Catenaria, alcuni problemi
La catenaria è una curva che descrive una corda sospesa per due punti allineati, la sua equazione viene descritta tramite il coseno iperbolico.
Wikipedia ne propone una derivazione matematica in cui applica una sostituzione che mi lascia dei dubbi. Praticamente una volta scomposto l'equazione con i componenti della tensione in forma trigonometrica
\(\displaystyle \frac{d(\tau \cos \phi)}{ds}=0 \)
\(\displaystyle \frac{d(\tau \sin \phi)}{ds}=\lambda_0 g \)
Esprime l'angolo tra questo vettore e l'asse orizzontale come arcotangente del rapporto tra i punti $y$ e $x$ della curva.
\(\displaystyle \phi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Questo significa che la tensione è parallela al vettore posizione, ma questo non è detto da nessuna parte nel testo, vorrei sapere da dove deriva questa supposizione?
Wikipedia ne propone una derivazione matematica in cui applica una sostituzione che mi lascia dei dubbi. Praticamente una volta scomposto l'equazione con i componenti della tensione in forma trigonometrica
\(\displaystyle \frac{d(\tau \cos \phi)}{ds}=0 \)
\(\displaystyle \frac{d(\tau \sin \phi)}{ds}=\lambda_0 g \)
Esprime l'angolo tra questo vettore e l'asse orizzontale come arcotangente del rapporto tra i punti $y$ e $x$ della curva.
\(\displaystyle \phi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Questo significa che la tensione è parallela al vettore posizione, ma questo non è detto da nessuna parte nel testo, vorrei sapere da dove deriva questa supposizione?
Risposte
Un filo ideale è perfettamente flessibile, oltre che inestensibile. Questo significa che non resiste a sforzi di taglio e a momenti flettenti. La tensione in ogni punto non può che essere diretta secondo la tangente alla configurazione del filo in quel punto.
Fa riferimento a dispense che trattano la "statica dei fili" , per esempio questa, dove la catenaria è trattata nel paragrafo 9.4.
http://smmm.unipv.it/didattica/FisMatMN ... filiRR.pdf
Fa riferimento a dispense che trattano la "statica dei fili" , per esempio questa, dove la catenaria è trattata nel paragrafo 9.4.
http://smmm.unipv.it/didattica/FisMatMN ... filiRR.pdf
La tensione è diretta tangenzialmente al filo, il suo angolo si ricava quindi dalla tangente nel punto alla curva rappresentante il filo.
Ora chiamando il punto $P(x,y)$, con la formula
\(\displaystyle \phi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Non si ricava l'angolo $H\hat{O}P$ del triangolo rettangolo formato dai punti $OPH$, con $H$ proiezione di $P$ sull'asse orizzontale?
PS: Il testo che hai postato nel link è davvero interessante ma trova la catenaria in modo un po' diverso, partendo già dall'equazione risultante, ma non ho le conoscenze adatte a capirlo, su wikipedia sembra essere più semplice se non per questo problema.
Ora chiamando il punto $P(x,y)$, con la formula
\(\displaystyle \phi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Non si ricava l'angolo $H\hat{O}P$ del triangolo rettangolo formato dai punti $OPH$, con $H$ proiezione di $P$ sull'asse orizzontale?
PS: Il testo che hai postato nel link è davvero interessante ma trova la catenaria in modo un po' diverso, partendo già dall'equazione risultante, ma non ho le conoscenze adatte a capirlo, su wikipedia sembra essere più semplice se non per questo problema.
"CaMpIoN":
La tensione è diretta tangenzialmente al filo, il suo angolo si ricava quindi dalla tangente nel punto alla curva rappresentante il filo.
Ora chiamando il punto $P(x,y)$, con la formula
\(\displaystyle \phi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Non si ricava l'angolo $H\hat{O}P$ del triangolo rettangolo formato dai punti $OPH$, con $H$ proiezione di $P$ sull'asse orizzontale?
…….
Rifletti.
Data una curva piana qualsiasi in coordinate cartesiane, di equazione in forma esplicita $y = f(x)$ ( o anche in forma implicita $ f(x,y) = 0$ ) , e dato un suo punto $P_0 = (x_0,y_0)$ , certamente congiungendo $P_0$ con l'origine si ha che :
$\Phi = arctan(y/x)$ è l'angolo che $OP_0$ forma con l'asse x. (Ma talora la formuletta cade in difetto…).
Ma questo rapporto non ha niente a che vedere con la pendenza della curva in $P_0$, che è dato da $(dy)/(dx)|_(x0) $ , ti sembra?
Data la curva di equazione detta, come si trova la tangente in un suo punto ? Considera un caso semplice, la parabola di equazione $y = x^2$ , e convinciti da solo che, per ogni punto di essa, una cosa è il rapporto $y/x$ , un'altra cosa è la pendenza, cioè la tangente, in quel punto.
Credo che forse mi sono spiegato io male, perché so' cos'è la tangente in un punto alla curva e la pendenza della retta passante per il segmento formato dall'origine ed il punto di tangenza. Per spiegarmi meglio utilizzo un'immagine:
$\mathbf{u}$ sarebbe il vettore tangente alla curva (che è la funzione $y=cosh(x)$), $\mathbf{w}$ è invece il vettore posizione del punto $A(x,y)$. Praticamente se ho capito bene il vettore tensione dovrebbe essere tangente alla curva, quindi può essere rappresentato come il vettore $\mathbf{u}$. A questo punto scompone il vettore con le componenti cartesiane (io scompongo $\mathbf{u}$):
\(\displaystyle \mathbf{u}=u \cos(\alpha)\hat{i}+u \sin(\alpha)\hat{j} \)
Poi si utilizza la seguente identità:
\(\displaystyle \alpha=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Però questo è sbagliato come dici anche tu perché invece si ha:
\(\displaystyle \beta=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Quindi o è wikipedia che sbaglia o sono io che non ho capito qualcosa, vorrei capire questo.
Grazie mille per la tua disponibilità e per l'aiuto spero di non chiedere troppo
$\mathbf{u}$ sarebbe il vettore tangente alla curva (che è la funzione $y=cosh(x)$), $\mathbf{w}$ è invece il vettore posizione del punto $A(x,y)$. Praticamente se ho capito bene il vettore tensione dovrebbe essere tangente alla curva, quindi può essere rappresentato come il vettore $\mathbf{u}$. A questo punto scompone il vettore con le componenti cartesiane (io scompongo $\mathbf{u}$):
\(\displaystyle \mathbf{u}=u \cos(\alpha)\hat{i}+u \sin(\alpha)\hat{j} \)
Poi si utilizza la seguente identità:
\(\displaystyle \alpha=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Però questo è sbagliato come dici anche tu perché invece si ha:
\(\displaystyle \beta=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \)
Quindi o è wikipedia che sbaglia o sono io che non ho capito qualcosa, vorrei capire questo.
Grazie mille per la tua disponibilità e per l'aiuto spero di non chiedere troppo
Ho guardato quello che dice Wikipedia, non lo avevo fatto prima, e francamente sono perplesso anch'io, il tuo dubbio è legittimo. La tensione in un punto di ascissa curvilinea $s$ è un vettore tangente alla curva $vecT(s)$ , e le sue componenti rispetto ai due assi $x$ ed $y$ sono date da : $(T(s)(dx)/(ds), T(s)(dy)/(ds))$ , infatti il versore tangente alla curva ha componenti : $((dx)/(ds),(dy)/(ds))$ , come riporta chiaramente questa seconda trattazione, più semplice e forse più chiara:
http://crf.uniroma2.it/quaderni/catenaria/Catenaria.pdf
A questo punto, o siamo in due a non aver capito, oppure Wikipedia sbaglia. Allora vediamo se un matematico viene a tirarci dall'imbarazzo!
http://crf.uniroma2.it/quaderni/catenaria/Catenaria.pdf
A questo punto, o siamo in due a non aver capito, oppure Wikipedia sbaglia. Allora vediamo se un matematico viene a tirarci dall'imbarazzo!
Ok credo di aver capito perfettamente.
Praticamente wikipedia non sbaglia siamo noi (o solo io) che ho interpretato male i concetti, esso parla di componenti $x$ e $y$ ma non relative al vettore posizione, relative al vettore tensione.
A questo punto avendo queste due formule
\(\displaystyle \frac{d(\tan \phi)}{ds}=\frac{\lambda_0 g}{c} \)
\(\displaystyle ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx \)
Arriva all'equazione differenziale che descrive la curva. La prima equazione è quella derivata dall'equazione di equilibrio principale, mentre la seconda è semplicemente la forma differenziale della ascissa curvilinea nel piano $xy$.
A questo punto si trovi $ds$ dalla prima equazione, si ha
\(\displaystyle ds=d(\tan \phi)\frac{c}{\lambda_0 g} \)
Sostituiamolo nella seconda
\(\displaystyle d(\tan \phi)\frac{c}{\lambda_0 g}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx \)
Portiamo il rapporto dopo l'uguale e dividiamo entrambi i membri per $dx$, otteniamo
\(\displaystyle \frac{d(\tan \phi)}{dx}=\frac{\lambda_0 g}{c}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \)
A questo punto sappiamo che
\(\displaystyle y'=\frac{dy}{dx} \)
\(\displaystyle \phi \) è l'angolo formato tra il vettore tensione e l'asse orizzontale, il vettore tensione è però tangente alla curva, quindi si ha che
\(\displaystyle y'=\tan \phi \)
Pertanto
\(\displaystyle y''=\frac{d(\tan \phi)}{dx} \)
Sostituendo si ottiene l'equazione differenziale finale
\(\displaystyle y''=\frac{\lambda_0 g}{c} \sqrt{1+(y')^2}\)
Che però non so' risolvere in quanto non ne ho le conoscenze adatte, se magari qualcuno gentile me lo mostrasse lo sarei grato
.
Praticamente mi sono ingegnato stasera xD.
Praticamente wikipedia non sbaglia siamo noi (o solo io) che ho interpretato male i concetti, esso parla di componenti $x$ e $y$ ma non relative al vettore posizione, relative al vettore tensione.
A questo punto avendo queste due formule
\(\displaystyle \frac{d(\tan \phi)}{ds}=\frac{\lambda_0 g}{c} \)
\(\displaystyle ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx \)
Arriva all'equazione differenziale che descrive la curva. La prima equazione è quella derivata dall'equazione di equilibrio principale, mentre la seconda è semplicemente la forma differenziale della ascissa curvilinea nel piano $xy$.
A questo punto si trovi $ds$ dalla prima equazione, si ha
\(\displaystyle ds=d(\tan \phi)\frac{c}{\lambda_0 g} \)
Sostituiamolo nella seconda
\(\displaystyle d(\tan \phi)\frac{c}{\lambda_0 g}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx \)
Portiamo il rapporto dopo l'uguale e dividiamo entrambi i membri per $dx$, otteniamo
\(\displaystyle \frac{d(\tan \phi)}{dx}=\frac{\lambda_0 g}{c}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \)
A questo punto sappiamo che
\(\displaystyle y'=\frac{dy}{dx} \)
\(\displaystyle \phi \) è l'angolo formato tra il vettore tensione e l'asse orizzontale, il vettore tensione è però tangente alla curva, quindi si ha che
\(\displaystyle y'=\tan \phi \)
Pertanto
\(\displaystyle y''=\frac{d(\tan \phi)}{dx} \)
Sostituendo si ottiene l'equazione differenziale finale
\(\displaystyle y''=\frac{\lambda_0 g}{c} \sqrt{1+(y')^2}\)
Che però non so' risolvere in quanto non ne ho le conoscenze adatte, se magari qualcuno gentile me lo mostrasse lo sarei grato
.Praticamente mi sono ingegnato stasera xD.
Sì, ho capito ciò che giustamente hai capito, e che io come te inizialmente non avevo capito…. 
In sostanza, Wikipedia indica con $y$ e $x$ NON le coordinate del punto sulla catenaria, MA le componenti di $vec\tau$.
Avrebbe fatto meglio a scrivere :
$\theta = arctan ( (\tau_y)/(tau_x) ) $
anziché : $\theta = arctan(y/x)$
perché uno è portato a interpretare $x$ e $y$ come coordinate, non come componenti di un vettore. E che diamine !
In sostanza, Wikipedia indica con $y$ e $x$ NON le coordinate del punto sulla catenaria, MA le componenti di $vec\tau$.
Avrebbe fatto meglio a scrivere :
$\theta = arctan ( (\tau_y)/(tau_x) ) $
anziché : $\theta = arctan(y/x)$
perché uno è portato a interpretare $x$ e $y$ come coordinate, non come componenti di un vettore. E che diamine !
si in effetti è da correggere, comunque sapresti come si risolve quell'equazione differenziale??
Chi, io ?!?! E per chi mi hai preso, per un matematico ??? 
Neanche per idea, so come si risolve quella equazione differenziale!
Io sto alle equazioni differenziali come L'Italia di Prandelli sta al calcio…..
(Ho il massimo rispetto per i matematici, ovviamente….ma ogni tanto mi piace scherzare).
Però la dispensa di uniroma2 che ti ho linkato porta una soluzione del problema che mi sembra interessante.
Neanche per idea, so come si risolve quella equazione differenziale!
Io sto alle equazioni differenziali come L'Italia di Prandelli sta al calcio…..
(Ho il massimo rispetto per i matematici, ovviamente….ma ogni tanto mi piace scherzare).
Però la dispensa di uniroma2 che ti ho linkato porta una soluzione del problema che mi sembra interessante.
Poni $z=y'$, poi separa le variabili... alla fine trovi il coseno iperbolico cvd...
Ok, risolto grazie mille per l'aiuto ragazzi buona serata site molto bravi
EDIT: un'ultima cosa, l'equazione della curva è quindi data da
\(\displaystyle y=\frac{c}{\lambda_0 g} \cosh \left(\frac{\lambda_0 g}{c}x+\alpha\right)+\beta \)
Le caratteristiche della curva dovranno dipendere però anche dalla posizione dei punti che sostengono la corda omogenea e dalla lunghezza della stessa. Probabilmente queste informazioni sono incluse nelle costanti inserite nell'equazione, ce un modo per far comparire in questa la lunghezza della corda e la posizione dei punti fissi?
EDIT: un'ultima cosa, l'equazione della curva è quindi data da
\(\displaystyle y=\frac{c}{\lambda_0 g} \cosh \left(\frac{\lambda_0 g}{c}x+\alpha\right)+\beta \)
Le caratteristiche della curva dovranno dipendere però anche dalla posizione dei punti che sostengono la corda omogenea e dalla lunghezza della stessa. Probabilmente queste informazioni sono incluse nelle costanti inserite nell'equazione, ce un modo per far comparire in questa la lunghezza della corda e la posizione dei punti fissi?
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