Centro di massa-[Fisica per i licei]
Richard, di massa 78.4 kg, e Judy, più leggera dell’amico, navigano su una canoa di 31.6 kg.
Con la canoa a riposo, i due ragazzi si scambiano i rispettivi posti, simmetrici rispetto al
centro di massa della canoa e a distanza 2.93 m l’uno dall’altro. Richard osserva che, rispetto
al fondo del lago, la canoa si è spostata di 0.412 m e con questo dato riesce a calcolare la
massa di Judy. Come ha fatto?
Mi spieghereste come arrivare al risultato finale?Io ho pensato di collocare Xcm in (0,0)e una volta considerto lo spostamento Xcm(0.412;0)e a questo punto applicare l'equazone del cdm.Però questa idea non mi porta a nulla
Con la canoa a riposo, i due ragazzi si scambiano i rispettivi posti, simmetrici rispetto al
centro di massa della canoa e a distanza 2.93 m l’uno dall’altro. Richard osserva che, rispetto
al fondo del lago, la canoa si è spostata di 0.412 m e con questo dato riesce a calcolare la
massa di Judy. Come ha fatto?
Mi spieghereste come arrivare al risultato finale?Io ho pensato di collocare Xcm in (0,0)e una volta considerto lo spostamento Xcm(0.412;0)e a questo punto applicare l'equazone del cdm.Però questa idea non mi porta a nulla
Risposte
Suggerimento: le coordinate del centro di massa del sistema ( Richard+Judy+canoa ) non cambiano per lo scambio di posizione dei due ragazzi.
Cioè fissando il cdm in (0;0),avrò che all'inizio R si trova in (-1.465;0) e J(1.465;0),nel momento in cui si spostano anche il "mezzo" si muove di 0,412 m...ora poichè R si sposta verso destra(immaginiamo che la barca si sposti verso destra) S1=-1.465+0.412 J,invece,si sposta verso sinistra S2=1.465-0.412.
Da qui provo ad applicare $(R*S1+J*S2)/(R+J+C)=0$ però tale procedimento non mi porta a niente
R =massa di Richard
J=Massa di Julie
C=massa della canoa
Da qui provo ad applicare $(R*S1+J*S2)/(R+J+C)=0$ però tale procedimento non mi porta a niente
R =massa di Richard
J=Massa di Julie
C=massa della canoa
Ho l'impressione che tu confonda il CdM del sistema con quello della sola canoa. La posizione delle tre masse dopo lo scambio è simmetrica di quella precedente rispetto al CdM del sistema, che quindi risulta nel punto medio tra le due posizioni iniziale e finale del CdM della canoa. Così trovi la coordinata del CdM del sistema, e dalla formula che conosci per esprimerla puoi dedurre la massa della ragazza. Salvo errori miei.
Ti ha suggerito Palliit che le masse da considerare, insieme con i loro spostamenti, sono tre e non due.
Prendi un riferimento che ha origine nel CM del sistema, immobile rispetto al fondo del lago perché il sistema è isolato ( si trascura la resistenza dell'acqua), e asse $x$ orizzontale orientato da Sn a Ds .
Tieni presente che gli "spostamenti" sono vettori, in questo caso paralleli all'asse $x$ .
$R$ si sposta da Sn a Ds di $+2.93m$, mentre $J$ si sposta da Ds a Sn di $-2.93m$ . La canoa $C$ si sposta di $0.412m$ rispetto al CM del sistema , ma in quale direzione ? Verso Sn o verso destra ?
Siccome $R>J$ ( sono le masse come da te indicate, e il testo suggerisce questa disuguaglianza), per compensare lo spostamento di $R$ da Sn a Ds la massa della canoa deve spostarsi dalla stessa parte di $J$ . Quindi in senso negativo, per lasciare immutata la posizione del CM del sistema, cioè l'origine delle coordinate.
Perciò deve essere : $( R*s_R + J * s_J + C*s_c)/ (R+J+C) = 0 $
da cui, il numeratore deve essere nullo . Passando ai numeri : $ 78.4*2.93 - J*2.93 - 31.6*0.412 = 0 $
Si ricava che : $J = 73.95 kg$ , inferiore ad $R$ , come suggerito dal testo.
Prendi un riferimento che ha origine nel CM del sistema, immobile rispetto al fondo del lago perché il sistema è isolato ( si trascura la resistenza dell'acqua), e asse $x$ orizzontale orientato da Sn a Ds .
Tieni presente che gli "spostamenti" sono vettori, in questo caso paralleli all'asse $x$ .
$R$ si sposta da Sn a Ds di $+2.93m$, mentre $J$ si sposta da Ds a Sn di $-2.93m$ . La canoa $C$ si sposta di $0.412m$ rispetto al CM del sistema , ma in quale direzione ? Verso Sn o verso destra ?
Siccome $R>J$ ( sono le masse come da te indicate, e il testo suggerisce questa disuguaglianza), per compensare lo spostamento di $R$ da Sn a Ds la massa della canoa deve spostarsi dalla stessa parte di $J$ . Quindi in senso negativo, per lasciare immutata la posizione del CM del sistema, cioè l'origine delle coordinate.
Perciò deve essere : $( R*s_R + J * s_J + C*s_c)/ (R+J+C) = 0 $
da cui, il numeratore deve essere nullo . Passando ai numeri : $ 78.4*2.93 - J*2.93 - 31.6*0.412 = 0 $
Si ricava che : $J = 73.95 kg$ , inferiore ad $R$ , come suggerito dal testo.
@navigatore: il CdM della canoa si sposta di $0.412m$ rispetto a dove si trovava prima, non rispetto al CdM del sistema! (ciao!!)
@Palliit
il testo dice :
e il CM del sistema, non è in quiete rispetto al fondo del lago ?
Tu come faresti il calcolo ?
il testo dice :
Richard osserva che, rispetto al fondo del lago, la canoa si è spostata di 0.412 m
e il CM del sistema, non è in quiete rispetto al fondo del lago ?
Tu come faresti il calcolo ?
Hai ragione nav, ho frainteso. Io comunque farei come ho scritto.
Mi stai facendo venire dei dubbi…perché non provi a mettere i tuoi calcoli ?
navigatore,il verso dello spostamento della canoa non è specificato,quindi non penso che il risultato cambi di molto.
Concordiamo che la corrente si muova nel verso positivo delle ascisse,R sia inizialmente a sinistra e J inizialmente a destra dell'origine.
Il verso dello spostamento della canoa è univocamente determinato dal fatto che il sistema è isolato , quindi il CM deve rimanere fermo rispetto al fondo. Se la massa $R$ è maggiore della massa $J$ , la canoa deve spostarsi nello stesso verso di $J$ , è inevitabile.
Perchè tiri in ballo la corrente? Stai parlando di uno scambio di posizione che avviene prima del moto della canoa, no ?
Perchè tiri in ballo la corrente? Stai parlando di uno scambio di posizione che avviene prima del moto della canoa, no ?
Si scusami volevo dire che lo spostamento della canoa avviene di 0,412 m verso destra
Perché dici "verso destra" ? Se $R>J$ , e lo spostamento di $R$ è da sinistra verso destra, la canoa deve spostarsi verso sinistra rispetto al fondo.
Comunque, rivedendo il testo, ho notato che mi era sfuggito questo :
E la soluzione di Paolo mi sembra corretta : il CM si trova a metà dello spostamento $2d$ del centro C della canoa che si ha passando dalla configurazione 1 alla 2 .
Mi risulta che : $J = 55.174 kg$ .
Che ne dici Paolo ?
Comunque, rivedendo il testo, ho notato che mi era sfuggito questo :
i due ragazzi si scambiano i rispettivi posti, simmetrici rispetto al centro di massa della canoa e a distanza 2.93 m l’uno dall’altro.
E la soluzione di Paolo mi sembra corretta : il CM si trova a metà dello spostamento $2d$ del centro C della canoa che si ha passando dalla configurazione 1 alla 2 .
Mi risulta che : $J = 55.174 kg$ .
Che ne dici Paolo ?
Solo non capisco perche ad esempio R si muove di L-d invece che di 2d
La formula che ho scritto :
$-R(L-d) + Cd + J(L+d) = 0 $
dove $R,C,J$ sono le masse , non è altro che il numeratore della formula generale che dà la posizione del CM in un certo riferimento :
$x_(CM) = (x_1M_1 + x_2M_2 + x_3M_3)/(M_1 +M_2+M_3) $
che avevi scritto anche tu, se guardi un tuo post (ma era incompleta) .
Siccome so che nel riferimento del CM deve essere $x_(CM) = 0$ , e io mi sto riferendo appunto al $CM$ di cui conosco la posizione, devo uguagliare a zero il numeratore. Guarda bene la figura : i prodotti delle masse per le rispettive distanze dall'asse verticale passante per il CM hanno quei valori e quei segni .
La quantità fisica data dal prodotto di una massa per una distanza si chiama "momento statico" . Se moltiplicassi tutti i termini per $g$ , otterresti una equazione di equilibrio per i pesi di quelle masse .
Insomma, ho scritto che la somma dei momenti statici del sistema rispetto all'asse verticale passante per CM deve essere nulla.
$-R(L-d) + Cd + J(L+d) = 0 $
dove $R,C,J$ sono le masse , non è altro che il numeratore della formula generale che dà la posizione del CM in un certo riferimento :
$x_(CM) = (x_1M_1 + x_2M_2 + x_3M_3)/(M_1 +M_2+M_3) $
che avevi scritto anche tu, se guardi un tuo post (ma era incompleta) .
Siccome so che nel riferimento del CM deve essere $x_(CM) = 0$ , e io mi sto riferendo appunto al $CM$ di cui conosco la posizione, devo uguagliare a zero il numeratore. Guarda bene la figura : i prodotti delle masse per le rispettive distanze dall'asse verticale passante per il CM hanno quei valori e quei segni .
La quantità fisica data dal prodotto di una massa per una distanza si chiama "momento statico" . Se moltiplicassi tutti i termini per $g$ , otterresti una equazione di equilibrio per i pesi di quelle masse .
Insomma, ho scritto che la somma dei momenti statici del sistema rispetto all'asse verticale passante per CM deve essere nulla.
Ciao, mi scuso per il ritardo nella risposta ma ero in un posto dove non c'era connessione.
I due ragazzi ed il centro della canoa occupano posizioni iniziali e finali simmetriche fra loro rispetto ad un punto. Che è necessariamente il baricentro dell'intero sistema, visto che, trascurando l'effetto di forze esterne, deve restare immobile. Pertanto il baricentro del sistema è il punto medio tra le posizioni iniziale e finale dell'unico punto di cui si conoscono entrambe le posizioni (iniziale e finale), cioè il baricentro della canoa. Ponendo la posizione iniziale di quest'ultimo nell'origine di un riferimento, siano $-s=-2.93/2m$ l'ascissa di J. e $+s$ quella di R., dopo lo scambio tra J. e R. il baricentro della canoa ha ascissa $+0.412m$, il che significa che il baricentro del sistema ha, sia prima sia dopo lo scambio, ascissa $+0.206m$.
Pertanto dev'essere:
$(m_J*(-s)+m_c*0+m_R*s)/(m_J+m_c+m_R)=+0.206m$. Da risolvere rispetto a $m_J$.
I due ragazzi ed il centro della canoa occupano posizioni iniziali e finali simmetriche fra loro rispetto ad un punto. Che è necessariamente il baricentro dell'intero sistema, visto che, trascurando l'effetto di forze esterne, deve restare immobile. Pertanto il baricentro del sistema è il punto medio tra le posizioni iniziale e finale dell'unico punto di cui si conoscono entrambe le posizioni (iniziale e finale), cioè il baricentro della canoa. Ponendo la posizione iniziale di quest'ultimo nell'origine di un riferimento, siano $-s=-2.93/2m$ l'ascissa di J. e $+s$ quella di R., dopo lo scambio tra J. e R. il baricentro della canoa ha ascissa $+0.412m$, il che significa che il baricentro del sistema ha, sia prima sia dopo lo scambio, ascissa $+0.206m$.
Pertanto dev'essere:
$(m_J*(-s)+m_c*0+m_R*s)/(m_J+m_c+m_R)=+0.206m$. Da risolvere rispetto a $m_J$.
E il risultato è proprio : $ m_j = 55.174 kg$ , come avevo calcolato nel riferimento avente il CM fisso sull'asse $y$ , come da mio disegno.
Essendo la massa di R maggiore di quella di J , ed essendo la massa della canoa C posta al centro della distanza tra R e J, sia nella prima che nella seconda configurazione, è banale che il CM si trovi più spostato verso R, in entrambi i casi, rispetto al centro C della canoa.
Assumendo un riferimento in cui il CM ha ascissa zero, ed è fisso rispetto al fondo del lago , il risultato consegue da $x_(CM) = 0 $, che è l'equazione da me scritta, in entrambi i casi.
Per me, meglio tener fisso il CM , visto che il sistema è isolato, e considerare gli spostamenti delle tre masse.
Essendo la massa di R maggiore di quella di J , ed essendo la massa della canoa C posta al centro della distanza tra R e J, sia nella prima che nella seconda configurazione, è banale che il CM si trovi più spostato verso R, in entrambi i casi, rispetto al centro C della canoa.
Assumendo un riferimento in cui il CM ha ascissa zero, ed è fisso rispetto al fondo del lago , il risultato consegue da $x_(CM) = 0 $, che è l'equazione da me scritta, in entrambi i casi.
Per me, meglio tener fisso il CM , visto che il sistema è isolato, e considerare gli spostamenti delle tre masse.
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