Cenno di RG : la deflessione della luce nel "debole" campo gravitazionale del Sole
Ho detto varie volte che il campo gravitazionale del Sole è debole.
Infatti, il rapporto $(|2phi|)/c^2 = (2GM)/(c^2R)$ , dove $phi$ è il potenziale gravitazionale calcolato alla superficie del Sole di raggio $R$ ( e la quantità $(2GM)/c^2 = r_g$ è il raggio di Schwarzschild del Sole, pari a circa $2.96 km$ ) , è dell'ordine di $10^-6 $: per calcolarlo basta considerare il rapporto $r_g/R $ , ponendo $R \approx 7*10^8 m$ (raggio del Sole).
Risulta all'incirca : $ 4.23*10^-6$ . Cioè il Sole ha un raggio molto più grande di quello del buco nero di uguale massa.
Questo consente di adottare una approssimazione nella scrittura della metrica dello spaziotempo leggermente curvato attorno al Sole , e cioè assumere che i coefficienti $g_(munu)$ della metrica siano poco differenti dai valori di Minkowski della RR , dati da $\eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1)$ , e scrivere : $g_(munu) = \eta_(munu) + h_(munu) $ , dove appunto $h_(munu)$ è la correzione.
Questa correzione deve dipendere evidentemente dal potenziale gravitazionale $phi$ del Sole. LA dipendenza si può trovare esaminando come si muovono delle particelle nello ST debolmente curvo attorno ad S. Cioè, si prende l'equazione della geodetica e si fanno delle considerazioni sulle quantità che entrano a fare parte della sua espressione analitica , tenendo presente che in sostanza si sta trattando la gravitazione newtoniana come curvatura dello spaziotempo , cosa del tutto lecita , e nel fare ciò bisogna tener presente alcune condizioni :
1) il campo è debole, come detto ;
2) il campo è statico (il che vuol dire qualcosa in più di "stazionario") ;
3) le velocità delle particelle materiali sono molto piccole, se paragonate alla velocità della luce.
Ho già fatto questa esposizione, in questa risposta di un po' di tempo fa ci sono dei fogli scritti a mano, chi vuole se li guardi :
Riporto la formula (15) dell'ultimo foglio : $ds^2 =….$ , adottando la segnatura $(+,-,-,-)$ :
$ds^2 = (1 + 2phi) (dt)^2 - (1-2\phi)dl^2 $ ---------(15)
dove si deve intendere : $ dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 $ . Ripeto, questa approssimazione è valida supponendo il campo "debole" come detto all'inizio, il che permette di scrivere il coefficiente di $dl^2$ come è stato fatto [nota]ricordo che quando $|x|<\<1$ si può approssimare : $1/(1-x) = 1+x +…. \approx (1+x) $[/nota]
Naturalmente il potenziale è sottinteso adimensionale perché diviso per $c^2$ , cioè : $\phi/c^2 = - (Gm)/(Rc^2)$ , e inoltre : $dt \equiv cdt$ è equivalente ad una lunghezza.
Dalla (15) si ricava che, in un certo punto dello ST, quindi ponendo $dl = 0 $ , l'andamento del tempo proprio è legato a quello del tempo coordinato (dove ora per "tempo coordinato" si deve intendere quello di un osservatore molto lontano dalla massa $m$ che crea il campo) dalla relazione :
$(d\tau)/(dt) = sqrt(g_(00)$ --------(16)
e da quanto sopra detto si può ritenere che : $g_(00) = 1 + (2\phi)/c^2 = 1- (2Gm)/(c^2r) = 1- (2m)/r$ -------(17)
dove si è posto $G=c=1$ nell'ultimo passaggio.
(Notiamo che la (17) è esatta, anche quando si vanno a fare i calcoli per la soluzione completa di Schwarzschild. Tuttavia si ricava in altro modo.)
In prima approssimazione, da (16) e (17) si può allora dire che :
$d\tau = sqrt(1- (2m)/r)*dt = \approx (1 - m/r)dt $---------(18)
Nel 1911 A. Einstein ipotizzò che la variazione del solo coefficiente $g_(00) = (1-(2m)/r)$ con la coordinata $r$ fosse responsabile della deflessione di un raggio luminoso che passa vicino alla superficie del Sole , a distanza $r$ dal centro.
In altri termini, scrivendo la (15) senza il fattore di correzione di $dl$ , e tenendo conto che per la luce deve essere $ds^2 = 0 $ in quanto la linea di universo della luce è nulla, si può scrivere :
$0 = (1 + 2phi) (dt)^2 - dl^2$
da cui : $(dl)/(dt) = sqrt(1-(2m)/r) = \approx (1-m/r) $ -------(19)
Non deve meravigliare che nelle coordinate $(l,t)$ la velocità della luce vari : non sono coordinate inerziali, non siamo in RR dove $c$ è costante nel vuoto in tutti riferimenti inerziali. LA costanza di $c$ è comunque assicurata in tutti i riferimenti inerziali "locali" , dove si applica la relatività ristretta.
Siamo nella condizione di questa semplice figura :
Il raggio luminoso si propaga, per ipotesi, nel piano $z=0$ e non esce dal piano stesso [nota]Questo si dimostra, ma lo dò per scontato. Nel trattare la soluzione di Sch. si dimostra che vale una sorta di "conservazione del momento angolare" anche per i fotoni, pur non avendo questi una massa. Ma si tratta di un integrale primo del moto, che si ricava dalla lagrangiana. Non insisto[/nota]
Inoltre , è facile capire che lo spostamento $dl$ è quasi tutto dovuto a $dx$ . Per vedere di quanto varia la velocità rispetto a $y$ , è sufficiente eseguire la derivata parziale della (19) :
$(delc)/(dely) = (del)/(dely)(1 - m/sqrt(x^2+y^2)) = m/r^3y$ ------(20)
A questo punto , E. ritenne che la deviazione fosse praticamente tutta concentrata in prossimità del Sole, quindi assunse che $y$ rimanesse praticamente costante e uguale a $R$ , e usò il principio di Huygens per calcolare la deflessione, come spiegato meglio in questa dispensa . La velocità della luce diminuisce, nel riferimento non inerziale, come se la luce attraversasse un mezzi o con indice di rifrazione diverso da 1 . La deflessione trasversale evolve come :
$(d\alpha)/(dx) = 1/c (delc)/(dely) = m/r^3y $ ( c=1).
e integrando rispetto a $x$ da $-\infty$ a $+ \infty$, con $y= R$ , si ottiene la deflessione totale:
$\alpha = \int_(-\infty)^(+\infty) (d\alpha)/(dx) dx = \int_(-\infty)^(+\infty) (delc)/(dely) dx = mR\int_(-\infty)^(+\infty) 1/(x^2 + R^2)^(3/2) dx = m/R* [x/sqrt(x^2+R^2)]_(-\infty)^(+\infty) = 2m/R $ -----(21)
Così facendo E. ottenne lo stesso valore approssimato, previsto dalla teoria newtoniana assegnando al fotone una "massa fittizia", ovvero eseguendo una semplice trasformazione di coordinate da un riferimento locale inerziale a un riferimento accelerato; ne avevo parlato in altro thread, dove avevo riportato il calcolo del raggio di curvatura pari a $c^2/g$ , supponendo che il campo fosse perfettamente uniforme e pari a $vecg$ .
Infatti, in questo modo un calcolo grossolano dell'angolo di deflessione si potrebbe fare, assumendo per il Sole un valore di $g = 274 m/s^2$ , e supponendo che il campo gravitazionale sia "uniforme" per una estensione pari al diametro $D = 2R$ del sole, attraversato ( perpendicolarmente alle linee di questo ipotetico campo uniforme) dai fotoni radenti alla superficie, visto che il diametro del sole è molto più piccolo rispetto al raggio di curvatura $c^2/g$ della traiettoria. Quindi l'angolo di deflessione risulterebbe uguale al rapporto tra $2R$ e il raggio di curvatura :
$\theta = (2Rg)/c^2 = (2GM)/(Rc^2) $
In realtà il campo gravitazionale non è uniforme per una estensione pari a $D = 2R$, e nullo al di fuori di tale estensione. L'approssimazione è grande. Anche lo spazio tridimensionale è distorto (curvato) nell'intorno di $M$. Quindi limitare la "parabola balistica" ad una larghezza uguale a $D$ è restrittivo.
Perciò, una volta elaborata la teoria della RG nel 1915, E. si rese conto che il calcolo non era esatto. Andava tenuto conto anche della curvatura dello spazio, cioè del termine correttivo , già visto nella (15) , applicato ai termini spaziali, sia pure limitando la correzione al solo termine $dx$ . Perciò, la relazione di partenza, che si ottiene ponendo $ds^2 = 0 $ nella (15) e $dl = \approx dx$ è ora :
$(1+2\phi) dt^2 = (1-2\phi)dx^2$ ----------(22)
Pertanto :
$((dx)/(dt))^2 = (1+2\phi)/(1-2\phi) = \approx (1+2\phi)^2 $ , da cui. mettendo $dl \approx dx$ :
$ (dl)/(dt) = \approx 1+2\phi = 1 - (2m)/r$ -----(23)
Come si vede paragonando la (23) con la (19) , il termine correttivo ora è raddoppiato , diventando $2m/r$ .
Ora quindi è semplice: procedendo come prima col calcolo dell'integrale, il fattore costante fuori dell'integrale è doppio, perciò , senza ripetere gli stessi passaggi, doppio risulta il valore finale dell'angolo di deflessione :
$\alpha = (4m)/R = (4Gm)/(c^2R)$ ------(24).
E questo è quanto si voleva dimostrare.
Altre informazioni si trovano in questa dispensa e anche in quest'altra.
Non mancano, al solito, i pareri contrari al riguardo. Ad esempio questo , dove si dice in breve che il rallentamento non è dovuto alla curvatura dello spazio.
A voi la lettura, l'esame, e la critica, se l'argomento vi piace.
Domanda : che cosa succederebbe , se il Sole si riducesse al suo buco nero, cioè se tutta la massa del Sole venisse magicamente compressa fino a occupare un volume inferiore a quello della sfera di raggio pari al suo raggio gravitazionale $r_g = 2.96 km $?
Dico subito che alla distanza della Terra , ma anche di Venere e Mercurio, non succede proprio niente, le cose continuano ad andare alla stessa maniera di ora. Lo spaziotempo subisce forti modificazioni solo nelle vicinanze del buco nero.
Ma attorno al b.n. succedono comunque cose interessanti , per quanto riguarda il tempo, lo spazio, l'accelerazione gravitazionale, la luce, le particelle materiali…
Il calcolo della deflessione della luce diventa esatto, e si trovano traiettorie che sono fortemente curvate ; ripetendo nella maniera esatta il calcolo per la luce avente distanza dal b.n. pari al valore del raggio attuale $R$ si ritrova il valore $ (4m)/R $ , ma stavolta senza ipotesi semplificative.
Addirittura si trova che quando la distanza a cui passa il fotone dal centro del b.n. è uguale a solo $3m = 1.5 r_g$ , la traiettoria diventa una circonferenza , cioè la luce si mette a girare in tondo attorno al b.n. ! Ma si tratta di un'orbita instabile .
Magari ne parleremo un'altra volta . Ciao.
Infatti, il rapporto $(|2phi|)/c^2 = (2GM)/(c^2R)$ , dove $phi$ è il potenziale gravitazionale calcolato alla superficie del Sole di raggio $R$ ( e la quantità $(2GM)/c^2 = r_g$ è il raggio di Schwarzschild del Sole, pari a circa $2.96 km$ ) , è dell'ordine di $10^-6 $: per calcolarlo basta considerare il rapporto $r_g/R $ , ponendo $R \approx 7*10^8 m$ (raggio del Sole).
Risulta all'incirca : $ 4.23*10^-6$ . Cioè il Sole ha un raggio molto più grande di quello del buco nero di uguale massa.
Questo consente di adottare una approssimazione nella scrittura della metrica dello spaziotempo leggermente curvato attorno al Sole , e cioè assumere che i coefficienti $g_(munu)$ della metrica siano poco differenti dai valori di Minkowski della RR , dati da $\eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1)$ , e scrivere : $g_(munu) = \eta_(munu) + h_(munu) $ , dove appunto $h_(munu)$ è la correzione.
Questa correzione deve dipendere evidentemente dal potenziale gravitazionale $phi$ del Sole. LA dipendenza si può trovare esaminando come si muovono delle particelle nello ST debolmente curvo attorno ad S. Cioè, si prende l'equazione della geodetica e si fanno delle considerazioni sulle quantità che entrano a fare parte della sua espressione analitica , tenendo presente che in sostanza si sta trattando la gravitazione newtoniana come curvatura dello spaziotempo , cosa del tutto lecita , e nel fare ciò bisogna tener presente alcune condizioni :
1) il campo è debole, come detto ;
2) il campo è statico (il che vuol dire qualcosa in più di "stazionario") ;
3) le velocità delle particelle materiali sono molto piccole, se paragonate alla velocità della luce.
Ho già fatto questa esposizione, in questa risposta di un po' di tempo fa ci sono dei fogli scritti a mano, chi vuole se li guardi :
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Riporto la formula (15) dell'ultimo foglio : $ds^2 =….$ , adottando la segnatura $(+,-,-,-)$ :
$ds^2 = (1 + 2phi) (dt)^2 - (1-2\phi)dl^2 $ ---------(15)
dove si deve intendere : $ dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 $ . Ripeto, questa approssimazione è valida supponendo il campo "debole" come detto all'inizio, il che permette di scrivere il coefficiente di $dl^2$ come è stato fatto [nota]ricordo che quando $|x|<\<1$ si può approssimare : $1/(1-x) = 1+x +…. \approx (1+x) $[/nota]
Naturalmente il potenziale è sottinteso adimensionale perché diviso per $c^2$ , cioè : $\phi/c^2 = - (Gm)/(Rc^2)$ , e inoltre : $dt \equiv cdt$ è equivalente ad una lunghezza.
Dalla (15) si ricava che, in un certo punto dello ST, quindi ponendo $dl = 0 $ , l'andamento del tempo proprio è legato a quello del tempo coordinato (dove ora per "tempo coordinato" si deve intendere quello di un osservatore molto lontano dalla massa $m$ che crea il campo) dalla relazione :
$(d\tau)/(dt) = sqrt(g_(00)$ --------(16)
e da quanto sopra detto si può ritenere che : $g_(00) = 1 + (2\phi)/c^2 = 1- (2Gm)/(c^2r) = 1- (2m)/r$ -------(17)
dove si è posto $G=c=1$ nell'ultimo passaggio.
(Notiamo che la (17) è esatta, anche quando si vanno a fare i calcoli per la soluzione completa di Schwarzschild. Tuttavia si ricava in altro modo.)
In prima approssimazione, da (16) e (17) si può allora dire che :
$d\tau = sqrt(1- (2m)/r)*dt = \approx (1 - m/r)dt $---------(18)
Nel 1911 A. Einstein ipotizzò che la variazione del solo coefficiente $g_(00) = (1-(2m)/r)$ con la coordinata $r$ fosse responsabile della deflessione di un raggio luminoso che passa vicino alla superficie del Sole , a distanza $r$ dal centro.
In altri termini, scrivendo la (15) senza il fattore di correzione di $dl$ , e tenendo conto che per la luce deve essere $ds^2 = 0 $ in quanto la linea di universo della luce è nulla, si può scrivere :
$0 = (1 + 2phi) (dt)^2 - dl^2$
da cui : $(dl)/(dt) = sqrt(1-(2m)/r) = \approx (1-m/r) $ -------(19)
Non deve meravigliare che nelle coordinate $(l,t)$ la velocità della luce vari : non sono coordinate inerziali, non siamo in RR dove $c$ è costante nel vuoto in tutti riferimenti inerziali. LA costanza di $c$ è comunque assicurata in tutti i riferimenti inerziali "locali" , dove si applica la relatività ristretta.
Siamo nella condizione di questa semplice figura :
Il raggio luminoso si propaga, per ipotesi, nel piano $z=0$ e non esce dal piano stesso [nota]Questo si dimostra, ma lo dò per scontato. Nel trattare la soluzione di Sch. si dimostra che vale una sorta di "conservazione del momento angolare" anche per i fotoni, pur non avendo questi una massa. Ma si tratta di un integrale primo del moto, che si ricava dalla lagrangiana. Non insisto[/nota]
Inoltre , è facile capire che lo spostamento $dl$ è quasi tutto dovuto a $dx$ . Per vedere di quanto varia la velocità rispetto a $y$ , è sufficiente eseguire la derivata parziale della (19) :
$(delc)/(dely) = (del)/(dely)(1 - m/sqrt(x^2+y^2)) = m/r^3y$ ------(20)
A questo punto , E. ritenne che la deviazione fosse praticamente tutta concentrata in prossimità del Sole, quindi assunse che $y$ rimanesse praticamente costante e uguale a $R$ , e usò il principio di Huygens per calcolare la deflessione, come spiegato meglio in questa dispensa . La velocità della luce diminuisce, nel riferimento non inerziale, come se la luce attraversasse un mezzi o con indice di rifrazione diverso da 1 . La deflessione trasversale evolve come :
$(d\alpha)/(dx) = 1/c (delc)/(dely) = m/r^3y $ ( c=1).
e integrando rispetto a $x$ da $-\infty$ a $+ \infty$, con $y= R$ , si ottiene la deflessione totale:
$\alpha = \int_(-\infty)^(+\infty) (d\alpha)/(dx) dx = \int_(-\infty)^(+\infty) (delc)/(dely) dx = mR\int_(-\infty)^(+\infty) 1/(x^2 + R^2)^(3/2) dx = m/R* [x/sqrt(x^2+R^2)]_(-\infty)^(+\infty) = 2m/R $ -----(21)
Così facendo E. ottenne lo stesso valore approssimato, previsto dalla teoria newtoniana assegnando al fotone una "massa fittizia", ovvero eseguendo una semplice trasformazione di coordinate da un riferimento locale inerziale a un riferimento accelerato; ne avevo parlato in altro thread, dove avevo riportato il calcolo del raggio di curvatura pari a $c^2/g$ , supponendo che il campo fosse perfettamente uniforme e pari a $vecg$ .
Infatti, in questo modo un calcolo grossolano dell'angolo di deflessione si potrebbe fare, assumendo per il Sole un valore di $g = 274 m/s^2$ , e supponendo che il campo gravitazionale sia "uniforme" per una estensione pari al diametro $D = 2R$ del sole, attraversato ( perpendicolarmente alle linee di questo ipotetico campo uniforme) dai fotoni radenti alla superficie, visto che il diametro del sole è molto più piccolo rispetto al raggio di curvatura $c^2/g$ della traiettoria. Quindi l'angolo di deflessione risulterebbe uguale al rapporto tra $2R$ e il raggio di curvatura :
$\theta = (2Rg)/c^2 = (2GM)/(Rc^2) $
In realtà il campo gravitazionale non è uniforme per una estensione pari a $D = 2R$, e nullo al di fuori di tale estensione. L'approssimazione è grande. Anche lo spazio tridimensionale è distorto (curvato) nell'intorno di $M$. Quindi limitare la "parabola balistica" ad una larghezza uguale a $D$ è restrittivo.
Perciò, una volta elaborata la teoria della RG nel 1915, E. si rese conto che il calcolo non era esatto. Andava tenuto conto anche della curvatura dello spazio, cioè del termine correttivo , già visto nella (15) , applicato ai termini spaziali, sia pure limitando la correzione al solo termine $dx$ . Perciò, la relazione di partenza, che si ottiene ponendo $ds^2 = 0 $ nella (15) e $dl = \approx dx$ è ora :
$(1+2\phi) dt^2 = (1-2\phi)dx^2$ ----------(22)
Pertanto :
$((dx)/(dt))^2 = (1+2\phi)/(1-2\phi) = \approx (1+2\phi)^2 $ , da cui. mettendo $dl \approx dx$ :
$ (dl)/(dt) = \approx 1+2\phi = 1 - (2m)/r$ -----(23)
Come si vede paragonando la (23) con la (19) , il termine correttivo ora è raddoppiato , diventando $2m/r$ .
Ora quindi è semplice: procedendo come prima col calcolo dell'integrale, il fattore costante fuori dell'integrale è doppio, perciò , senza ripetere gli stessi passaggi, doppio risulta il valore finale dell'angolo di deflessione :
$\alpha = (4m)/R = (4Gm)/(c^2R)$ ------(24).
E questo è quanto si voleva dimostrare.
Altre informazioni si trovano in questa dispensa e anche in quest'altra.
Non mancano, al solito, i pareri contrari al riguardo. Ad esempio questo , dove si dice in breve che il rallentamento non è dovuto alla curvatura dello spazio.
A voi la lettura, l'esame, e la critica, se l'argomento vi piace.
Domanda : che cosa succederebbe , se il Sole si riducesse al suo buco nero, cioè se tutta la massa del Sole venisse magicamente compressa fino a occupare un volume inferiore a quello della sfera di raggio pari al suo raggio gravitazionale $r_g = 2.96 km $?
Dico subito che alla distanza della Terra , ma anche di Venere e Mercurio, non succede proprio niente, le cose continuano ad andare alla stessa maniera di ora. Lo spaziotempo subisce forti modificazioni solo nelle vicinanze del buco nero.
Ma attorno al b.n. succedono comunque cose interessanti , per quanto riguarda il tempo, lo spazio, l'accelerazione gravitazionale, la luce, le particelle materiali…
Il calcolo della deflessione della luce diventa esatto, e si trovano traiettorie che sono fortemente curvate ; ripetendo nella maniera esatta il calcolo per la luce avente distanza dal b.n. pari al valore del raggio attuale $R$ si ritrova il valore $ (4m)/R $ , ma stavolta senza ipotesi semplificative.
Addirittura si trova che quando la distanza a cui passa il fotone dal centro del b.n. è uguale a solo $3m = 1.5 r_g$ , la traiettoria diventa una circonferenza , cioè la luce si mette a girare in tondo attorno al b.n. ! Ma si tratta di un'orbita instabile .
Magari ne parleremo un'altra volta . Ciao.
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