Carica in un campo
Buonasera!
Sto provando a svolgere questo esercizio ma non ho proprio idea di come svolgerlo. Ho provato ad iniziare a ragionare dal raggio della traiettoria circolare ma non so cosa fare.
Grazie in anticipo!
Sto provando a svolgere questo esercizio ma non ho proprio idea di come svolgerlo. Ho provato ad iniziare a ragionare dal raggio della traiettoria circolare ma non so cosa fare.
Grazie in anticipo!
Risposte
Il risultato esatto si basa sul fatto che il protone compirà una traiettoria circolare di cui si può calcolare il raggio e quindi, con considerazioni geometriche, determinare h.
Il moto a forza uniforme (immagino che si debba considerare $F=B*v*q$ come modulo anche se questo non è scritto) può essere studiato utilizzando le leggi della dinamica. Ne deriva un moto parabolico simile a quello di un grave, per cui non dovrebbe essere complicato trovare il valore di h.
Il moto a forza uniforme (immagino che si debba considerare $F=B*v*q$ come modulo anche se questo non è scritto) può essere studiato utilizzando le leggi della dinamica. Ne deriva un moto parabolico simile a quello di un grave, per cui non dovrebbe essere complicato trovare il valore di h.
Ho calcolato il raggio della traiettoria circolare, che viene 0,263m. Ho notato che c'era questo triangolo rettangolo a cui applicare il teorema di Pitagora:
(mi dispiace ma la foto non riesco a metterla un pò più piccola)
\[L^2+(r-h)^2=r^2\]
Facendo i passaggi e sostituendo i valori di r e L, vengono due risultati per h:
\(h_1=0,516m\)
\(h_2=0,0097m=9,7mm\)
Il primo l'ho escluso perché h sarebbe più grande del raggio r.
(mi dispiace ma la foto non riesco a metterla un pò più piccola)
\[L^2+(r-h)^2=r^2\]
Facendo i passaggi e sostituendo i valori di r e L, vengono due risultati per h:
\(h_1=0,516m\)
\(h_2=0,0097m=9,7mm\)
Il primo l'ho escluso perché h sarebbe più grande del raggio r.
Per quanto riguarda l'ipotesi di forma uniforme, devo quindi considerare le equazioni della caduta di un grave?
\(v=v_0+at\)
\(s=\frac{1}{2}at^2+v_0t+s_0\)
con \(v_0\) che è la velocità che mi dà la traccia, \(s_0=0\) e \(a\) che ricavo da \(F=ma\) con \(F=qvB\)?
\(v=v_0+at\)
\(s=\frac{1}{2}at^2+v_0t+s_0\)
con \(v_0\) che è la velocità che mi dà la traccia, \(s_0=0\) e \(a\) che ricavo da \(F=ma\) con \(F=qvB\)?
Attenzione che il moto si svolge in due dimensioni e che $v_0$ è solo in orizzontale. Inoltre possiamo assumere il punto di partenza come origine degli assi e prendere l'asse y orientato verso il basso.
Quindi
$x(t) = v_0*t$
$y(t) = 1/2 a t^2$
con $a$ effettivamente quello che hai ipotizzato. Chiaramente ci interessa il valore di y quando x=L
Quindi
$x(t) = v_0*t$
$y(t) = 1/2 a t^2$
con $a$ effettivamente quello che hai ipotizzato. Chiaramente ci interessa il valore di y quando x=L
Ah okk! Facendo i vari passaggi ho ottenuto che il valore di y=9.5mm. Perciò con quest'ipotesi ho ottenuto un valore molto vicino a quello ottenuto con la traiettoria circolare. Quindi penso che l'ipotesi fatta sia una buona approssimazione. Ma come faccio a spiegare il perché?
Ciao anche qui @mel e ciao anche @ingres, ovviamente.
Provo a darti una spiegazione che mi è venuta in mente, ma aspetta pareri più autorevoli del mio che confermino o smentiscano quanto sto per dirti.
Il perché in questa situazione l'ipotesi è applicabile ed i due risultati sono molto prossimi, secondo me deriva dal fatto che, essendo h molto più piccola del raggio (meno di 10mm contro 260mm, cioè meno del 2,5%), la traiettoria circolare fino al punto M è un arco di circonferenza molto piccolo, pertanto la parabola lo approssima piuttosto bene (il tuo disegno, per ovvi motivi di comprensione, è molto accentuato e nasconde questo fenomeno). Per valori più grandi, tale approssimazione risulta sempre meno valida.
Qui un disegno più attinente alla realtà, dal quale puoi vedere la sovrapposizione di circonferenza e parabola in quell'arco:
Questa è la mia idea e, come sempre,
saluti
Provo a darti una spiegazione che mi è venuta in mente, ma aspetta pareri più autorevoli del mio che confermino o smentiscano quanto sto per dirti.
Il perché in questa situazione l'ipotesi è applicabile ed i due risultati sono molto prossimi, secondo me deriva dal fatto che, essendo h molto più piccola del raggio (meno di 10mm contro 260mm, cioè meno del 2,5%), la traiettoria circolare fino al punto M è un arco di circonferenza molto piccolo, pertanto la parabola lo approssima piuttosto bene (il tuo disegno, per ovvi motivi di comprensione, è molto accentuato e nasconde questo fenomeno). Per valori più grandi, tale approssimazione risulta sempre meno valida.
Qui un disegno più attinente alla realtà, dal quale puoi vedere la sovrapposizione di circonferenza e parabola in quell'arco:
Questa è la mia idea e, come sempre,
saluti
Si, il motivo è che parliamo di h piccolo o meglio di una situazione in cui r>>L.
In questa ipotesi si può dimostrare che i due valori di h sono molto prossimi.
Risulta per il calcolo esatto
$h_e=r-sqrt(r^2-L^2) = r*(1-sqrt(1-L^2/r^2))$
con $r=(mv)/(qB)$
Se L è abbastanza piccolo rispetto a r allora ricordando che per x << 1 si ha $sqrt(1+x) approx 1+x/2$
$h_e approx r (1 - 1 + 1/2 L^2/r^2) = 1/2 L^2/r = 1/2 L^2*(qB)/(mv)$
Per il valore approssimato avremo
$h_a = 1/2 a t^2 = 1/2 (qBv)/m* (L/v)^2 = 1/2 L^2*(qB)/(mv)$
Quindi effettivamente nell'ipotesi r>>L, si avrà $h_a approx h_e$
Fisicamente questo significa che essendo L piccolo la velocità non devia troppo dalla traiettoria rettilinea e quindi la forza esercitata dal campo magnetico è pressapoco uniforme.
In questa ipotesi si può dimostrare che i due valori di h sono molto prossimi.
Risulta per il calcolo esatto
$h_e=r-sqrt(r^2-L^2) = r*(1-sqrt(1-L^2/r^2))$
con $r=(mv)/(qB)$
Se L è abbastanza piccolo rispetto a r allora ricordando che per x << 1 si ha $sqrt(1+x) approx 1+x/2$
$h_e approx r (1 - 1 + 1/2 L^2/r^2) = 1/2 L^2/r = 1/2 L^2*(qB)/(mv)$
Per il valore approssimato avremo
$h_a = 1/2 a t^2 = 1/2 (qBv)/m* (L/v)^2 = 1/2 L^2*(qB)/(mv)$
Quindi effettivamente nell'ipotesi r>>L, si avrà $h_a approx h_e$
Fisicamente questo significa che essendo L piccolo la velocità non devia troppo dalla traiettoria rettilinea e quindi la forza esercitata dal campo magnetico è pressapoco uniforme.
Grazie mille ad entrambi! Adesso è tutto molto più chiaro. Non ci sarei mai arrivata a pensare che fosse per r>>L.
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