Centro di massa rettangolo disomogeneo
Ciao a tutti, volevo chiedere un aiuto per questo esercizio, che reputo abbastanza facile, ma che non mi torna.
Un rettangolo di base \(4 \) e altezza \(6 \) ha densità \( \rho = k_1|x|+k_2(y+3) \). Determinare le coordinate del centro di massa.
Ora, io ho tentato di risolverlo con l'usale formula: \((\int{\int_S{xdm}})/(\int{\int_S{dm}})\) per la \(x\) e analoghe considerazioni per la \(y\).
Prima ho quindi calcolato la massa totale nel modo che segue:
\(m=\int\int_Sdm=\int_{-3}^3 \int_{-2}^2 (k_1|x|+k_2(y+3))dxdy=24k_1+72k_2\)
Poi ho trovato il numeratore nel caso ascissa ottenendo \(0\), che è giusto come da soluzione proposta.
Calcolando però il numeratore nel caso ordinata ho ottenuto come risultato \(72k_2\),che diviso per \(24K_1+72k_2\) non dà \(1\) come invece restituisce la soluzione. Faccio io qualche errore di calcolo o sbaglio a livello concettuale?
Un rettangolo di base \(4 \) e altezza \(6 \) ha densità \( \rho = k_1|x|+k_2(y+3) \). Determinare le coordinate del centro di massa.
Ora, io ho tentato di risolverlo con l'usale formula: \((\int{\int_S{xdm}})/(\int{\int_S{dm}})\) per la \(x\) e analoghe considerazioni per la \(y\).
Prima ho quindi calcolato la massa totale nel modo che segue:
\(m=\int\int_Sdm=\int_{-3}^3 \int_{-2}^2 (k_1|x|+k_2(y+3))dxdy=24k_1+72k_2\)
Poi ho trovato il numeratore nel caso ascissa ottenendo \(0\), che è giusto come da soluzione proposta.
Calcolando però il numeratore nel caso ordinata ho ottenuto come risultato \(72k_2\),che diviso per \(24K_1+72k_2\) non dà \(1\) come invece restituisce la soluzione. Faccio io qualche errore di calcolo o sbaglio a livello concettuale?
Risposte
Ciao. I calcoli mi sembra che ti diano ragione. Posso ovviamente sbagliare, ma che l'ordinata del CM sia indipendente dalle due costanti (in particolare da $k_2$) mi suona un po' difficile (mentre l'ascissa è ovvio che sia nulla, vista la simmetria della densità rispetto all'asse $y$). A riprova, visto che le due costanti mi sembrano non fissate, supponi che $k_2=0$, cioè che la densità della lastra non dipenda da $y$; in tal caso, il centro di massa sarebbe per ragioni ovvie l'origine, e dunque non sarebbe rispettato il risultato che dici.
Mi piacerebbe comunque sentire altri pareri.
Mi piacerebbe comunque sentire altri pareri.
Se x appartiene a (0, 4) e y appartiene a (0, 6)
C'e' qualcosa che non va negli estremi d'integrazione nel calcolo di dm
C'e' qualcosa che non va negli estremi d'integrazione nel calcolo di dm
Grazie delle risposte! Dimenticavo di dire che il sistema di riferimento proposto dall'esercizio è quello con origine nel punto di intersezione delle diagonali del rettangolo, con assi paralleli ai lati. Quindi credo proprio siano giusti gli estremi.
Hai sbagliato l'integrale della massa, a me torna. Segui tutti i passaggi e spezza bene l'integrale con il modulo. $ 18k_2+4k_1$ mi viene come massa totale che è anche uguale al numeratore per l'ordinata.
Edit: uhm no spetta forse ho fatto un errore, l'ho fatto scrivendo sul tablet . Comunque il numero può non essere giusto ma dovrebbe tornare 1 il rapporto.
Edit: uhm no spetta forse ho fatto un errore, l'ho fatto scrivendo sul tablet . Comunque il numero può non essere giusto ma dovrebbe tornare 1 il rapporto.
E allora l'integrale con il valore assoluto lo hai calcolato male.
Ti ringrazio riproveró!
In ogni caso appena sarò a casa proverò a postare tutti i passaggi che ho svolto per maggior chiarezza
Grazie ancora
In ogni caso appena sarò a casa proverò a postare tutti i passaggi che ho svolto per maggior chiarezza
Grazie ancora
Comunque lo dico pure a te, prima si annusa il tema, poi si calcola.
Se ti ha dato quelle coordinate e un valore assoluto, era chiaro che stava li la difficoltà.
Se ti ha dato quelle coordinate e un valore assoluto, era chiaro che stava li la difficoltà.
Ok rettifico. Non viene il rapporto unitario. Sono in giro con il tablet in mano quindi è una situazione di calcolo un po' precaria ma quando si va a calcolare $int_-3^3 y k_1 |x|dy$ viene ovviamente nullo essendo l'integrale di una funzione dispari su intervallo simmetrico e quindi sparisce $k_1$ ergo, come credo dicesse Pallit all'inizio, ed anche l'utente che ha fatto la domanda, non potrà cancellarsi con il denominatore che conserva la $k_1$.
Come la fate complicata. Stabilito che per simmetria la x del CM è zero, si tratta di trovare la y. Ora la densità varia con y da 0 al bordo inferiore al massimo al bordo superiore, per cui l'andamento della densità in funzione di y è un triangolo rettangolo. Il baricentro del tutto coincide col baricentro di questo triangolo , che sta a 2/3 della lunghezza (6), quindi a distanza 4 dal bordo inferiore, ossia a y = 1
E avevo pensato anche io la stessa cosa per questo all'inizio ho detto che anche se avevo fatto un errore doveva venire per forza 1 il rapporto, però poi verificando il calcolo direttamente non mi trovo. Boh, quando torno a casa riguardo con più calma.
Ok, ecco qui tutti i passaggi che ho svolto.
Per la massa si ha:
\(\int\int_S dm=\int \int_{[-2,2]*[-3,3]} (k_1|x|+k_2(y+3))dxdy= \)
\(=\int_{-3}^3 dy \int_{-2}^2 k_1|x|dx + \int_{-3}^3 \int_{-2}^2 k_2(y+3)dxdy=\)
\(=k_1 \int_{-3}^3 dy \int_{-2}^2 |x|dx + k_2 \int_{-3}^3 ydy \int_{-2}^2 dx + 3k_2\int_{-3}^3 \int_{-2}^2 dxdy = \)
\(=k_1 \int_{-3}^3 ( \int_{-2}^0 -xdx + \int_{0}^2 xdx) dy + k_2 \int_{-3}^3 4ydy + 72k_2 = \)
\(= \int_{-3}^3 (-[x^2 /2]_{-2}^0 +[x^2 /2]_{0}^2)dy + 4k_2 [y^2/2]_{-3}^3 + 72k_2 =\)
\(= 4k_1 \int_{-3}^3 dy + 72k_2 = 24k_1 + 72k_2 \)
L'integrale per la \(x\) del centro di massa viene giusto.
Per la \(y\) (ond'evitare di riportare nuovamente tutti i passaggi) quando spezzo l'integrale
\(\int \int_{[-2,2]*[-3,3]} y(k_1|x|+k_2(y+3))dxdy \) avrò
come primo addendo
\(\int \int_{[-2,2]*[-3,3]} y k_1|x|dxdy \)
Si nota che \(y|x|\) è una funzione dispari su \( \mathbb{R}^2 \) quindi il suo integrale su un dominio simmetrico è \(0\) cosa che farà sparire \(k_1\). Proprio per questo non dovrebbe essere possibile che la \(y\) del centro di massa valga \(1\).
Per la massa si ha:
\(\int\int_S dm=\int \int_{[-2,2]*[-3,3]} (k_1|x|+k_2(y+3))dxdy= \)
\(=\int_{-3}^3 dy \int_{-2}^2 k_1|x|dx + \int_{-3}^3 \int_{-2}^2 k_2(y+3)dxdy=\)
\(=k_1 \int_{-3}^3 dy \int_{-2}^2 |x|dx + k_2 \int_{-3}^3 ydy \int_{-2}^2 dx + 3k_2\int_{-3}^3 \int_{-2}^2 dxdy = \)
\(=k_1 \int_{-3}^3 ( \int_{-2}^0 -xdx + \int_{0}^2 xdx) dy + k_2 \int_{-3}^3 4ydy + 72k_2 = \)
\(= \int_{-3}^3 (-[x^2 /2]_{-2}^0 +[x^2 /2]_{0}^2)dy + 4k_2 [y^2/2]_{-3}^3 + 72k_2 =\)
\(= 4k_1 \int_{-3}^3 dy + 72k_2 = 24k_1 + 72k_2 \)
L'integrale per la \(x\) del centro di massa viene giusto.
Per la \(y\) (ond'evitare di riportare nuovamente tutti i passaggi) quando spezzo l'integrale
\(\int \int_{[-2,2]*[-3,3]} y(k_1|x|+k_2(y+3))dxdy \) avrò
come primo addendo
\(\int \int_{[-2,2]*[-3,3]} y k_1|x|dxdy \)
Si nota che \(y|x|\) è una funzione dispari su \( \mathbb{R}^2 \) quindi il suo integrale su un dominio simmetrico è \(0\) cosa che farà sparire \(k_1\). Proprio per questo non dovrebbe essere possibile che la \(y\) del centro di massa valga \(1\).
Proprio vuoi mettere gli integrali anche nei conti della lavandaia...
Allora, la situazione è questa (dove al posto di una figura piana, con DENSITA' variabile c'è una figura solida con SPESSORE variabile)
Però possiamo eliminare l'inutile complicazione dello spessore variabile in x che non cambia niente per quanto riguarda l'ordinata del CM, e allora abbiamo questo bel cuneo
Qui si vede che la posizione del CM si riduce alla posizione del CM nel triangolo, che è la sezione della figura con il piano yz, che è evidentemente a 2/3 della lunghezza della base partendo da y-3, cioè a y=1
Allora, la situazione è questa (dove al posto di una figura piana, con DENSITA' variabile c'è una figura solida con SPESSORE variabile)
Però possiamo eliminare l'inutile complicazione dello spessore variabile in x che non cambia niente per quanto riguarda l'ordinata del CM, e allora abbiamo questo bel cuneo
Qui si vede che la posizione del CM si riduce alla posizione del CM nel triangolo, che è la sezione della figura con il piano yz, che è evidentemente a 2/3 della lunghezza della base partendo da y-3, cioè a y=1
Però le cose devono tornare è lì che non capisco, ci sto provando da una mezz'ora. Il discorso geometrico deve essere riprodotto nel calcolo. E non riesco a capire dove sia l'errore.
Sì in effetti così tutto si spiegherebbe alla perfezione però per quale motivo non coincidono le due soluzioni? Dovrebbero produrre lo stesso risultato immagino
Gli integrali sono giusti, li ho fatti fare anche a wolfram
Quindi o stiamo sbagliando la geometria, ma non mi pare, o stiamo sbagliando a impostare l'integrale, ma non vedo come la densità superficiale è quella…
Quindi o stiamo sbagliando la geometria, ma non mi pare, o stiamo sbagliando a impostare l'integrale, ma non vedo come la densità superficiale è quella…
Nessuna idea in merito, più che altro sarebbe capire dove il calcolo "standard" fallisca...
Anche se ovviamente l'esercizio andrebbe approcciato in maniera più logica come detto sopra, è davvero curiosa però la differenza di risultati
Anche se ovviamente l'esercizio andrebbe approcciato in maniera più logica come detto sopra, è davvero curiosa però la differenza di risultati
Non so che dire, non sono abituato a lasciare le cose a metà. Ma sia l'approccio geometrico che analitico mi sembrano giusti, ed il fatto che siano entrambi molto semplici mi risulta molto graffiante perché dovunque sia l'inghippo deve essere una cosa banale.
@Nikikinki: condivido integralmente, proverò a porre la questione nella stanza di Analisi.
@Palliit: mi sembra un'ottima cosa 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo