Carica su un anello

[alexalex94]

Una carica positiva Q di massa m è vincolata a muoversi su un anello di spessore trascurabile di raggio R , posto verticalmente, che non interagisce con la carica in alcun modo se non come vincolo. Lungo il piano dell'anello è presente anche un campo elettrico E che forma un angolo $beta$ con l'asse verticale come in figura.



Si determini:
a) le posizioni di equilibrio della carica sull'anello.
b) il periodo delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabile.
c) e calcolare il lavoro fatto per compiere un giro completo intorno all'anello.

Allora, il punto a) io direi che le posizioni di equilibrio sono per y=R e y=-R e correggetemi se sbaglio.
Per il punto b) e c) come faccio a trovare tali oscillazioni? Non ho mai trovato un problema del genere! E il lavoro? Devo usare $DeltaW=qDeltaV$? Ma come considero mg?
Purtroppo non ho le soluzioni.. Grazie mille!

[luc.mm]

Per l'equilibrio la somma delle forze deve essere nulla quindi:

$ qEsin \beta+T_x=0 $
$ qEcos \beta - mg + T_y=0 $

E ottieni un certo vettore che è la tua reazione vincolare che realizza l'equilibrio, dovrà però essere applicata ortogonalmente alla circonferenza, visto che il punto può muoversi tangenzialmente.

Imponi che $(T_x,T_y)*u_theta=0 $ per trovare le posizioni angolari cercate.

Il lavoro per un qualsiasi percorso che ti riporta nel punto iniziale visto che sei in presenza di campi conservativi e reazioni vincolari ortogonali alla traiettroia, è nullo.

Per quanto riguarda il periodo delle piccole oscillazioni devi impostare la legge del moto.

$ mbar(a) =bar(T)+qbar(E)+mbar(g) $

E poi proiettarla sul versore tangente, ottenendo l'accelerazione angolare tramite l'accelerazione tangenziale $ alpha=Ra_t $

Ad occhio mi sembra complicato però perchè le posizioni di equilibrio non sono le solite del pendolo semplice.

Spero di non aver sbagliato troppo. Il periodo dovrebbe essere:

$ tau=(2pi)/omega $ con $ omega=sqrt((-mgcos(3/2pi-theta_(eq))-qEcos((pi/2-beta)-theta_(eq)))/(mR)) $