Centro di massa anello
Salve, non so se ho ragionato bene in questo problema, mi date conferme?
Anello sottile ed omogeneo, massa M e raggio R , in quiete. Poi massa m lo urta con $v_0$ nel bordo alto, e rimane attaccata. Si calcoli la posizione del centro di massa e la sua velocità di traslazione dopo l'urto. 2) la velocità angolare intorno ad esso dopo l'urto; 3) la quantità di energia persa nell'urto.
Pensavo di mettere l'origine del riferimento nel centro dell'anello, così $r_(cm)= (0+mR)/(m+M)$ mentre per la velocità di traslazione $mv_0 = (m+M)v_(cm)$
2)Per la velocità angolare, in questo caso, non credo possa usare la formula $omega = v/r$ perchè in questo caso la velocità non è quella tangenziale per cui non avrebbe senso, quindi conservazione momento angolare?
3) Per quanto riguarda l'energia persa, basta uguagliare le due energie cinetiche prima e dopo l'urto?
(Se mi chiedesse di calcolare invece la velocità angolare quando compie mezzo giro, l'energia potenziale come la esprimo?)
Anello sottile ed omogeneo, massa M e raggio R , in quiete. Poi massa m lo urta con $v_0$ nel bordo alto, e rimane attaccata. Si calcoli la posizione del centro di massa e la sua velocità di traslazione dopo l'urto. 2) la velocità angolare intorno ad esso dopo l'urto; 3) la quantità di energia persa nell'urto.
Pensavo di mettere l'origine del riferimento nel centro dell'anello, così $r_(cm)= (0+mR)/(m+M)$ mentre per la velocità di traslazione $mv_0 = (m+M)v_(cm)$
2)Per la velocità angolare, in questo caso, non credo possa usare la formula $omega = v/r$ perchè in questo caso la velocità non è quella tangenziale per cui non avrebbe senso, quindi conservazione momento angolare?
3) Per quanto riguarda l'energia persa, basta uguagliare le due energie cinetiche prima e dopo l'urto?
(Se mi chiedesse di calcolare invece la velocità angolare quando compie mezzo giro, l'energia potenziale come la esprimo?)
Risposte
Ma questo anello è libero da vincoli in un sistema inerziale ? Te lo chiedo perché hai postato un esercizio simile in cui l'anello è vincolato a ruotare nel piano verticale attorno a un asse passante per il punto P inizialmente più basso. Sono due esercizi diversi, giusto ?
Se è cosi :
-per la posizione del CM finale, e per la velocità di traslazione , va bene.
-Poi: assumi come polo il CM finale, e scrivi la conservazione del momento angolare rispetto a tale polo. Attenzione al momento di inerzia del sistema finale. Così ricavi la velocità angolare.
La variazione di energia cinetica si calcola sempre alla stessa maniera: quella iniziale è quella della massa m, quella finale è somma di due termini, la traslatoria e la rotatoria. Non devi uguagliare le $E_k$ prima e dopo l'urto, perché è un urto anelastico. Devi farne la differenza.
Se è cosi :
-per la posizione del CM finale, e per la velocità di traslazione , va bene.
-Poi: assumi come polo il CM finale, e scrivi la conservazione del momento angolare rispetto a tale polo. Attenzione al momento di inerzia del sistema finale. Così ricavi la velocità angolare.
La variazione di energia cinetica si calcola sempre alla stessa maniera: quella iniziale è quella della massa m, quella finale è somma di due termini, la traslatoria e la rotatoria. Non devi uguagliare le $E_k$ prima e dopo l'urto, perché è un urto anelastico. Devi farne la differenza.
Si è un esercizio diverso, anello libero da vincoli. ok per la 1) .. per la 2) l'inerzia dell'anello in questo caso uso il teorema di Huygens? ( considerando massa totale) 3) come mai mi dici anche quella di traslazione? Non siamo in un rotolamento puro quindi non c'è rotazione e basta da considerare? 
Rifletti. Dopo l'urto la massa m rimane attaccata. Il CM finale si è spostato, non è il centro del solo anello.
Il momento di inerzia del sistema finale rispetto al Cm finale è dato da : (momento di inerzia della massa m) + momento di inerzia dell'anello. Questo secondo termine lo calcoli con il teor. di Huygens. In definitiva hai tre termini.
Il CM si sposta con la velocità che hai calcolato, quindi nella $E_k$ finale c'è pure la traslatoria.
Il momento di inerzia del sistema finale rispetto al Cm finale è dato da : (momento di inerzia della massa m) + momento di inerzia dell'anello. Questo secondo termine lo calcoli con il teor. di Huygens. In definitiva hai tre termini.
Il CM si sposta con la velocità che hai calcolato, quindi nella $E_k$ finale c'è pure la traslatoria.
Non ho ben capito la 2)... se si sposta il centro di massa non dovrei fare un integrale per l'inerzia dell'anello e sommargli poi quella della massa? sono un po confuso anche sul fatto di huygens da usare solo mper la massa. Per la 3).. ma in generale, quando un corpo è vincolato ( non in questo caso), anche in quel caso il cm di massa ha velocità di traslazione, ma perchè non si considera il suo spostamento? ( Perchè essendo un vettore avrebbe due componenti da conservare?)
Hai detto : metto l'origine nel centro dell'anello prima dell'urto. Bene.
Hai trovato che dopo l'urto il CM finale si è spostato in alto , di $d = m/(m+M)R$ . Bene . (ho scritto $d$ anziché $r_(cm)$ per evitare errori).
Hai trovato la velocità di traslazione finale , dopo l'urto anelastico : $v_(cm) = m/(m+M) v_0$ . Bene.
Adesso per trovare la velocità angolare ti ho detto: prendi il CM finale come polo, e scrivi la conservazione del momento angolare rispetto a tale polo. Quindi :
$mv_0(R-d) = I_f*\omega$
dove $I_f$ è il momento di inerzia del sistema finale rispetto al CM finale. Chiaro? Cioè :
$I_f = m(R-d)^2 + MR^2 + Md^2$
chiaro ? Lo vedi dov'è Huygens?
PErcio ora puoi calcolare : $\omega = (mv_0(R-d))/I_f $ .
Ci sei ? Ora essendo l'urto anelastico devi calcolare la perdita di energia cinetica.
Quella prima dell'urto è semplice : $E_i = 1/2mv_0^2$
Dopo l'urto, l'energia cin. è data da : $E_f = 1/2(m+M)v_(cm)^2 + 1/2I_f*\omega^2 $
Fai la differenza $E_i - E_f$ , e così hai finito.
Hai trovato che dopo l'urto il CM finale si è spostato in alto , di $d = m/(m+M)R$ . Bene . (ho scritto $d$ anziché $r_(cm)$ per evitare errori).
Hai trovato la velocità di traslazione finale , dopo l'urto anelastico : $v_(cm) = m/(m+M) v_0$ . Bene.
Adesso per trovare la velocità angolare ti ho detto: prendi il CM finale come polo, e scrivi la conservazione del momento angolare rispetto a tale polo. Quindi :
$mv_0(R-d) = I_f*\omega$
dove $I_f$ è il momento di inerzia del sistema finale rispetto al CM finale. Chiaro? Cioè :
$I_f = m(R-d)^2 + MR^2 + Md^2$
chiaro ? Lo vedi dov'è Huygens?
PErcio ora puoi calcolare : $\omega = (mv_0(R-d))/I_f $ .
Ci sei ? Ora essendo l'urto anelastico devi calcolare la perdita di energia cinetica.
Quella prima dell'urto è semplice : $E_i = 1/2mv_0^2$
Dopo l'urto, l'energia cin. è data da : $E_f = 1/2(m+M)v_(cm)^2 + 1/2I_f*\omega^2 $
Fai la differenza $E_i - E_f$ , e così hai finito.
"navigatore":
dove $I_f$ è il momento di inerzia del sistema finale rispetto al CM finale. Chiaro? Cioè :
$I_f = m(R-d)^2 + MR^2 + Md^2$
chiaro ? Lo vedi dov'è Huygens?
chiaro il primo addendo, la massa piccola per la distanza dal polo( lo posso scegliere dove voglio? ) , poi il secondo è il regolare momento d'inerzia di un anello del centro di massa ( in alcuni esercizi di urti sommavo i momenti di inerzia dei due corpi, senza usare huygens, qua lo potevo fare?) ; 3) Ok.... per il resto ho capito il calcolo, ho quei dubbi tra parentesi
"alby941":
…….
$ I_f = m(R-d)^2 + MR^2 + Md^2 $
chiaro il primo addendo, la massa piccola per la distanza dal polo( lo posso scegliere dove voglio? ) , poi il secondo è il regolare momento d'inerzia di un anello del centro di massa ( in alcuni esercizi di urti sommavo i momenti di inerzia dei due corpi, senza usare huygens, qua lo potevo fare?) ; 3) Ok.... per il resto ho capito il calcolo, ho quei dubbi tra parentesi
Il primo addendo è il m.i. della massa $m$ rispetto al polo assunto, cioè il CM finale. Il secondo e terzo addendo, considerati insieme, sono nient'altro che il m.i. dell'anello rispetto sempre allo stesso polo, che non coincide più col centro geometrico dell'anello. Infatti compare il termine di trasporto $Md^2$ dovuto a Huygens-Steiner.
Il polo puoi sceglierlo dove vuoi. Ma è ovvio che conviene….il più conveniente, per evitare inutili termini aggiuntivi che poi comunque si elidono. Ad esempio, avresti potuto prenderlo nel centro dell'anello, oppure nel punto di impatto.
Sommare semplicemente i momenti di inerzia : che cosa vuol dire? In generale non puoi farlo, non so quindi a che genere di esercizi ti riferisci. Per corpi estesi, se cambi asse , devi sommare al momento di inerzia proprio il termine di trasporto.
Mmm si in effetti tutto torna. Un dubbio mi viene sul fatto che steiner lo si usa quando vogliamo calcolare il solo momento in un punto diverso da quello geometrico... Ma in questo caso la somma totale della massa cambia.... ossia è sbagliato scrivere $I_f= m(R-d)^2 + MR^2$ ? Alla fine il secondo addendo non è altro che il momento di un anello passante per il suo centro di massa ( anche se con una massa data dalla somma di esso con quella piccola). Ho detto una fesseria, sicuramente, ma non so perchè mi vien da fare cosi :/
No, hai detto diverse fesserie! 
Eppure te l'ho spiegato punto per punto!
Già dire "centro geometrico" è la prima. Devi dire "centro di massa iniziale" , il corpo potrebbe non avere alcuna simmetria geometrica, eppure ha sempre un centro di massa.
Lasciamo stare le altre… Ripassati il teorema di H.S. , se vuoi superare l'esame.
Eppure te l'ho spiegato punto per punto! Già dire "centro geometrico" è la prima. Devi dire "centro di massa iniziale" , il corpo potrebbe non avere alcuna simmetria geometrica, eppure ha sempre un centro di massa.
Lasciamo stare le altre… Ripassati il teorema di H.S. , se vuoi superare l'esame.
Hai calcolato l'inerzia di un anello nel suo centro geometrico ( $MR^2$ ) e per steiner lo hai traslato di $d$, poi hai aggiunto il mom. di inerzia della massa piccola. Ma se cambia il centro di massa, steiner a che serve?
Ripeto, ma è l'ultima, perché a un certo punto occorre dirti di prendere il tuo libro e ripassare, specie se devi fare l'esame :
$MR^2$ è il momento di inerzia dell'anello rispetto al centro geometrico che coincide col centro di massa. Se aggiungo una massa $m$ sulla periferia dell'anello, il nuovo CM si sposta di $d$. Per calcolare il m.i. del "sistema" anello+massa aggiunta rispetto al nuovo CM, devo calcolare :
1) il m.i. dell'anello rispetto al nuovo CM , e lo faccio col teorema di Huygens : $MR^2 + Md^2$
2) il m.i. della massa aggiunta : $m(R-d)^2$
$MR^2$ è il momento di inerzia dell'anello rispetto al centro geometrico che coincide col centro di massa. Se aggiungo una massa $m$ sulla periferia dell'anello, il nuovo CM si sposta di $d$. Per calcolare il m.i. del "sistema" anello+massa aggiunta rispetto al nuovo CM, devo calcolare :
1) il m.i. dell'anello rispetto al nuovo CM , e lo faccio col teorema di Huygens : $MR^2 + Md^2$
2) il m.i. della massa aggiunta : $m(R-d)^2$
Grazie, si lo studio che l'ho fatto troppo veloce.
Sei stato molto chiaro
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