Centro di massa di un'asta con due masse poggiate sopra

[MrMojoRisin891]

Ciao ragazzi, sto avendo dei dubbi con questo esercizio:
"Un'asta di lunghezza $l$ e massa $M$, su cui poggiano alle estremità due masse $m_1$ e $m_2$, è in equilibrio in un piano orizzontale, utilizzando un fulcro a distanza $x_F$ da un estremo. Determinare il valore di $x_F$, la coordinata $x_(CM)$ del centro di massa del sistema e la reazione vincolare del fulcro."

Essendo in equilibrio, $x_F = x_(CM)$, e la reazione vincolare vale $R = (m_1 + m_2 + M)g$.
Quello che mi da problemi è il valore di $x_F$.

Vi allego l'immagine che c'è sul libro:


Io imposto così:
$x_F = (-m_1l/2 + m_2l/2 -M(l/2 - x_F))/(m_1 + m_2 + M)$
e quindi mi risulta
$x_F = l/2(-m_1 + m_2 - M)/(m_1 + m_2)$,
mentre il libro propone
$m_1gx_F = m_2g(l - x_F) + Mg(l/2 - x_F)$, $x_F = l/2(2m_2 + M)/(m_1 + m_2 + M)$

chi mi potrebbe spiegare dove sbaglio? grazie mille

[professorkappa]

Come arrivi alla tua soluzione? La soluzione del libro (una delle 2 possibili) e' corretta.

Tu come calcoli $x_f$? Spiega e ti diciamo dove sbagli.

[MrMojoRisin891]

Utilizzo la formula per calcolare la posizione del centro di massa, visto che coincide con la posizione del fulcro...

[professorkappa]

E la utilizzi male. Se non elabori, non ti posso dire dove sbagli. Ma azzardo un possinbile motivo: come origine scegli la mezzeria della sbarra.....

[MrMojoRisin891]

si, utilizzo il centro O che si vede in figura. non dovrebbe essere arbitraria la scelta del sistema di riferimento?

[MrMojoRisin891]

comunque utilizzo questa:
$x_(CM) = (\sum_{i} m_ix_i)/\(sum_{i} m_i)$
prendendo come origine il centro dell'asta. È sbagliato? Perché, provando a dare dei valori arbitrari alle masse e sostituendo, il mio risultato è diverso da quello del libro.

[professorkappa]

Cert che e' sbagliato. $x_F $ la conta dalla massa, non dal centro barra. E sbagliato anche perche il terzo termine Della tua equazione non dovrebbe esserci (quello con M)

[MrMojoRisin891]

"professorkappa":Cert che e' sbagliato. $x_F $ la conta dalla massa, non dal centro barra. E sbagliato anche perche il terzo termine Della tua equazione non dovrebbe esserci (quello con M)

ciao, grazie della risposta ma non capisco come dovrei usarla allora... mi puoi aiutare per favore?

[MrMojoRisin891]

ho capito, il libro eguaglia i momenti che ci sono alle estremità, giusto?
ma è sbagliato cercare di trovare $x_F$ come ho fatto io?

[professorkappa]

"MrMojoRisin89":ho capito, il libro eguaglia i momenti che ci sono alle estremità, giusto?

Si.
[quote="MrMojoRisin89"
ma è sbagliato cercare di trovare $x_F$ come ho fatto io?
[/quote]

Si e no. Non mi son spiegato: la definizione come la applichi tu e' giusta. Ma la realzione che usi ti da una coordinata rispetto a un'origine. Se tu come origine usi la mezzeria della sbarra allora la formula applicata diventa

\( x_{cm}=\frac{-m_1\frac{L}2+m_2\frac{L}2}{M+m_1+m_2} \)

contata dal centro della sbarra (come vedi non compare $x_f$).

Se invece come origine usi la massa $m_1$ allora devi scrivere:

\( x_{cm}= x_f=\frac{M\frac{L}{2}+m_2L}{M+m_1+m_2}=\frac{L}{2}\frac{M+2m_2}{M+m_1+m_2} \)