il terreno senza esserne fermato, sempre però risentendo della forza gravitazionale, assumerebbe un'orbita periodica attorno alla Terra, precisamente un'orbita ellittica in cui il centro della Terra occupa un fuoco dell'ellisse, come osservato da Keplero per i pianeti on orbita attorno al Sole (questo ovviamente trascurando la resistenza dell'aria che assorbirebbe via via l'energia meccanica del corpo facendolo orbitare su un orbita non periodica "a spirale" sempre più vicino al centro della Terra.)
A meno certamente che tu non sia Superman e non fossi in grado di lanciare l'oggetto a velocità superiore a quella di fuga, in tal caso l'oggetto si allontanerebbe dalla Terra con una traiettoria iperbolica o al limite parabolica, come detto in precedenza.
Esiste invece una velocità minima per entrare in orbita circolare attorno alla Terra ad una data distanza (fissa in quanto si parla di quota circolare appunto) dal centro della Terra.
Dovresti da qui comprendere che per mettere in orbita un satellite ad una certa quota non è possibile lanciarlo da terra senza correggerne la rotta tramite dei propulsori. E' infatti quello che si fa in pratica, se osservi i lanci dei satelliti o anche i lanci per mandare una navetta con astronauti a bordo in orbita.
Se lanciassi infatti il satellite con una fionda che lo dota di una velocità iniziale a livello del suolo (in prossimità del suolo per capirsi), e poi lo lasci abbandonato a se stesso senza altre correzioni, infatti inevitabilmente il satellite ritornerebbe ad impattare il terreno, o al limite, lanciandolo orizzontalmente ad una velocità opportuna, assumerebbe una orbita circolare o ellittica, ma questo non sarebbe molto pratico come credo comprendi bene.
"Faussone":
Chiariamo una cosa, non esiste una velocità minima al suolo per entrare in orbita: se tu ora lanci un qualsiasi oggetto, quell'oggetto inizia in pratica a orbitare intorno alla Terra, l'unico motivo per cui non orbita indefinitamente attorno alla Terra è perché impatta il terreno che lo arresta. Se il corpo, per qualche motivo, potesse attraversare il terreno senza esserne fermato, sempre però risentendo della forza gravitazionale, assumerebbe un'orbita periodica attorno alla Terra, precisamente un'orbita ellittica in cui il centro della Terra occupa un fuoco dell'ellisse, come osservato da Keplero per i pianeti on orbita attorno al Sole (questo ovviamente trascurando la resistenza dell'aria che assorbirebbe via via l'energia meccanica del corpo facendolo orbitare su un orbita non periodica "a spirale" sempre più vicino al centro della Terra.)
A meno certamente che tu non sia Superman e non fossi in grado di lanciare l'oggetto a velocità superiore a quella di fuga, in tal caso l'oggetto si allontanerebbe dalla Terra con una traiettoria iperbolica o al limite parabolica, come detto in precedenza.
Esiste invece una velocità minima per entrare in orbita circolare attorno alla Terra ad una data distanza (fissa in quanto si parla di quota circolare appunto) dal centro della Terra.
Dovresti da qui comprendere che per mettere in orbita un satellite ad una certa quota non è possibile lanciarlo da terra senza correggerne la rotta tramite dei propulsori. E' infatti quello che si fa in pratica, se osservi i lanci dei satelliti o anche i lanci per mandare una navetta con astronauti a bordo in orbita.
Se lanciassi infatti il satellite con una fionda che lo dota di una velocità iniziale a livello del suolo (in prossimità del suolo per capirsi), e poi lo lasci abbandonato a se stesso senza altre correzioni, infatti inevitabilmente il satellite ritornerebbe ad impattare il terreno, o al limite, lanciandolo orizzontalmente ad una velocità opportuna, assumerebbe una orbita circolare o ellittica, ma questo non sarebbe molto pratico come credo comprendi bene.
Grazie, sei stato molto chiaro, solo mi rimane un dubbio : mi pare di aver capito che non è possibile far entrare in orbita circolare un corpo lanciandolo da Terra,è invece possibile, sempre lanciandolo da Terra, farlo entrare in orbita ellittica senza presupporre che esso abbia la capacità di attraversare la Terra senza esserne fermato?
"iMatteo1":
Grazie, sei stato molto chiaro, solo mi rimane un dubbio : mi pare di aver capito che non è possibile far entrare in orbita circolare un corpo lanciandolo da Terra,è invece possibile, sempre lanciandolo da Terra, farlo entrare in orbita ellittica senza presupporre che esso abbia la capacità di attraversare la Terra senza esserne fermato?
Lanciandolo da terra con una data velocità iniziale è possibile mettere il corpo su un orbita sia circolare che ellittica che non impatti mai il terreno, l'unico problema è che l'orbita circolare (con centro nel centro della Terra, assumendo la Terra sferica) avrebbe una distanza dal terreno troppo piccola (in pratica coincide con la quota da cui si lancia il corpo); l'orbita ellittica similmente avrebbe comunque semiasse minore troppo piccolo (anche questo è in pratica è pari alla quota da cui si lancia il corpo).
Questo fa sì che un lancio simile non sia fattibile: primo perché lungo la sua orbita il corpo potrebbe impattare qualche rilievo, o persino edificio o oggetto, secondo, altrettanto importante in pratica, è che a quote così basse la resistenza dell'aria sarebbe troppo alta e assorbirebbe energia meccanica al corpo fino a farlo impattare il terreno, terzo perché a tali quote l'energia da conferire al corpo per metterlo sul tipo di orbite descritte sarebbe molto più alta rispetto a quella necessaria per metterlo su orbite simili ma a quote più alte.
Fermo restando tutto quello che ha detto Faussone, se non sbaglio l'energia totale richiesta per mettere in orbita circolare un corpo partendo da una base di lancio situata sulla superficie terrestre dovrebbe essere una funzione crescente con l'altezza dell'orbita, per cui converrebbe inserire il corpo nell'orbita più bassa possibile, compatibilmente con la necessità di avere atmosfera zero. O mi sbaglio? 
Per mettere un corpo in orbita circolare attorno alla Terra, l'energia (cinetica) da fornirgli è tanto maggiore quanto la quota è più bassa. E' questo che dicevo.
Infatti, l'avevo capito.
Io invece ho fatto una considerazione globale di convenienza riferita all'altezza dell'orbita, partendo da terra.
Io invece ho fatto una considerazione globale di convenienza riferita all'altezza dell'orbita, partendo da terra.
In effetti considerato il risparmio di energia cinetica che si dovrebbe conferire al satellite mettendolo in orbita ad un'altezza $R+h$ invece che da un'altezza $R$ e l'energia da spendere per portarlo alla quota $R+h$ dalla quota $R$ , si vede che complessivamente conviene lasciarlo alla quota $R$, per cui facendo un computo dell'energia complessiva hai ragione. Anche se i primi due punti menzionati prima non rendono comunque possibile la messa in orbita a quote basse (poi sarebbe comunque complicato accelerare il satellite fino alle velocità richiesta a quote basse, che è poi quello che intendevo nel terzo punto).
Sì, è esattamente questo il senso del mio intervento, anche se come dici tu è puramente teorica la possibilità di utilizzare quote basse per la messa in orbita di un satellite.
Ad ogni modo, visto che i calcoli li ho fatti, li esplicito anche a beneficio di iMatteo1, che forse ci sta leggendo.
L'energia totale di un satellite è:
$${E_{tot}} = - \frac{{GM}}
{r}m + \frac{1}
{2}m{v^2}$$
Eguagliando la forza centripeta alla forza gravitazionale (orbita circolare) si ha:
$$\eqalign{
& m\frac{{{v^2}}}
{r} = m\frac{{GM}}
{{{r^2}}} \cr
& {v^2} = \frac{{GM}}
{r} \cr} $$
da cui:
$${E_{tot}} = - \frac{{GM}}
{r}m + \frac{1}
{2}\frac{{GM}}
{r}m = - \frac{1}
{2}\frac{{GM}}
{r}m$$
La grandezza r è la distanza dal centro della terra del satellite in orbita.
L'energia necessaria per mettere in orbita il satellite partendo da una rampa terrestre è uguale a questa energia totale meno l'energia potenziale della rampa, o energia iniziale, cioè l'energia di lancio è:
$${E_l} = {E_{tot}} - {E_i} = - \frac{1}
{2}\frac{{GM}}
{r}m + \frac{{GM}}
{R}m = GmM\left( {\frac{1}
{R} - \frac{1}
{{2r}}} \right)$$
dove R è il raggio terrestre.
Passando per comodità a considerare la quota h misurata dalla superficie terrestre si ha:
$$R + h = r$$
e sostituendo:
$${E_l} = GmM\left( {\frac{1}
{R} - \frac{1}
{{2R + 2h}}} \right) = GmM\left( {\frac{{2R + 2h - R}}
{{R\left( {2R + 2h} \right)}}} \right) = GmM\left( {\frac{{R + 2h}}
{{2R\left( {R + h} \right)}}} \right)$$
Questa è una funzione crescente con h.
Tanto per fare un esempio, supponendo di mettere in orbita un satellite alla quota h=0, l'energia spesa sarà:
$${E_{l0}}_{\left( {h = 0} \right)} = \frac{{GmM}}
{{2R}}$$
Se invece supponiamo di lanciare il satellite fino a un'orbita posta a un'altezza pari a 1/10 del raggio terrestre, ovvero circa 600 Km, l'energia sarà:
$${E_l}_{\left( {h = \frac{R}
{{10}}} \right)} = GmM\left( {\frac{{12}}
{{22R}}} \right) = \frac{{12}}
{{11}}{E_{l0}}$$
quindi maggiore di quella precedentemente calcolata, da cui discende la convenienza (solo teorica) di lanciare un satellite lungo un'orbita più bassa possibile.
Ad ogni modo, visto che i calcoli li ho fatti, li esplicito anche a beneficio di iMatteo1, che forse ci sta leggendo.
L'energia totale di un satellite è:
$${E_{tot}} = - \frac{{GM}}
{r}m + \frac{1}
{2}m{v^2}$$
Eguagliando la forza centripeta alla forza gravitazionale (orbita circolare) si ha:
$$\eqalign{
& m\frac{{{v^2}}}
{r} = m\frac{{GM}}
{{{r^2}}} \cr
& {v^2} = \frac{{GM}}
{r} \cr} $$
da cui:
$${E_{tot}} = - \frac{{GM}}
{r}m + \frac{1}
{2}\frac{{GM}}
{r}m = - \frac{1}
{2}\frac{{GM}}
{r}m$$
La grandezza r è la distanza dal centro della terra del satellite in orbita.
L'energia necessaria per mettere in orbita il satellite partendo da una rampa terrestre è uguale a questa energia totale meno l'energia potenziale della rampa, o energia iniziale, cioè l'energia di lancio è:
$${E_l} = {E_{tot}} - {E_i} = - \frac{1}
{2}\frac{{GM}}
{r}m + \frac{{GM}}
{R}m = GmM\left( {\frac{1}
{R} - \frac{1}
{{2r}}} \right)$$
dove R è il raggio terrestre.
Passando per comodità a considerare la quota h misurata dalla superficie terrestre si ha:
$$R + h = r$$
e sostituendo:
$${E_l} = GmM\left( {\frac{1}
{R} - \frac{1}
{{2R + 2h}}} \right) = GmM\left( {\frac{{2R + 2h - R}}
{{R\left( {2R + 2h} \right)}}} \right) = GmM\left( {\frac{{R + 2h}}
{{2R\left( {R + h} \right)}}} \right)$$
Questa è una funzione crescente con h.
Tanto per fare un esempio, supponendo di mettere in orbita un satellite alla quota h=0, l'energia spesa sarà:
$${E_{l0}}_{\left( {h = 0} \right)} = \frac{{GmM}}
{{2R}}$$
Se invece supponiamo di lanciare il satellite fino a un'orbita posta a un'altezza pari a 1/10 del raggio terrestre, ovvero circa 600 Km, l'energia sarà:
$${E_l}_{\left( {h = \frac{R}
{{10}}} \right)} = GmM\left( {\frac{{12}}
{{22R}}} \right) = \frac{{12}}
{{11}}{E_{l0}}$$
quindi maggiore di quella precedentemente calcolata, da cui discende la convenienza (solo teorica) di lanciare un satellite lungo un'orbita più bassa possibile.
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