Carrucola ideale e moto degli oggetti legati dal filo ideale
Ripropongo quanto scrissi tempo fa per un esercizio. Vorrei capire bene, anche perchè in tale occasione non fui bravo a esprimere il problema.
E' in sostanza il problema di considerare il significato fisico di un sistema di due corpi unito da un filo inestensibile. Il filo, quindi, è "come se non ci fosse": probabilmente sarebbe lo stesso considerare due corpi semplicemente attaccati, magari con una "colla" dalle proprietà fisiche "ideali", come quelle del filo (e tuttavia esercitante una sorta di "tensione di legame" così come la fune esercita una certa "tensione": chiedo conferma, senza chiedervi tuttavia di "scervellarvi" troppo
).
Dunque, andiamo avanti. Se devo considerare un problema in cui c'è un corpo fermo, appoggiato ad un piano orizzontale, e collegato a un corpo "pendente" e quindi soggetto alla forza di gravità, oppure appoggiato su un piano inclinato, e se suppongo nullo ogni tipo di attrito (il problema si complicherebbe, in quanto dovrei considerare poi la tangente dell'angolo del piano per studiare se il corpo si muove o meno), qual è la legge da considerare? La figura non dovrebbe essere molto difficile da rappresentare, anche perchè aggiungo il particolare che i due corpi si considerano legati da un filo che passa sopra una carrucola piccola e priva anch' essa di attriti di qualsiasi genere.
Il corpo 2, cui sono riferite tutte le grandezze con pedice $2$, è quello poggiato, e quindi non soggetto alla forza di gravità.
Il corpo 1, invece, cui sono riferite tutte le grandezze con pedice $1$, è quello collegato al precedente da un filo e pendente, soggetto quindi alla forza peso.
Io penso che la legge sia questa, volendola studiare non "sfruttando" il principio di conservazione dell'energia, ma ricorrendo al secondo principio di Newton:
Considero un sistema di riferimento "normale" (per "normale" intendo un "piano cartesiano" come quelli che abbiamo sempre visto, con l'orientamento positivo di y e x rispettivamente in alto e a destra), e considero quindi il moto lungo le due componenti:
$ m_1 a1 = + \tau - m g$
$m_2 a2 = \tau $
Queste due leggi sono vere, purchè gli attriti siano trascurabili, e purchè la corda abbia certe caratteristiche (qua spero che qualcuno mi dica come debbano essere di preciso queste caratteristiche).
Qui ho un "idolo" da confutare, con il vostro aiuto. Intuitivamente, mi pare che vengano trascurati, sempre che il mio quadro sia vero, gli effetti della forza peso sul corpo numero due. Mi riferisco agli effetti della forza peso del corpo 1, collegato al secondo. Anche se per quest' ultimo la forza peso è equilibrata ogni volta dal piano, tuttavia mi pare che la forza peso del secondo è come se si trasmettesse al primo. Se il primo scende, quello viene trascinato giù, la pura intuizione (sensoriale, quindi di cui non mi devo fidare) mi suggerisce questo, a meno che il corpo 2 non sia più pesante del primo. Prima di studiarlo, il fenomeno me lo immaginavo così.
Come, allora, si arriva a confutare quest'intuizione? Se necessario, sarò più chiaro, perchè ovviamente questo esercizio è solo un pretesto per capire ancora di più qualcosa sul metodo che devo e voglio imparare.
E' in sostanza il problema di considerare il significato fisico di un sistema di due corpi unito da un filo inestensibile. Il filo, quindi, è "come se non ci fosse": probabilmente sarebbe lo stesso considerare due corpi semplicemente attaccati, magari con una "colla" dalle proprietà fisiche "ideali", come quelle del filo (e tuttavia esercitante una sorta di "tensione di legame" così come la fune esercita una certa "tensione": chiedo conferma, senza chiedervi tuttavia di "scervellarvi" troppo
). Dunque, andiamo avanti. Se devo considerare un problema in cui c'è un corpo fermo, appoggiato ad un piano orizzontale, e collegato a un corpo "pendente" e quindi soggetto alla forza di gravità, oppure appoggiato su un piano inclinato, e se suppongo nullo ogni tipo di attrito (il problema si complicherebbe, in quanto dovrei considerare poi la tangente dell'angolo del piano per studiare se il corpo si muove o meno), qual è la legge da considerare? La figura non dovrebbe essere molto difficile da rappresentare, anche perchè aggiungo il particolare che i due corpi si considerano legati da un filo che passa sopra una carrucola piccola e priva anch' essa di attriti di qualsiasi genere.
Il corpo 2, cui sono riferite tutte le grandezze con pedice $2$, è quello poggiato, e quindi non soggetto alla forza di gravità.
Il corpo 1, invece, cui sono riferite tutte le grandezze con pedice $1$, è quello collegato al precedente da un filo e pendente, soggetto quindi alla forza peso.
Io penso che la legge sia questa, volendola studiare non "sfruttando" il principio di conservazione dell'energia, ma ricorrendo al secondo principio di Newton:
Considero un sistema di riferimento "normale" (per "normale" intendo un "piano cartesiano" come quelli che abbiamo sempre visto, con l'orientamento positivo di y e x rispettivamente in alto e a destra), e considero quindi il moto lungo le due componenti:
$ m_1 a1 = + \tau - m g$
$m_2 a2 = \tau $
Queste due leggi sono vere, purchè gli attriti siano trascurabili, e purchè la corda abbia certe caratteristiche (qua spero che qualcuno mi dica come debbano essere di preciso queste caratteristiche).
Qui ho un "idolo" da confutare, con il vostro aiuto. Intuitivamente, mi pare che vengano trascurati, sempre che il mio quadro sia vero, gli effetti della forza peso sul corpo numero due. Mi riferisco agli effetti della forza peso del corpo 1, collegato al secondo. Anche se per quest' ultimo la forza peso è equilibrata ogni volta dal piano, tuttavia mi pare che la forza peso del secondo è come se si trasmettesse al primo. Se il primo scende, quello viene trascinato giù, la pura intuizione (sensoriale, quindi di cui non mi devo fidare) mi suggerisce questo, a meno che il corpo 2 non sia più pesante del primo. Prima di studiarlo, il fenomeno me lo immaginavo così.
Come, allora, si arriva a confutare quest'intuizione? Se necessario, sarò più chiaro, perchè ovviamente questo esercizio è solo un pretesto per capire ancora di più qualcosa sul metodo che devo e voglio imparare.
Risposte
Dunque la tua intuizione è inesatta: dal momento che non ci sono attriti qualunque sia il peso della massa che pende, questo determinerà un muoversi della massa appoggiata sul tavolo.
Per risolvere il problema basta notare che il filo è inestensibile, e non ha peso (sono queste le condizioni di un filo ideale), questo significa che, se l è la lunghezza del filo:
$l = 0-x_1 + (0-y_1)$ (ho posto lo 0 nel punto in cui il filo forma un angolo di novanta gradi, la direzione delle x positiva verso destra, e quella delle y positiva verso l'alto).
Deriviamo due volte questa equazione: l è costante, lo 0 pure, cosa otteniamo?
$a_1x = -a_2y$
Cioè i due corpi hanno la stessa accelerazione. Adesso il sistema si è ridotto ad un sistema di due equazioni in due incognite ed è facilmente risolvibile.
Per risolvere il problema basta notare che il filo è inestensibile, e non ha peso (sono queste le condizioni di un filo ideale), questo significa che, se l è la lunghezza del filo:
$l = 0-x_1 + (0-y_1)$ (ho posto lo 0 nel punto in cui il filo forma un angolo di novanta gradi, la direzione delle x positiva verso destra, e quella delle y positiva verso l'alto).
Deriviamo due volte questa equazione: l è costante, lo 0 pure, cosa otteniamo?
$a_1x = -a_2y$
Cioè i due corpi hanno la stessa accelerazione. Adesso il sistema si è ridotto ad un sistema di due equazioni in due incognite ed è facilmente risolvibile.
$ l = 0 - x_1 + (0 -y_1) $
(ho posto lo 0 nel punto in cui il filo forma un angolo di novanta gradi, la direzione delle x positiva verso destra, e quella delle y positiva verso l'alto).
Deriviamo due volte questa equazione: l è costante, lo 0 pure, cosa otteniamo?
Perdonami, ma non capisco "teoricamente" (l'intuizione pratica c'è) come fai a giustificare questa operazione. Consideri un' ascissa curvilinea, di cui x e y siano coordinate "omologhe" (cioè esprimenti entrambi coordinate di questa ascissa curvilinea e monodimensionale), oppure fai riferimento ai sistemi di riferimento per come li hai impostati, e alla fine sommi vettorialmente le due componenti?
Cercando di essere pignolo, considero il tratto orizzontale di $l$ chiamandolo $l_x$ e quello verticale chiamandolo $l_y$.
$l_x = (0-x) => 0 = - v_x => 0 = - a_x$
$l_y = (0-y) => 0 = - v_y => 0 = - a_y$
Alla fine sommando membro a membro le due equazioni, ottengo quello che hai ottenuto tu.
Solo che non so dal punto di vista teorico quanto sia lecito compiere questo passaggio, cioè eguagliare a 0 i due membri. In effetti i due membri andrebbero "completati" con l'espressione dei versori $i$ e $j$. Andrebbe cioè scritta così:
$ 0 = -a_x \hat i - a_y \hat j$
non so se posso ricorrere a regole algebriche, in tale caso, perchè mi pare strano che sia:
$a_x \hat i = - a_y \hat j$
Prima ho chiesto: hai considerato un'ascissa curvilinea?
La cosa mi parrebbe strana anche in questo senso. Provo a rettificare la traiettoria descritta dal filo. Cioè una traiettoria spezzata a 90° gradi, per intenderci. Devo fissare, trattandosi di un sistema di riferimento monodimensionale, un verso positivo e uno negativo. Fisso quello positivo a destra e quello negativo a sinistra. Così facendo mi pare che i valori $a_x$ e $a_y$ possano essere trattati come variabili algebriche, risultando addirittura uguali. In contrasto con quanto visto prima, analizzando un sistema di riferimento planare di coordinate $X$ e $y$.
Non considero ascisse curvilinee ma un sistema di riferimento planare come ti ho scritto.
Il sistema che hai impostato non è giusto, perché hai diviso la corda in "due pezzi", quando derivi non fa 0, perché la lunghezza della corda in x varia, e anche quella in y. (la corda comunque si sposta in x e in y).
quello che ti dico è: consideriamo un sistema di assi cartesiani con centro nel punto in cui finisce il tavolo, cioè il punto in cui la corda si piega di 90°, con verso positivo delle x verso la massa sul tavolo, e verso positivo delle y verso l'alto.
Ora, la lunghezza della corda è la somma dei due cateti del triangolo che si forma prendendo come vertici l'origine degli assi, la posizione y della massa che pende, e il punto in cui la corda è attaccata alla massa sul tavolo.
Per l'origine non ci sono problemi, coordinate $(0,0)$, la posizione della massa che pende sarà $(0,y_(m1))$, quello della massa sul tavolo sarà (-x_(m2), 0). Questi sono tre punti. Ora, la lunghezza del filo risulta come ti ho scritto. Stiamo ancora parlando di punti, non c'entrano versori.
Supponiamo che la massa cominci a scendere di un tratto $dy$ noto: la lunghezza del filo rimane l, quindi scopriamo che
$l = (-x + dx) + (-y-dy)$
(ovviamente dobbiamo considerare il modulo della lunghezza, altrimenti viene una lunghezza negativa!) Dobbiamo scoprire quanto vale dx, potrebbe anche valere 0.
Ma, dal momento che $l = -x -y$, si può semplificare
rimane solo $0 = dx - dy -> dx = dy$
Abbiamo dimostrato quello che già sapevamo intuitivamente, cioè che se il filo scende di un tratto x, allora la massa si sposta di un tratto x.
Ora passiamo pure a considerare i vettori e quello che vuoi, l'importante è sapere che, dal momento che $dx=dy$ sempre, in ogni punto gli estremi del filo devono avere la stessa velocità, quindi accelerazione.
[/quote]
Il sistema che hai impostato non è giusto, perché hai diviso la corda in "due pezzi", quando derivi non fa 0, perché la lunghezza della corda in x varia, e anche quella in y. (la corda comunque si sposta in x e in y).
quello che ti dico è: consideriamo un sistema di assi cartesiani con centro nel punto in cui finisce il tavolo, cioè il punto in cui la corda si piega di 90°, con verso positivo delle x verso la massa sul tavolo, e verso positivo delle y verso l'alto.
Ora, la lunghezza della corda è la somma dei due cateti del triangolo che si forma prendendo come vertici l'origine degli assi, la posizione y della massa che pende, e il punto in cui la corda è attaccata alla massa sul tavolo.
Per l'origine non ci sono problemi, coordinate $(0,0)$, la posizione della massa che pende sarà $(0,y_(m1))$, quello della massa sul tavolo sarà (-x_(m2), 0). Questi sono tre punti. Ora, la lunghezza del filo risulta come ti ho scritto. Stiamo ancora parlando di punti, non c'entrano versori.
Supponiamo che la massa cominci a scendere di un tratto $dy$ noto: la lunghezza del filo rimane l, quindi scopriamo che
$l = (-x + dx) + (-y-dy)$
(ovviamente dobbiamo considerare il modulo della lunghezza, altrimenti viene una lunghezza negativa!) Dobbiamo scoprire quanto vale dx, potrebbe anche valere 0.
Ma, dal momento che $l = -x -y$, si può semplificare
rimane solo $0 = dx - dy -> dx = dy$
Abbiamo dimostrato quello che già sapevamo intuitivamente, cioè che se il filo scende di un tratto x, allora la massa si sposta di un tratto x.
Ora passiamo pure a considerare i vettori e quello che vuoi, l'importante è sapere che, dal momento che $dx=dy$ sempre, in ogni punto gli estremi del filo devono avere la stessa velocità, quindi accelerazione.
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E per sistemi più complessi, come devo ragionare?
Considero, ad esempio, un sistema composto dal solito tavolo, da un corpo posto su questo tavolo (di massa $m_3$), e da due corpi pendenti, questa volta, da entrambi i lati del tavolo, di massa $m_2$ e $m_3$. Se il discorso che hai fatto tu prima era valido anche per determinare il movimento del corpo, cioè giustificava quella che per due corpi soltanto è la spiegazione che mi hai dato tu, come devo ragionare in questo caso?
Evidentemente, fissato un sistema di riferimento, tutto il sistema si muoverà dalla parte del corpo che tra quelli di massa $m_1$ e $m_2$ è il più pesante. Però non riesco a giustificare matematicamente questa cosa.
P.S.- Sarò cieco, ma quanto tu mi hai detto sopra, benchè chiaro, non riesco a formularlo compiutamente utilizzando i valori assoluti, che è poi la cosa che credo si debba utilizzare. Dovrebbe essere (credo, salvo sviste o dimenticanze senili):
$l = |-x| + |-y|$
e, equivalentemente:
$l = |-x + dx| + |-y - dy|$.
Ovviamente, sapendo che $x, y, dx, dy$ sono tutti valori positivi, ottengo in particolare
$|-x + dx| < |-x| + |dx|$,
$|-y - dx| = |-y| + |-dy|$
che mi renderebbe (uso il condizionale perchè è d'obbligo, dal momento che introduco io i valori assoluti per giustificarmi le cose, senza sapere se ci voglia o no) impossibili fare le operazioni che hai fatto tu.
Se per il secondo punto non c'è problema, perchè la sostituzione la potrei fare, per il primo punto invece il problema nasce proprio perchè non è $|-x + dx| = |-x| + |dx|$. Se fosse $|-x + dx| = |-x| + |dx|$ potrei giustificarmi quanto credo tu abbia scritto, poichè sarebbe:
$l = |-x| + |dx| + |-y| + |-dy|$, e dato che $l = |-x| + |-y|$, allora verrebbe $0 = |dx| + |-dy| => "poichè dx e dy positivi" 0 = dx + dy$, da cui discenderebbe il ragionamento che hai fatto tu.
Mi aiuti a capire meglio quest' ultimo punto (per il resto sei stato gentilissimo e ti ringrazio)?
Considero, ad esempio, un sistema composto dal solito tavolo, da un corpo posto su questo tavolo (di massa $m_3$), e da due corpi pendenti, questa volta, da entrambi i lati del tavolo, di massa $m_2$ e $m_3$. Se il discorso che hai fatto tu prima era valido anche per determinare il movimento del corpo, cioè giustificava quella che per due corpi soltanto è la spiegazione che mi hai dato tu, come devo ragionare in questo caso?
Evidentemente, fissato un sistema di riferimento, tutto il sistema si muoverà dalla parte del corpo che tra quelli di massa $m_1$ e $m_2$ è il più pesante. Però non riesco a giustificare matematicamente questa cosa.
P.S.- Sarò cieco, ma quanto tu mi hai detto sopra, benchè chiaro, non riesco a formularlo compiutamente utilizzando i valori assoluti, che è poi la cosa che credo si debba utilizzare. Dovrebbe essere (credo, salvo sviste o dimenticanze senili):
$l = |-x| + |-y|$
e, equivalentemente:
$l = |-x + dx| + |-y - dy|$.
Ovviamente, sapendo che $x, y, dx, dy$ sono tutti valori positivi, ottengo in particolare
$|-x + dx| < |-x| + |dx|$,
$|-y - dx| = |-y| + |-dy|$
che mi renderebbe (uso il condizionale perchè è d'obbligo, dal momento che introduco io i valori assoluti per giustificarmi le cose, senza sapere se ci voglia o no) impossibili fare le operazioni che hai fatto tu.
Se per il secondo punto non c'è problema, perchè la sostituzione la potrei fare, per il primo punto invece il problema nasce proprio perchè non è $|-x + dx| = |-x| + |dx|$. Se fosse $|-x + dx| = |-x| + |dx|$ potrei giustificarmi quanto credo tu abbia scritto, poichè sarebbe:
$l = |-x| + |dx| + |-y| + |-dy|$, e dato che $l = |-x| + |-y|$, allora verrebbe $0 = |dx| + |-dy| => "poichè dx e dy positivi" 0 = dx + dy$, da cui discenderebbe il ragionamento che hai fatto tu.
Mi aiuti a capire meglio quest' ultimo punto (per il resto sei stato gentilissimo e ti ringrazio)?
allora rispondo prima al p.s.
usa il metodo delle distanze tra punti:
$l = sqrt ((x_1 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) + sqrt ((x_1 - x_2)^2 + (y_2 -y_2)^2))$
per il delta x che ti serve a vedere di quanto scende il filo scriverai
$l = sqrt ((x_1 - x_1)^2 + (y_2 - y_1 -dy)^2) + sqrt ((x_1 - x_2 +dx)^2 + (y_2 -y_2)^2))$
E risolvi...
considera due fili il primo che va dalla prima massa pendente al corpo, e l'altro che va dal corpo alla seconda massa pendente. Noterai che ti verrà un vincolo molto simile al precedente. Se invece vuoi considerare un unico filo lungo hai
$l = sqrt ((0 - 0)^2 + (0- y_1)^2) + sqrt ((x_2 - 0)^2 + (0 - 0)^2) + sqrt ((x_3 - x_2)^2 + (0-0)^2) + sqrt ((x_3 -x_3)^2 + (0 - y_3)^2))$
ho considerato l'origine nel punto in cui il tavolo piega, verso positivo delle y verso l'alto e delle x verso la massa sul tavolo.
La differenza tra i due metodi è che con il primo ottieni due vincoli, cioè che se una delle masse si sposta di un tratto l, anche le altre due si spostano ognuna di un tratto l, quindi hanno la stessa velocità e accelerazione, ovvero:
$a_1 =a_2=a_3$
Da quest'ultima relazione emerge solo che $a_1 = a_3$ e non hai informazioni su $a_2$... ma ognuna delle due formule è valida, solo che la più utile è la prima
Torna tutto?
usa il metodo delle distanze tra punti:
$l = sqrt ((x_1 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) + sqrt ((x_1 - x_2)^2 + (y_2 -y_2)^2))$
per il delta x che ti serve a vedere di quanto scende il filo scriverai
$l = sqrt ((x_1 - x_1)^2 + (y_2 - y_1 -dy)^2) + sqrt ((x_1 - x_2 +dx)^2 + (y_2 -y_2)^2))$
E risolvi...
considera due fili il primo che va dalla prima massa pendente al corpo, e l'altro che va dal corpo alla seconda massa pendente. Noterai che ti verrà un vincolo molto simile al precedente. Se invece vuoi considerare un unico filo lungo hai
$l = sqrt ((0 - 0)^2 + (0- y_1)^2) + sqrt ((x_2 - 0)^2 + (0 - 0)^2) + sqrt ((x_3 - x_2)^2 + (0-0)^2) + sqrt ((x_3 -x_3)^2 + (0 - y_3)^2))$
ho considerato l'origine nel punto in cui il tavolo piega, verso positivo delle y verso l'alto e delle x verso la massa sul tavolo.
La differenza tra i due metodi è che con il primo ottieni due vincoli, cioè che se una delle masse si sposta di un tratto l, anche le altre due si spostano ognuna di un tratto l, quindi hanno la stessa velocità e accelerazione, ovvero:
$a_1 =a_2=a_3$
Da quest'ultima relazione emerge solo che $a_1 = a_3$ e non hai informazioni su $a_2$... ma ognuna delle due formule è valida, solo che la più utile è la prima
Torna tutto?
Sul primo punto, quello del ps., ho fatto i calcoli e mi viene proprio $dx = dy$. Riporto tali calcoli per il semplice fatto che 1) voglio controllare che vadano bene, benchè siano elementari non riesco a capiredelle cose che dirò dopo. Andando a derivare mi viene, ovviamente, $a_x = a_y$.
Il calcolo è il seguente. Qui $x$ e $y$ sono entrambi positivi, quindi "-x" sarà negativo; stesso discorso per $y$ e $-y$.
$l = sqrt (( x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2) + sqrt (( x_0 - x_B)^2 + ( y_0 - y_B)^2)$
$l = sqrt (( 0 - (-x + dx))^2 + (0 - 0)^2) + sqrt (( 0 - 0)^2 + ( 0 - (-y - dy))^2)$
$l = sqrt((+x + dx)^2) + sqrt ((-y - dy)^2)$
$l = x - dx + y +dy$
Da cui deriva:
$dx = dy$, e derivando rispetto al tempo, $a_x = a_y$
Da qui due questioni
1) Tu dici che è $a_x$ = $- a_y$. A cosa ti riferisci?
2) Io sopra ho scritto:
$m_1 a_y = \tau - mg$
$m_1 a_x = \tau $
Poi, in base a tutto il lavoro fatto sopra, posso sostituire entrambi i valori $a_x$ e $a_y$ con un unico valore $a$ (sempre se è ovviamente $a_x = a_y$, in base allo sviluppo di quella distanza tra due punti fatto da me sopra, e alle successive operazioni di derivazione).
Osservando cinematicamente il moto, però, mi rendo conto che da una parte verrebbe accelerazione positiva e dall'altra negativa: per la componente x, l'accelerazione è positiva; per quella negativa, è negativa.
E' questo che contribuisce a non farmi capire più nulla e a considerare il problema sempre da angolazioni diverse, in grado sempre di spiazzarmi, di confondermi.
Tanto più se esso si presenta in forme più complesse, con piani inclinati e come nel caso della precedente risposta.
(continua)
Considero il moto del sistema, però, e la cosa non mi quadra.
Ripeto le equazioni che ho scritto all'inizio.
Il calcolo è il seguente. Qui $x$ e $y$ sono entrambi positivi, quindi "-x" sarà negativo; stesso discorso per $y$ e $-y$.
$l = sqrt (( x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2) + sqrt (( x_0 - x_B)^2 + ( y_0 - y_B)^2)$
$l = sqrt (( 0 - (-x + dx))^2 + (0 - 0)^2) + sqrt (( 0 - 0)^2 + ( 0 - (-y - dy))^2)$
$l = sqrt((+x + dx)^2) + sqrt ((-y - dy)^2)$
$l = x - dx + y +dy$
Da cui deriva:
$dx = dy$, e derivando rispetto al tempo, $a_x = a_y$
Da qui due questioni
1) Tu dici che è $a_x$ = $- a_y$. A cosa ti riferisci?
2) Io sopra ho scritto:
$m_1 a_y = \tau - mg$
$m_1 a_x = \tau $
Poi, in base a tutto il lavoro fatto sopra, posso sostituire entrambi i valori $a_x$ e $a_y$ con un unico valore $a$ (sempre se è ovviamente $a_x = a_y$, in base allo sviluppo di quella distanza tra due punti fatto da me sopra, e alle successive operazioni di derivazione).
Osservando cinematicamente il moto, però, mi rendo conto che da una parte verrebbe accelerazione positiva e dall'altra negativa: per la componente x, l'accelerazione è positiva; per quella negativa, è negativa.
E' questo che contribuisce a non farmi capire più nulla e a considerare il problema sempre da angolazioni diverse, in grado sempre di spiazzarmi, di confondermi.
Tanto più se esso si presenta in forme più complesse, con piani inclinati e come nel caso della precedente risposta.
(continua)
Considero il moto del sistema, però, e la cosa non mi quadra.
Ripeto le equazioni che ho scritto all'inizio.
puoi spiegarmi meglio cosa non ti quadra di preciso? devi aver saltato qualche pezzo perché vedo soltanto sqrt alla seconda riga, scusa se non ho capito.
Sto completando il thread, scusa se ho postato, l'ho fatto per salvare quanto scritto e vedere se stessi scrivendo bene.
ok aspetto
allora il fatto dei segni nasce totalmente dalla scelta del sistema di riferimento scelto ovviamente, quando dico che $a_x = -a_y$ sto prendendo un sistema di riferimento con la y rivolta verso l'alto e la x rivolta dal bordo del tavolo alla carrucola , allora ovviamente, se il corpo si muove positivamente sull'asse delle x, l'altro corpo scende, ovvero si muove verso il basso, quindi l'accelerazione è positiva (ovviamente) in modulo, ma ha direzione contraria al verso delle y. Tutto qui, se avessimo scelto un altro sistema di riferimento (con le y positive verso il basso) avremmo ottenuto $a_x = a_y$. Non esistono accelerazioni negative, il segno meno si riferisce al verso del vettore accelerazione. Potresti obiettare che non è lecito passare da un $dx$ inteso come una distanza tra due punti a un $a_x$ inteso come vettore semplicemente derivando. Allora il fatto di aver scoperto che $d_x = d_y$ comporta aver scoperto che il vettore $x$ dall'origine alla x della massa sul tavolo si muove come il vettore $y$ dall'origine alla y della massa che pende, e da qui derivando succede:
$d/dthatx = V_xhatx + x dhatx/dt$. Ma il versore di x non varia nel tempo (come nel caso del moto rotatorio), quindi la sua derivata è nulla. Lo stesso vare per l'altro vettore.
Spero di esserti stato di aiuto e che abbia capito, non sono molto bravo a spiegarmi a volte.
$d/dthatx = V_xhatx + x dhatx/dt$. Ma il versore di x non varia nel tempo (come nel caso del moto rotatorio), quindi la sua derivata è nulla. Lo stesso vare per l'altro vettore.
Spero di esserti stato di aiuto e che abbia capito, non sono molto bravo a spiegarmi a volte.
Il calcolo che ho fatto io nell'ultimo mio post ha un senso?
Io posso ben considerare il fatto che l'uguaglianza è dei moduli e che prescinde dal segno, però ciò non toglie che io il sistema lo vedo scritto così:
$m_1 a = \tau - mg$
$m_2 a = \tau$
Se vedi i due vettori uno va giù e uno va a destra. Dovrebbe comunque essere, in sostanza, $-a$ nella prima equazione e $a$ nella seconda. Permane l' uguaglianza dei moduli, e in questo caso il segno di $a$ nella componente $y$ dovrebbe essere $-$. Invece io la trovo scritta così.
In più con questa confusione di segni non riesco a "prevedere" matematicamente il moto. Devo prima basarmi sull'intuizione che il corpo in caduta faccia cadere anche quello fisso e non soggetto alla forza peso, e poi determinare i segni di $a_x$ e $a_y$ sulla base di questa intuizione. Io penso che debba essere in grado di partire da principi generali e ricavare i fenomeni, per prevederli, non viceversa.
A quanto dico si potrebbe obiettare dicendo che non si sa se la somma tra $\tau$ e $-mg$ è positiva o negativa. E' vero, però io so che il moto avviene verso il basso, quindi la componente $-mg$ prevale sull'altra.
Con questa confusione che ho in testa ti renderai conto che non riesco ad analizzare nemmeno il problema più banale.
Non riesco a capire come disporre i segni, e, cosa ancor più grave, non riesco a prevedere il moto di nessun oggetto. Mi pare di dover sempre osservarlo prima e poi descriverlo, senza poterlo prevedere. Finisce il ruolo della fisica, così.
L'esempio per l'ultima cosa che ho detto è quello del caso che io ho presentato, quello dei tre corpi disposti come ti ho mostrato. Qual è la direzione che segue il moto del sistema, si muove verso $m_1$ o $m_2$? Non riesco a prevederlo, proprio perchè non riesco a mettere i giusti segni.
Io posso ben considerare il fatto che l'uguaglianza è dei moduli e che prescinde dal segno, però ciò non toglie che io il sistema lo vedo scritto così:
$m_1 a = \tau - mg$
$m_2 a = \tau$
Se vedi i due vettori uno va giù e uno va a destra. Dovrebbe comunque essere, in sostanza, $-a$ nella prima equazione e $a$ nella seconda. Permane l' uguaglianza dei moduli, e in questo caso il segno di $a$ nella componente $y$ dovrebbe essere $-$. Invece io la trovo scritta così.
In più con questa confusione di segni non riesco a "prevedere" matematicamente il moto. Devo prima basarmi sull'intuizione che il corpo in caduta faccia cadere anche quello fisso e non soggetto alla forza peso, e poi determinare i segni di $a_x$ e $a_y$ sulla base di questa intuizione. Io penso che debba essere in grado di partire da principi generali e ricavare i fenomeni, per prevederli, non viceversa.
A quanto dico si potrebbe obiettare dicendo che non si sa se la somma tra $\tau$ e $-mg$ è positiva o negativa. E' vero, però io so che il moto avviene verso il basso, quindi la componente $-mg$ prevale sull'altra.
Con questa confusione che ho in testa ti renderai conto che non riesco ad analizzare nemmeno il problema più banale.
Non riesco a capire come disporre i segni, e, cosa ancor più grave, non riesco a prevedere il moto di nessun oggetto. Mi pare di dover sempre osservarlo prima e poi descriverlo, senza poterlo prevedere. Finisce il ruolo della fisica, così.
L'esempio per l'ultima cosa che ho detto è quello del caso che io ho presentato, quello dei tre corpi disposti come ti ho mostrato. Qual è la direzione che segue il moto del sistema, si muove verso $m_1$ o $m_2$? Non riesco a prevederlo, proprio perchè non riesco a mettere i giusti segni.
Aaah ora ho capito il tuo problema! Allora devi scegliere subito un sistema di riferimento, come più ti piace, e poi devi posizionare bene i vettori, un disegnino schematico è molto importante. Se cambi sistema di riferimento cambierà il segno di alcuni (o tutti) i vettori, ma il risultato deve comunque rimanere lo stesso (non è che se guardo una scatola che si muove sul tavolo da più punti di vista, questa smette di muoversi o si muove con altre velocità!), ovviamente èperò se guardo il sistema da un lato vedo la massa sul piano muoversi verso destra, se lo guardo dal lato opposto del tavolo la vedrò muoversi verso sinistra, ma è poco importante in fondo, perché all'inizio di ogni problema devi specificare quale sistema di riferimento scegli.
Ora analizziamo il caso facile della massa e del tavolo:
. ___________
. .___________________|.................|
| . |.................|
|
|
- - - -
| |
. | |
. | _ _|
Ora scegliamo un sistema di riferimento. Lo prendiamo con l'origine nel punto in cui il tavolo piega, imponiamo che l'asse delle x sia positivo verso la scatola sul tavolo e quello delle y positivo verso l'alto. Ora non ci resta che posizionare i vettori:
Prima quelli facili: il peso della scatola è un vettore che va verso il basso, quindi è $-mg$ .Ora, La fune inestensibile esercita una tensione verso l'alto ovviamente, di modulo $t$ (cominci a vedere che il prolbema ha una certa simmetria? se prendo un altro sistema di riferimento, ad esempio con l'asse delle y verso il basso, sarebbe stato $mg$ e $-t$, ma in modulo il risultato non sarebbe cambiato!).
La tensione della fune è bilanciata dalla fune in ogni punto del sistema (altrimenti la fune si romperebbe, e questo è un'altro esercizio), quindi nel punto in cui il tavolo piega, la fune esercita verso il basso una tensione opposta a quella che c'è subito sopra il corpo, e verso destra una tensione sempre uguale (In realtà la corda esercita una forza inclinata di 45° rispetto al tavolo che determina una reazione ovviamente). Al punto in cui la massa sul corpo è attaccata, si avrà una tensione che spinge verso sinistra. Devi stare attento a riportare bene le tensioni, che poi equivale a capire come applicare il terzo principio di Newton e a conoscere le regole per le tensioni. Ora possiamo scrivere il sistema:
$m_(x1) = 0$
$m_(y1) = -mg + t$ (con il sistema di riferimento diverso sarebbe stato_ $m_(y1) = mg - t$
$m_(x2) = -t$
$m_(y2) = 0$
(nota che può sembrare che cambiando il sistema di riferimento cambi qualcosa, in quando si passa da $-mg +t$ a $mg -t$, ma scopriremo che in realtà non cambia niente)Ora imponiamo il vincolo della fune inestensibile:
$l = (0-y_1) + (x_2-0)$ , derivando $a_1 = a_2$
Quindi, chiamo $a$ l'accelerazione comune e ho:
$m_1 a = -mg + t$
$m_2 a = -t$
Ecco perché non cambia niente, infatti se avessimo cambiato il sistema di riferimento avremmo dovuto scrivere così:
$l = (y_1 -0) + (x_2 - 0) -> a_2 = -a_1$
e sarebbe venuto:
$m_1a_1= mg - t$
$-m_2a_2 = -t -> m_2a_2 = t$
e il problema sarebbe stato esattamente lo stesso! Ti consiglio questi esercizi qui per imparare, sono tutti svolti dal mio professore di fisica, molto preparato, http://www.df.unipi.it/~giudici/esercizi/
edit: il disegno non so perché sia venuto così, sembra un quadro astrattista... comunque era in basso la massa 1 che pende e a destra la massa due sul tavolo...
Ora analizziamo il caso facile della massa e del tavolo:
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Ora scegliamo un sistema di riferimento. Lo prendiamo con l'origine nel punto in cui il tavolo piega, imponiamo che l'asse delle x sia positivo verso la scatola sul tavolo e quello delle y positivo verso l'alto. Ora non ci resta che posizionare i vettori:
Prima quelli facili: il peso della scatola è un vettore che va verso il basso, quindi è $-mg$ .Ora, La fune inestensibile esercita una tensione verso l'alto ovviamente, di modulo $t$ (cominci a vedere che il prolbema ha una certa simmetria? se prendo un altro sistema di riferimento, ad esempio con l'asse delle y verso il basso, sarebbe stato $mg$ e $-t$, ma in modulo il risultato non sarebbe cambiato!).
La tensione della fune è bilanciata dalla fune in ogni punto del sistema (altrimenti la fune si romperebbe, e questo è un'altro esercizio), quindi nel punto in cui il tavolo piega, la fune esercita verso il basso una tensione opposta a quella che c'è subito sopra il corpo, e verso destra una tensione sempre uguale (In realtà la corda esercita una forza inclinata di 45° rispetto al tavolo che determina una reazione ovviamente). Al punto in cui la massa sul corpo è attaccata, si avrà una tensione che spinge verso sinistra. Devi stare attento a riportare bene le tensioni, che poi equivale a capire come applicare il terzo principio di Newton e a conoscere le regole per le tensioni. Ora possiamo scrivere il sistema:
$m_(x1) = 0$
$m_(y1) = -mg + t$ (con il sistema di riferimento diverso sarebbe stato_ $m_(y1) = mg - t$
$m_(x2) = -t$
$m_(y2) = 0$
(nota che può sembrare che cambiando il sistema di riferimento cambi qualcosa, in quando si passa da $-mg +t$ a $mg -t$, ma scopriremo che in realtà non cambia niente)Ora imponiamo il vincolo della fune inestensibile:
$l = (0-y_1) + (x_2-0)$ , derivando $a_1 = a_2$
Quindi, chiamo $a$ l'accelerazione comune e ho:
$m_1 a = -mg + t$
$m_2 a = -t$
Ecco perché non cambia niente, infatti se avessimo cambiato il sistema di riferimento avremmo dovuto scrivere così:
$l = (y_1 -0) + (x_2 - 0) -> a_2 = -a_1$
e sarebbe venuto:
$m_1a_1= mg - t$
$-m_2a_2 = -t -> m_2a_2 = t$
e il problema sarebbe stato esattamente lo stesso! Ti consiglio questi esercizi qui per imparare, sono tutti svolti dal mio professore di fisica, molto preparato, http://www.df.unipi.it/~giudici/esercizi/
edit: il disegno non so perché sia venuto così, sembra un quadro astrattista... comunque era in basso la massa 1 che pende e a destra la massa due sul tavolo...
Però mi chiedo una cosa ancora:
non posso, così facendo, prevedere il moto dei corpi. Cioè, hai detto che i segni dipendono dal sistema di riferimento scelto, e qui ci siamo.
Il risultato poi mi fornisce solo il modulo dell'accelerazione comune, ma non posso dalla semplice formalizzazione matematica del problema capire come realmente avviene il moto (lo spostamento, e le sue derivate, rimangono grandezze vettoriali, a rigore anche quando il corpo si muove su una retta). Cioè io so a priori che il corpo pendente scende e quello fermo lo segue, perchè lo so a priori. Non posso ricavare quest'affermazione sviluppando semplicemente il sistema di equazioni?
Metti caso che io sia un abitante di un universo parallelo. Sul pianeta $Terra_p$ non c'è gravità, i fenomeni avvengono in modo totalmente diverso, non seguono nessuna legge fisica del nostro universo.
Mi trovo per caso a vagare nell'universo dov'è la Terra, e mi imbatto in questa palla di mille colori. Ci cado e un abitante, appena arrivato, mi chiede di risolvere un problema. Io magari conosco la matematica, universale, e dandomi lui delle lettere $\tau$, $mg$ e compagnia bella e dicendomi qualcosa a proposito di destra, sinistra, alto, basso (che sono concetti matematici, quindi universali: in ogni caso supponiamo che l'alieno sappia a cosa ci si riferisce), mi chiede di impostare il problema.
Io alieno, impostando il problema nella maniera giusta, ma non conoscendo la gravità e quindi il fatto che il corpo pendente cade, potrei risolvere il problema in tutto e per tutto, cioè arrivando a dire al terrestre che me l'ha proposto che il corpo pendente si muove in basso e quello non pendente si muove in alto?
O potrò solo dare affermazioni sul modulo dell'accelerazione, senza poter prevedere, partendo dal sistema, cose che la mia intuizione non riuscirebbe a capire?
e' facile l'analogia. L'alieno è il fisico, che con la sola matematica deve formalizzare un problema e prevedere, credo, qualsiasi cosa. Mentre io riuscirei a risolvere, ora, il problema, solo sapendo a priori che un corpo scende e l'altro lo segue.
Ovviamente, nel problema più complesso dei tre corpi, chi mi dice che quello più pesante trascina gli altri? Nessuno, o meglio quando ho affrontato il problema, una certa intuizione me l'ha suggerito: io l'ho voluta reprimere, cercando di impostare un sistema in modo tale da ricavare, semplicemente risolvendo il sistema, il segno delle due accelerazioni.
Siccome quindi le incognite del sistema sono i "moduli" delle grandezze, è possibile, risolvendo il sistema, capire anche come i corpi si muovono? Oppure queste sono considerazioni da fare sempre a priori? Il marziano, che intuitivamente non riuscirebbe a comprendere come si muovono i corpi, riuscirebbe a dire, semplicemente risolvendo un sistema, che quello pendente si trascina quello orizzontale, o, nel caso più complesso, che quello più pesante si trascina dietro gli altri due?
Ho voluto fare un buco nell'acqua cercando di ricavare considerazioni intuitive sulla gravità da un sistema, oppure il mio tentativo mi può portare a capire il moto in tutto ciò che in esso influisce?
non posso, così facendo, prevedere il moto dei corpi. Cioè, hai detto che i segni dipendono dal sistema di riferimento scelto, e qui ci siamo.
Il risultato poi mi fornisce solo il modulo dell'accelerazione comune, ma non posso dalla semplice formalizzazione matematica del problema capire come realmente avviene il moto (lo spostamento, e le sue derivate, rimangono grandezze vettoriali, a rigore anche quando il corpo si muove su una retta). Cioè io so a priori che il corpo pendente scende e quello fermo lo segue, perchè lo so a priori. Non posso ricavare quest'affermazione sviluppando semplicemente il sistema di equazioni?
Metti caso che io sia un abitante di un universo parallelo. Sul pianeta $Terra_p$ non c'è gravità, i fenomeni avvengono in modo totalmente diverso, non seguono nessuna legge fisica del nostro universo.
Mi trovo per caso a vagare nell'universo dov'è la Terra, e mi imbatto in questa palla di mille colori. Ci cado e un abitante, appena arrivato, mi chiede di risolvere un problema. Io magari conosco la matematica, universale, e dandomi lui delle lettere $\tau$, $mg$ e compagnia bella e dicendomi qualcosa a proposito di destra, sinistra, alto, basso (che sono concetti matematici, quindi universali: in ogni caso supponiamo che l'alieno sappia a cosa ci si riferisce), mi chiede di impostare il problema.
Io alieno, impostando il problema nella maniera giusta, ma non conoscendo la gravità e quindi il fatto che il corpo pendente cade, potrei risolvere il problema in tutto e per tutto, cioè arrivando a dire al terrestre che me l'ha proposto che il corpo pendente si muove in basso e quello non pendente si muove in alto?
O potrò solo dare affermazioni sul modulo dell'accelerazione, senza poter prevedere, partendo dal sistema, cose che la mia intuizione non riuscirebbe a capire?
e' facile l'analogia. L'alieno è il fisico, che con la sola matematica deve formalizzare un problema e prevedere, credo, qualsiasi cosa. Mentre io riuscirei a risolvere, ora, il problema, solo sapendo a priori che un corpo scende e l'altro lo segue.
Ovviamente, nel problema più complesso dei tre corpi, chi mi dice che quello più pesante trascina gli altri? Nessuno, o meglio quando ho affrontato il problema, una certa intuizione me l'ha suggerito: io l'ho voluta reprimere, cercando di impostare un sistema in modo tale da ricavare, semplicemente risolvendo il sistema, il segno delle due accelerazioni.
Siccome quindi le incognite del sistema sono i "moduli" delle grandezze, è possibile, risolvendo il sistema, capire anche come i corpi si muovono? Oppure queste sono considerazioni da fare sempre a priori? Il marziano, che intuitivamente non riuscirebbe a comprendere come si muovono i corpi, riuscirebbe a dire, semplicemente risolvendo un sistema, che quello pendente si trascina quello orizzontale, o, nel caso più complesso, che quello più pesante si trascina dietro gli altri due?
Ho voluto fare un buco nell'acqua cercando di ricavare considerazioni intuitive sulla gravità da un sistema, oppure il mio tentativo mi può portare a capire il moto in tutto ciò che in esso influisce?
Beh ma scusa ovviamente per conoscere il moto di un corpo devi conoscere le forze che su di esso agiscono:
conoscere il modo in cui una forza agisce su un corpo significa conoscerne il modulo, il verso e la direzione, quindi è ovvio che se chi ti chiede il problema non ti dice verso che direzione spinge la forza di gravità e tutte le altre forze presenti in gioco. Dobbiamo conoscere le forze fisiche che governano il sistema che stiamo studiando. Prova a risolvere l'equazione del moto dei tre corpi, vedrai che l'accelerazione di un corpo dipenderà da parametri come la forza di gravità e la massa dei corpi in gioco. Da qui scopri che se il valore della massa del corpo di sinistra è maggiore del valore della massa del corpo di destra allora si ha una accelerazione verso il basso... o verso l'alto se hai preso un altro sistema di riferimento eheh.
Qui non c'è intuizione, devi solo sapere dove agiscono le forze, come applicarle, impostare il sistema e vedere come torna. cioè risolvi, scopri che relazione c'è tra le accelerazioni e quanto vale in modulo... verrà una frazione probabilmente, al numeratore ci sarà una differenza di masse, e scoprirai che se una massa è più grande di un'altra allora l'accelerazione è positiva, quindi verso l'alto... insomma come vedi c'è una specie di punto di incontro... cambi il sistema di riferimento e cambiano tutti i segni, ma di fatto poi il corpo cade comunque se deve cadere. Però ovviamente devi sapere che forze agiscono.
conoscere il modo in cui una forza agisce su un corpo significa conoscerne il modulo, il verso e la direzione, quindi è ovvio che se chi ti chiede il problema non ti dice verso che direzione spinge la forza di gravità e tutte le altre forze presenti in gioco. Dobbiamo conoscere le forze fisiche che governano il sistema che stiamo studiando. Prova a risolvere l'equazione del moto dei tre corpi, vedrai che l'accelerazione di un corpo dipenderà da parametri come la forza di gravità e la massa dei corpi in gioco. Da qui scopri che se il valore della massa del corpo di sinistra è maggiore del valore della massa del corpo di destra allora si ha una accelerazione verso il basso... o verso l'alto se hai preso un altro sistema di riferimento eheh.
Qui non c'è intuizione, devi solo sapere dove agiscono le forze, come applicarle, impostare il sistema e vedere come torna. cioè risolvi, scopri che relazione c'è tra le accelerazioni e quanto vale in modulo... verrà una frazione probabilmente, al numeratore ci sarà una differenza di masse, e scoprirai che se una massa è più grande di un'altra allora l'accelerazione è positiva, quindi verso l'alto... insomma come vedi c'è una specie di punto di incontro... cambi il sistema di riferimento e cambiano tutti i segni, ma di fatto poi il corpo cade comunque se deve cadere. Però ovviamente devi sapere che forze agiscono.
Da qui scopri che se il valore della massa del corpo di sinistra è maggiore del valore della massa del corpo di destra allora si ha una accelerazione verso il basso...
Perchè avviene questo? E' un po' come spiegare il meccanismo della bilancia, alla fine è quello. Saresti in grado di spiegarmi perchè il sistema si muove dal lato del corpo più massiccio (e quindi più pesante)?
Io non sono molto bravo a farlo.
In definitiva, poi, sulla questione delle derivazioni, concludo:
le operazioni di derivazione vengono fatte tenendo conto che la somma tra le distanze tra i due punti sia costante.
Alla fine di tutto il processo di derivazione, che venga $a_x = a_y$ o che venga $a_x = - a_y$ non è importante, ma è importante notare che, se il filo è inestensibile, vale sempre:
$|a_x| = |a_y|$; inoltre, effettuando considerazioni dinamiche sulla natura del moto (è il contenuto della domanda che ti ho posto poco sopra), è possibile stabilire se le accelerazioni siano positive o negative, per entrambe le componenti.
Appena mi arriverà risposta proporrò il problema nell'ultimo caso, quello dei piani inclinati, che differisce da quelli di una carrucola con due corpi pendenti ai lati, dalla macchina di Atwood (se non ricordo male, il primo esercizio tra quelli che mi hai dato tu), perchè nel caso della macchina di Atwood il moto può essere analizzato con un sistema di riferimento monodimensionale; mentre nel caso del piano inclinato, comunque si deve utilizzare un sistema di riferimento bidimensionale.
P. S. - Come ci si pone con le ascisse curvilinee? Prendo in esame ancora il primo caso, quello di un solo corpo pendente.
Considero un sistema di riferimento monodimensionale, un' ascissa curvilinea, avente come verso positivo quello verso il basso e come verso negativo quello verso sinistra (la linea è curva). Mi verrebbe un siffatto sistema di equazioni:
$m_1 a_x = \tau$
$m_2 a_y= - \tau + mg$,
e dato che $a_x = a_y$ (anche in verso, per come avviene il moto):
$m_1 a = \tau$
$m_2 a = mg - \tau$
E' corretto fare così?
Cioè mi stai domandando di fatto cos'è una forza? come agisce? fenomenologia della fisica insomma.
Beh di primo acchito mi viene da risponderti: F = ma. Sì ha una forza costantemente diretta verso il basso, solo che quando una massa pende si ha una reazione verso l'alto dell'altra massa. L'accelerazione, che viene con quella formula di masse, ci indica quale delle due masse prevale. Non è necessariamente la più pesa. quindi F = ma a sinistra, e F = ma a destra, ma per il terzo principio di newtown la corda subisce dal corpo uno la sua forza peso diretta verso il basso. Reagisce con una forza uguale e contraria, verso l'alto quindi. Stessa cosa succede all'altro estremo della bilancia. Quali di queste due forze è maggiore in modulo determina lo spostamento delle masse.
Se poi vuoi sapere cos'è una forza non credo di essere in grado di risponderti.
Beh di primo acchito mi viene da risponderti: F = ma. Sì ha una forza costantemente diretta verso il basso, solo che quando una massa pende si ha una reazione verso l'alto dell'altra massa. L'accelerazione, che viene con quella formula di masse, ci indica quale delle due masse prevale. Non è necessariamente la più pesa. quindi F = ma a sinistra, e F = ma a destra, ma per il terzo principio di newtown la corda subisce dal corpo uno la sua forza peso diretta verso il basso. Reagisce con una forza uguale e contraria, verso l'alto quindi. Stessa cosa succede all'altro estremo della bilancia. Quali di queste due forze è maggiore in modulo determina lo spostamento delle masse.
Se poi vuoi sapere cos'è una forza non credo di essere in grado di risponderti.
Scusa, rispondo a una cosa che ho visto nel post precedente a quest' ultimo.
Il punto di incontro è a posteriori, non a priori, nell'impostare il problema. Viene semmai giustificato dopo il tutto, ma non prima, quando già, nell'impostare il problema, bisogna visualizzare il moto. Cioè io prima vedo che il moto va così, e poi metto i segni. Se metto un segno diverso da quello che dovrei mettere, non viene un sistema equivalente. Quindi sono confusissimo per questo motivo, essenzialmente.
Poi il discorso dell'ultimo post non l'ho capito molto bene. Provo a visualizzare cosa avviene nei minimi particolari. Forse è meglio, così se ritornano vecchi dubbi, è il caso di rianalizzarli alla luce di quanto detto. Penso che mi abbia dato le parole per ricominciare daccapo, ed esporre i miei dubbi in maniera pià consapevole.
Quindi scusami se riespongo vecchie questioni, significa che non le ho ancora risolte.
Prendo in considerazione prima il caso semplice.
Un corpo pende, quindi è soggetto alla forza di gravità. Tale corpo è collegato ad un corpo in orizzontale mediante un filo inestensibile e privo di massa.
1) Se il filo non ha massa, non capisco come mai il peso del corpo pendente non si trasferisca al corpo non pendente. Ho visto un esempio di un altro esercizio in cui due carri erano collegati da un filo la cui tensione era trascurabile. Veniva applicata ai due una forza, capace di muoverli. L'inerzia cui era sottoposto il corpo all'applicazione della forza era quella complessiva dei due corpi.
E' vero, si potrebbe obiettare che il corpo posto sul tavolo non subisce la forza peso. Ma non subisce la forza peso relativa a sè, non la forza peso relativa al corpo pendente, che è comunque una forza, applicata a un sistema. E' diretta verso il basso, è vero.
Il ruolo della fune, allora, mi rimane oscuro.
A questo punto, se devo imparare a memoria, imparo a memoria, ma la mia intuizione rimane quella, relativamente al corpo orizzontale, che mi dice che al corpo dovrebbe essere applicata, oltre che alla tensione del filo $\tau$, anche la forza $mg$, dove $m$ è la massa del corpo che pende e non del corpo orizzontale (la cui forza peso è, ovviamente, equilibrata dalla reazione vincolare del tavolo). Tale assenza, mai spiegata con mezzi convincenti (a te non l'ho mai chiesta sta cosa, quindi non mi riferisco a te nè a chiunque altro del forum), decisamente antiintuitiva (almeno per la mia intuizione malata, già destabilizza la parte razionale che è in me, e tale destabilizzazione mi mette letteralmente le fette di salame davanti agli occhi della mente, paralizza ogni passo successivo. Probabilmente devo seguire il consiglio di chi mi dice che devo cambiare mestiere, anche se comunque rimarrei come chi sa di avere un problema (l'intuizione malata) e di non riuscire a risolverlo.
Provo allora di ragionare sul filo. Esso non è che non abbia massa, ma ha massa trascurabile: allora parto da questa considerazione per riflettere un po'. Il corpo pendente subisce una forza, $mg$. Considero il sistema composto, ora, dal punto del filo più vicino al corpo pendente e dal corpo stesso. Siccome la corda ha massa trascurabile, a maggior ragione un suo punto avrà massa trascurabile.
Per il terzo principio della dinamica, ad una tale forza si oppone una forza uguale e contraria. Considero la forza di gravità applicata sul punto della corda (penso di poterlo fare). Su questo punto c'è una reazione uguale e contraria. Il corpo dovrebbe rimanere fermo, invece scende. Come mai?
3) Non ho capito il discorso che hai fatto in tale contesto sul terzo principio della dinamica, visto che non so quanto si possa applicare, e come considerare in tale discorso il valore $\tau$. Del resto mi pare che sia una forza che sostituisce concetti ben più minutamente analizzati, perchè, sempre se non sbaglio, simili valori (vari attriti, varie reazioni vincolari) possono essere ricondotti a tipi di interazioni fondamentali (le quattro che si conoscono).
Ma comunque è importante il primo punto, quello che ho scritto prima dell'enorme spazio, quello del "punto di incontro". Il resto non so se potrà avere risposta, visto che lo considero alla stregua di seghe mentali. Inoltre, il problema viene impostato in questi termini già all'inizio, non viene detto nulla di più sulla forza $\tau$. Non so se potrò mai capire, non so nemmeno se abbia senso chiedere di capire di più di quanto non mi venga detto.
insomma come vedi c'è una specie di punto di incontro
Il punto di incontro è a posteriori, non a priori, nell'impostare il problema. Viene semmai giustificato dopo il tutto, ma non prima, quando già, nell'impostare il problema, bisogna visualizzare il moto. Cioè io prima vedo che il moto va così, e poi metto i segni. Se metto un segno diverso da quello che dovrei mettere, non viene un sistema equivalente. Quindi sono confusissimo per questo motivo, essenzialmente.
Poi il discorso dell'ultimo post non l'ho capito molto bene. Provo a visualizzare cosa avviene nei minimi particolari. Forse è meglio, così se ritornano vecchi dubbi, è il caso di rianalizzarli alla luce di quanto detto. Penso che mi abbia dato le parole per ricominciare daccapo, ed esporre i miei dubbi in maniera pià consapevole.
Quindi scusami se riespongo vecchie questioni, significa che non le ho ancora risolte.
Prendo in considerazione prima il caso semplice.
Un corpo pende, quindi è soggetto alla forza di gravità. Tale corpo è collegato ad un corpo in orizzontale mediante un filo inestensibile e privo di massa.
1) Se il filo non ha massa, non capisco come mai il peso del corpo pendente non si trasferisca al corpo non pendente. Ho visto un esempio di un altro esercizio in cui due carri erano collegati da un filo la cui tensione era trascurabile. Veniva applicata ai due una forza, capace di muoverli. L'inerzia cui era sottoposto il corpo all'applicazione della forza era quella complessiva dei due corpi.
E' vero, si potrebbe obiettare che il corpo posto sul tavolo non subisce la forza peso. Ma non subisce la forza peso relativa a sè, non la forza peso relativa al corpo pendente, che è comunque una forza, applicata a un sistema. E' diretta verso il basso, è vero.
Il ruolo della fune, allora, mi rimane oscuro.
A questo punto, se devo imparare a memoria, imparo a memoria, ma la mia intuizione rimane quella, relativamente al corpo orizzontale, che mi dice che al corpo dovrebbe essere applicata, oltre che alla tensione del filo $\tau$, anche la forza $mg$, dove $m$ è la massa del corpo che pende e non del corpo orizzontale (la cui forza peso è, ovviamente, equilibrata dalla reazione vincolare del tavolo). Tale assenza, mai spiegata con mezzi convincenti (a te non l'ho mai chiesta sta cosa, quindi non mi riferisco a te nè a chiunque altro del forum), decisamente antiintuitiva (almeno per la mia intuizione malata, già destabilizza la parte razionale che è in me, e tale destabilizzazione mi mette letteralmente le fette di salame davanti agli occhi della mente, paralizza ogni passo successivo. Probabilmente devo seguire il consiglio di chi mi dice che devo cambiare mestiere, anche se comunque rimarrei come chi sa di avere un problema (l'intuizione malata) e di non riuscire a risolverlo.
Provo allora di ragionare sul filo. Esso non è che non abbia massa, ma ha massa trascurabile: allora parto da questa considerazione per riflettere un po'. Il corpo pendente subisce una forza, $mg$. Considero il sistema composto, ora, dal punto del filo più vicino al corpo pendente e dal corpo stesso. Siccome la corda ha massa trascurabile, a maggior ragione un suo punto avrà massa trascurabile.
Per il terzo principio della dinamica, ad una tale forza si oppone una forza uguale e contraria. Considero la forza di gravità applicata sul punto della corda (penso di poterlo fare). Su questo punto c'è una reazione uguale e contraria. Il corpo dovrebbe rimanere fermo, invece scende. Come mai?
3) Non ho capito il discorso che hai fatto in tale contesto sul terzo principio della dinamica, visto che non so quanto si possa applicare, e come considerare in tale discorso il valore $\tau$. Del resto mi pare che sia una forza che sostituisce concetti ben più minutamente analizzati, perchè, sempre se non sbaglio, simili valori (vari attriti, varie reazioni vincolari) possono essere ricondotti a tipi di interazioni fondamentali (le quattro che si conoscono).
Ma comunque è importante il primo punto, quello che ho scritto prima dell'enorme spazio, quello del "punto di incontro". Il resto non so se potrà avere risposta, visto che lo considero alla stregua di seghe mentali. Inoltre, il problema viene impostato in questi termini già all'inizio, non viene detto nulla di più sulla forza $\tau$. Non so se potrò mai capire, non so nemmeno se abbia senso chiedere di capire di più di quanto non mi venga detto.
Ho trovato queste righe sul web.
E' sicuramente quello che volevi dire tu, ma che io non avevo capito.
Assumiamo che sia il corpo 1 a cadere verso il basso per cui il corpo 2 salira' verso l'alto. Questa ipotesi e' irrilevante. Se l'accelerazione alla fine risultera' negativa vuol dire semplicemente che abbiamo sbagliato la previsione iniziale e occorrera' semplicemente cambiarla di segno.
E' sicuramente quello che volevi dire tu, ma che io non avevo capito.
Il punto di incontro è a posteriori, non a priori, nell'impostare il problema. Viene semmai giustificato dopo il tutto, ma non prima, quando già, nell'impostare il problema, bisogna visualizzare il moto. Cioè io prima vedo che il moto va così, e poi metto i segni. Se metto un segno diverso da quello che dovrei mettere, non viene un sistema equivalente. Quindi sono confusissimo per questo motivo, essenzialmente.
No Turtle, non è a posteriori, imponi un sistema di riferimento, sai in che direzione puntano le forze, imposti il sistema tenendo conto del segno da mettere ad ogni forza dato il sistema di riferimento scelto. Comunque tu metta il sistema, alla fin fine, il meno o il più dell'accelerazione dipendono dal sistema di riferimento, ma ti dicono dove va la massa. La massa scivola verso il basso, se prendi un sistema di riferimento con le y positive verso il basso ti verrà una accelerazione positiva, cioè lo spazio percorso è nel verso crescente delle ordinate. Se metti un sistema di riferimento al contrario ti dirà che lo spazio percorso, che in modulo ti verrà sempre uguale, sarà negativo rispetto al verso crescente delle ordinate, o vero sarà diretto verso il "basso". (Parliamo di basso e di alto come se ci fossero un basso e un alto assoluti, ma lo decidiamo noi dove sta il basso e l'alto quando impostiamo il sistema di riferimento.) L'importante è che qualunque sistema di riferimento scegliamo, qualunque sia il nostro alto, il corpo si muova dalla posizione iniziale alla posizione finale. Che poi la posizione finale sia in alto per il sistema di riferimento o in basso è del tutto indifferente. Se una persona legge il tuo problema capisce in che direzione si muove il corpo. Basta che tu specifichi quale sistema di riferimento hai scelto. Per assurdo, fai finta che la tua intuizione ti porta a dire che il corpo va verso l'alto. Allora ti prendi un sistema di riferimento che pensi torni tutto positivo e imponi l'equazione. L'accelerazione sarà negativa. Ti meraviglia perché secondo te andava verso l'alto, invece essendo negativa lo spazio percorso è in modulo positivo,ovviamente, ma viaggia verso il basso, ovvero in negativo. Il positivo e il negativo non si riferisce all'unità di misura, non ha senso dire $-3m/s^2$. Si riferisce alla direzione, rispetto al sistema di riferimento scelto del corpo.
1) Se il filo non ha massa, non capisco come mai il peso del corpo pendente non si trasferisca al corpo non pendente. Ho visto un esempio di un altro esercizio in cui due carri erano collegati da un filo la cui tensione era trascurabile. Veniva applicata ai due una forza, capace di muoverli. L'inerzia cui era sottoposto il corpo all'applicazione della forza era quella complessiva dei due corpi.
.
Chi l'ha detto? il peso del corpo uno si trasferisce eccome! attraverso la tensione della fune, risolvi il sistema, noterai che la tensione varrà qualcosa, è questa che fa muovere il corpo sul tavolo! In questo acso il peso del corpo pendente si trasferisce pari pari al peso del corpo non pendente! Risolvi il sistema guarda cosa ti torna, ti chiarirà molto le idee.
A questo punto, se devo imparare a memoria, imparo a memoria, ma la mia intuizione rimane quella, relativamente al corpo orizzontale, che mi dice che al corpo dovrebbe essere applicata, oltre che alla tensione del filo , anche la forza , dove è la massa del corpo che pende e non del corpo orizzontale (la cui forza peso è, ovviamente, equilibrata dalla reazione vincolare del tavolo). Tale assenza, mai spiegata con mezzi convincenti...
La forza peso del corpo due non agisce DIRETTAMENTE sulla massa posta sul tavolo. Il vettore forza peso è applicato al corpo 1, non al corpo due. Il corpo due ne risente a causa del terzo principio di Newtown e della fune, che ha il ruolo di "trasportare" la forza:
Il tuo ragionamento è confutato a pagina 52 del libro "Lezioni di Fisica" del Picasso: c'è un uomo che tramite una fune traina un carrello.
Riporto quello che c'è scritto:
Ragionamento sbagliato
Per il terzo principio, il carrello esercita sull'uomo, tramite la fune, una forza uguale e opposta alla forza F che l'uomo esercita sul carrello.Quindi la fune esercita sul carrello una forza F. SBAGLIATO: l'uomo non esercita alcuna forza sul carrello, e il carrello non esercita alcuna forza sull'uomo, ma solo sulla fune; non sono permesse "scrociatoie", e gli "intermediari" non vanno ignorati, in quanto nessun principio dice che l'intermediario, cioè la fune, DEBBA TRASMETTERE INALTERATA LA FORZA dall'uomo al carrello.
Ragionamento Corretto: Per il terzo principio si ha che se F è la forza che la fune esercita sul carrello, -F è la forza che il carrello esercita sulla fune: F e -F, che agiscono sulla fune, NON SONO UGUALI E OPPOSTE, perché la loro somma eguaglia la massa della fune per l'accelerazione del suo centro di massa: $F_1 = F_2 - ma$.
SE poi la fune è un filo di MASSA TRASCURABILE, oppure è ferma o in moto uniforme, allora è vero che F_1 = F_2. Ma questo grazie al secondo principio, il terzo non c'entra nulla.
Per il terzo principio della dinamica, ad una tale forza si oppone una forza uguale e contraria. Considero la forza di gravità applicata sul punto della corda (penso di poterlo fare). Su questo punto c'è una reazione uguale e contraria. Il corpo dovrebbe rimanere fermo, invece scende. Come mai?
Perché l'unico effetto che ha la tensione è quello di "trasportare" la forza da un estremo all'altro.
A questo punto scusa, considera una fune attaccata ad un corpo che cade. C'è la forza peso, e la reazione della fune. Perché questa non rimane sospesa in aria? perché la reazione della fune NON agisce sulla fune, ma SUL CORPO, sulla fune agisce SOLO la forza peso del corpo. il corpo uno "spinge" la fune verso il basso, la fune esercita SUL CORPO, una reazione verso l'alto uguale e contraria. Altro esempio, una mano che tira una massa tramite una fune.
Allora la mano esercita su una estremità della fune una forza diretta verso se stessa. La fune esercita sulla mano una reazione uguale e contraria. Tramite la corda il corpo risente una forza $F_2$ diretta verso la mano, e reagisce sulla corda con una forza opposta a $F_2$.
Notare che la forza che la mano esercita sulla corda, e la forza che il corpo due esercita sulla corda (che poi è la reazione del corpo due sulla corda) NON FORMANO una coppia azione-reazione, in quanto un'azione e una reazione devono agire su corpi diversi.
$m_1a_1 = -m_2a_2$
Il corpo due si muove con accelerazione $a$ dovuta all'interazione con il secondo corpo, cioè alla forza $F_(12)$ che quest'ultimo esercita sul primo.
Analogamente il corpo 2, a causa della presenza del corpo 1, viene a possedere una accelerazione $a_2$, cioè risente una forza $F_(21) = m_2a_2$ . In termini di forze si ha:
$F_(12) = -F_(21)$.
Nel caso che la corda sia in quiete o in moto con v costante e non agiscano sopra di essa altre forze che quelle alle estremità, per il secondo principio di Newtown la risultante delle forze deve essere nulla, quindi la forza $F_2$ è opposta alla forza $F_1$. La corda è allora il mezzo che trasmette al blocco, con intensità inalterata, la forza esercitata su di essa dalla persona.
Provo a ripeterlo con altre parole:
La persona esercita sulla corda una forza verso di se, la corda risponde con la tensione sulla persona. Ora, all'altra estremità la corda sente una tensione rivolta verso il corpo, che causa quindi una reazione, cioè una forza del corpo verso la mano. Puoi vederla in entrambi i modi:
Che sia la tensione della funa a causare il moto del corpo sul tavolo, o che sia una forza che il corpo risente a causa della mano a esercitare sulla fune una reazione uguale e contraria non ha importanza, una di esse è azione, e l'altra è reazione: QUESTO PERO' non implica alcuna differenza nella loro natura, o che una forza sia la causa e l'altra il suo effetto, ognuna delle due forzae può essere considerata azione e l'altra reazione.
E la macchina di Atwood? Come la si analizza? Te lo chiedo perchè lì si crea una situazione strana: abbiamo a che fare con un' unica fune, della quale però andrebbero analizzate due tensioni, almeno in linea di principio.
Poi dopo leggo:
"poichè la massa è trascurabile e non c'è attrito, si ha $\tau_1 = \tau_2 = \tau$".
Se io analizzo il discorso dal punto di vista del centro di massa e del terzo principio, non riesco a capire come la forza si ripartisce.
Pensavo che se avessimo a che fare con un solo filo, purchè indeformabile, potessi sempre considerare un' unica tensione del filo. Inoltre non riesco a considerare il discorso a proposito del centro di massa. Evidentemente, non ho ancora capito il discorso del terzo principio a proposito di TUTTI I CASI in cui abbiamo a che fare con una fune.
P.S.- Forse dovrei cominciare a considerare dei controesempi, cioè casi di funi in condizioni non ideali. Così magari potrei capire le differenze con i casi in cui la fune è ideale.
P. P. S.- Quante macchine di questo tipo esistono? Cioè quanti modi diversi di comportarsi ha una fune in condizioni ideali? La fune è comunque un oggetto, un corpo, un sistema di punti, e come tale avrà un centro di massa. Ebbene, dall'esercizio che ho fatto a proposito della macchina di Atwood ho capito che la fune, pur in condizioni ideali, ha più modi di reagire alle sollecitazioni.
Poi dopo leggo:
"poichè la massa è trascurabile e non c'è attrito, si ha $\tau_1 = \tau_2 = \tau$".
Se io analizzo il discorso dal punto di vista del centro di massa e del terzo principio, non riesco a capire come la forza si ripartisce.
Pensavo che se avessimo a che fare con un solo filo, purchè indeformabile, potessi sempre considerare un' unica tensione del filo. Inoltre non riesco a considerare il discorso a proposito del centro di massa. Evidentemente, non ho ancora capito il discorso del terzo principio a proposito di TUTTI I CASI in cui abbiamo a che fare con una fune.
P.S.- Forse dovrei cominciare a considerare dei controesempi, cioè casi di funi in condizioni non ideali. Così magari potrei capire le differenze con i casi in cui la fune è ideale.
P. P. S.- Quante macchine di questo tipo esistono? Cioè quanti modi diversi di comportarsi ha una fune in condizioni ideali? La fune è comunque un oggetto, un corpo, un sistema di punti, e come tale avrà un centro di massa. Ebbene, dall'esercizio che ho fatto a proposito della macchina di Atwood ho capito che la fune, pur in condizioni ideali, ha più modi di reagire alle sollecitazioni.
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