Carica e dipolo rigido davanti a piano conduttore collegato a terra
Salve a tutti!
Ho qualche dubbio su come ho svolto questo esercizio e vi chiederei di segnalarmi qualsiasi eventuale errore. Grazie in anticipo!
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(a)
Per determinare il campo elettrico lungo l'asse x, ho applicato il metodo delle cariche immagine, dal quale ricavare prima il potenziale totale \(\displaystyle V \) di tale configurazione e da questo il campo elettrico richiesto. Rispetto all'asse \(\displaystyle y \) pongo quindi una seconda carica \(\displaystyle Q' = -Q \), simmetrica rispetto a \(\displaystyle Q \), di modo che il potenziale generato da queste due cariche nella posizione occupata dal piano dia come potenziale totale un potenziale nullo. Considerando un sistema di assi cartesiani \(\displaystyle xy \) come in figura, il potenziale totale generato dalle due cariche in un punto qualsiasi dello spazio \(\displaystyle P = (x;y) \) è dato da:
\(\displaystyle V(x;y) = {Q\over 4\pi \epsilon_{0}}[{1 \over ((x+2d)^{2} + y^{2})} - {1 \over ((x-2d)^{2} + y^{2})}] \)
Da questa espressione, secondo la relazione \(\displaystyle \overline{E} = -\overline{\bigtriangledown}(V) \), ricavo l'espressione della componente lungo \(\displaystyle x \) del campo \(\displaystyle \overline{E} \):
\(\displaystyle E_{x} = -{\partial \over \partial x}(V) = {Q \over 4\pi \epsilon_{0}}[{(x+2d) \over ((x+2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}} - {(x-2d) \over ((x-2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
(b)
Per la determinazione della densità di carica indotta sul piano conduttore, che sarà una densità di carica superficiale, teniamo di conto del teorema di Coulomb:
\(\displaystyle \overline{E} = {\sigma \over \epsilon_{0}}\hat{n} \)
Nel nostro caso, la densità di carica superficiale indotta sarà espressa dalla relazione:
\(\displaystyle \sigma(x;y) = -\epsilon_{0} E_{0x} \)
dove \(\displaystyle E_{0x} \) è il valore del campo elettrico sul piano conduttore:
\(\displaystyle E_{0x} = {Q \over \pi \epsilon_{0}} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}]\)
Otteniamo allora che la densità di carica indotta superficiale è data da:
\(\displaystyle \sigma(0;y) ={Q \over \pi} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
Nell'origine O del sistema sarà invece:
\(\displaystyle \sigma(0;0) = {Q \over \pi}{1 \over 4d^{2}} \)
(c)
Ricordiamo anzitutto le espressioni del momento risultante e della forza risultante su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E} \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{M} = -\overline{E} \times \overline{p} \)
Poichè il dipolo elettrico si trova vincolato sull'asse x, su di esso agisce il campo elettrico \(\displaystyle \overline{E} = \overline{E_{x}} \) e possiamo riscrivere così le relazioni precedenti:
\(\displaystyle F = -|\overline{p}|\cos{\theta}{\partial \over \partial x}(E_{x}) \)
\(\displaystyle M = -E_{x}|\overline{p}|\sin{\theta} \)
Senza stare a svolgere i calcoli, per determinare poi il valore esplicito della forza e del momento sostituisco alla \(\displaystyle x \) la coordinata del dipolo, ossia \(\displaystyle d \).
Ho/sto sbagliando qualcosa? Grazie davvero per l'aiuto!
Ho qualche dubbio su come ho svolto questo esercizio e vi chiederei di segnalarmi qualsiasi eventuale errore. Grazie in anticipo!
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(a)
Per determinare il campo elettrico lungo l'asse x, ho applicato il metodo delle cariche immagine, dal quale ricavare prima il potenziale totale \(\displaystyle V \) di tale configurazione e da questo il campo elettrico richiesto. Rispetto all'asse \(\displaystyle y \) pongo quindi una seconda carica \(\displaystyle Q' = -Q \), simmetrica rispetto a \(\displaystyle Q \), di modo che il potenziale generato da queste due cariche nella posizione occupata dal piano dia come potenziale totale un potenziale nullo. Considerando un sistema di assi cartesiani \(\displaystyle xy \) come in figura, il potenziale totale generato dalle due cariche in un punto qualsiasi dello spazio \(\displaystyle P = (x;y) \) è dato da:
\(\displaystyle V(x;y) = {Q\over 4\pi \epsilon_{0}}[{1 \over ((x+2d)^{2} + y^{2})} - {1 \over ((x-2d)^{2} + y^{2})}] \)
Da questa espressione, secondo la relazione \(\displaystyle \overline{E} = -\overline{\bigtriangledown}(V) \), ricavo l'espressione della componente lungo \(\displaystyle x \) del campo \(\displaystyle \overline{E} \):
\(\displaystyle E_{x} = -{\partial \over \partial x}(V) = {Q \over 4\pi \epsilon_{0}}[{(x+2d) \over ((x+2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}} - {(x-2d) \over ((x-2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
(b)
Per la determinazione della densità di carica indotta sul piano conduttore, che sarà una densità di carica superficiale, teniamo di conto del teorema di Coulomb:
\(\displaystyle \overline{E} = {\sigma \over \epsilon_{0}}\hat{n} \)
Nel nostro caso, la densità di carica superficiale indotta sarà espressa dalla relazione:
\(\displaystyle \sigma(x;y) = -\epsilon_{0} E_{0x} \)
dove \(\displaystyle E_{0x} \) è il valore del campo elettrico sul piano conduttore:
\(\displaystyle E_{0x} = {Q \over \pi \epsilon_{0}} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}]\)
Otteniamo allora che la densità di carica indotta superficiale è data da:
\(\displaystyle \sigma(0;y) ={Q \over \pi} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
Nell'origine O del sistema sarà invece:
\(\displaystyle \sigma(0;0) = {Q \over \pi}{1 \over 4d^{2}} \)
(c)
Ricordiamo anzitutto le espressioni del momento risultante e della forza risultante su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E} \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{M} = -\overline{E} \times \overline{p} \)
Poichè il dipolo elettrico si trova vincolato sull'asse x, su di esso agisce il campo elettrico \(\displaystyle \overline{E} = \overline{E_{x}} \) e possiamo riscrivere così le relazioni precedenti:
\(\displaystyle F = -|\overline{p}|\cos{\theta}{\partial \over \partial x}(E_{x}) \)
\(\displaystyle M = -E_{x}|\overline{p}|\sin{\theta} \)
Senza stare a svolgere i calcoli, per determinare poi il valore esplicito della forza e del momento sostituisco alla \(\displaystyle x \) la coordinata del dipolo, ossia \(\displaystyle d \).
Ho/sto sbagliando qualcosa? Grazie davvero per l'aiuto!
Risposte
Qualche errorino/typo mi sembra di vederlo nei tuoi passaggi, non hai però considerato che anche il dipolo si "specchia" in quel piano.
Ok, ti ringrazio. Quali sono gli errori che ho commesso? A parte il non considerare il contributo al campo elettrico dato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore. Inoltre per determinare appunto il contributo di quest'ultimo punto, si applica di nuovo il metodo delle cariche immagine?
Beh, mi sembra che: manchi una radice a denominatore per il potenziale, manchi la coordinata z nella relazione della densità di carica per il piano, ci sia una errata semplificazione per la densità di carica nell'origine.
Sì, anche per il dipolo si può usare il metodo delle immagini.
Sì, anche per il dipolo si può usare il metodo delle immagini.
Ok, allora correggendo le parti che presentavano degli errori:
\(\displaystyle V(x;y;z) = {Q \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{1 \over [(x+2d)^{2} + y^{2} +z^{2}]^{{1\over 2}}} - {1 \over [(x-2d)^{2} +y^{2} + z^{2}]^{{1 \over 2}}}] \) è il potenziale elettrico.
\(\displaystyle E_{0x} = {Qd \over \pi \epsilon_{0} [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) è il campo elettrico sul piano conduttore.
\(\displaystyle \sigma(0; y; z) =- {Qd \over \pi [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore.
\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 4\pi d^{2}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore nell'origine.
Ora dobbiamo determinare la forza risultante ed il momento risultante sul dipolo elettrico posto sull'asse x. Dobbiamo considerare che oltre al campo elettrico precedentemente calcolato tramite il metodo delle cariche immagine, dobbiamo sommare il contributo dato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore: anche tale contributo può essere determinato tramite il metodo delle cariche immagine. Supponiamo quindi di avere un dipolo immagine \(\displaystyle p' \) posto a distanza \(\displaystyle -d \) lungo l'asse x dall'origine. Il campo elettrico generato in un generico punto P dello spazio da un dipolo elettrico vale:
\(\displaystyle E(r) = {1 \over 4 \pi \epsilon_{0}}[ {3 (r-r_{p}) p \cdot (r-r_{p}) \over |r-r_{p}|^{5}} - {p \over |r-r_{p}|^{3}}]\)
Sappiamo inoltre che le componenti del campo elettrico generato da un dipolo, a partire dall'espressione del potenziale, in un punto qualsisi sono:
\(\displaystyle V_{0}(x;y;z) = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)
\(\displaystyle E_{0x} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{3xz \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
\(\displaystyle E_{0y} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{3yz \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
\(\displaystyle E_{0z} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{2z^{2} -x^{2} - y^{2} \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
Rispetto al sistema di riferimento considerato, otteniamo le seguenti espressioni per il potenziale totale e per il campo elettrico generato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore:
\(\displaystyle V_{0}(x;y;z) = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)
\(\displaystyle E_{x} = -{\partial V_{0} \over \partial x} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3(x+d)z \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}}} - {3(x-d)z \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } ] \)
\(\displaystyle E_{y} = -{\partial V_{0} \over \partial y} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3yz \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}}} - {3yz \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } ] \)
\(\displaystyle E_{z} = -{\partial V_{0} \over \partial z} ={p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{(x+d)^{2} +y^{2} -2z^{2} \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } -{(x-d)^{2} + y^{2} - 2z^{2} \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5 \over 2}}} ]\)
Le componenti ottenute sono quelle del campo elettrico generato dallo specchiarsi del dipolo sul piano conduttore, tale contributo va infatti sommato al campo elettrico precedentemente calcolato per ottenere il campo elettrico totale di tale configurazione. Poichè il dipolo è posto lungo l'asse x e vincolato su di essa, il campo elettrico totale agente sul dipo avrà solo componente lungo x.
Giusto?
\(\displaystyle V(x;y;z) = {Q \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{1 \over [(x+2d)^{2} + y^{2} +z^{2}]^{{1\over 2}}} - {1 \over [(x-2d)^{2} +y^{2} + z^{2}]^{{1 \over 2}}}] \) è il potenziale elettrico.
\(\displaystyle E_{0x} = {Qd \over \pi \epsilon_{0} [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) è il campo elettrico sul piano conduttore.
\(\displaystyle \sigma(0; y; z) =- {Qd \over \pi [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore.
\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 4\pi d^{2}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore nell'origine.
Ora dobbiamo determinare la forza risultante ed il momento risultante sul dipolo elettrico posto sull'asse x. Dobbiamo considerare che oltre al campo elettrico precedentemente calcolato tramite il metodo delle cariche immagine, dobbiamo sommare il contributo dato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore: anche tale contributo può essere determinato tramite il metodo delle cariche immagine. Supponiamo quindi di avere un dipolo immagine \(\displaystyle p' \) posto a distanza \(\displaystyle -d \) lungo l'asse x dall'origine. Il campo elettrico generato in un generico punto P dello spazio da un dipolo elettrico vale:
\(\displaystyle E(r) = {1 \over 4 \pi \epsilon_{0}}[ {3 (r-r_{p}) p \cdot (r-r_{p}) \over |r-r_{p}|^{5}} - {p \over |r-r_{p}|^{3}}]\)
Sappiamo inoltre che le componenti del campo elettrico generato da un dipolo, a partire dall'espressione del potenziale, in un punto qualsisi sono:
\(\displaystyle V_{0}(x;y;z) = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)
\(\displaystyle E_{0x} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{3xz \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
\(\displaystyle E_{0y} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{3yz \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
\(\displaystyle E_{0z} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{2z^{2} -x^{2} - y^{2} \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
Rispetto al sistema di riferimento considerato, otteniamo le seguenti espressioni per il potenziale totale e per il campo elettrico generato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore:
\(\displaystyle V_{0}(x;y;z) = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)
\(\displaystyle E_{x} = -{\partial V_{0} \over \partial x} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3(x+d)z \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}}} - {3(x-d)z \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } ] \)
\(\displaystyle E_{y} = -{\partial V_{0} \over \partial y} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3yz \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}}} - {3yz \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } ] \)
\(\displaystyle E_{z} = -{\partial V_{0} \over \partial z} ={p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{(x+d)^{2} +y^{2} -2z^{2} \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } -{(x-d)^{2} + y^{2} - 2z^{2} \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5 \over 2}}} ]\)
Le componenti ottenute sono quelle del campo elettrico generato dallo specchiarsi del dipolo sul piano conduttore, tale contributo va infatti sommato al campo elettrico precedentemente calcolato per ottenere il campo elettrico totale di tale configurazione. Poichè il dipolo è posto lungo l'asse x e vincolato su di essa, il campo elettrico totale agente sul dipo avrà solo componente lungo x.
Giusto?
Da un veloce controllo, mi sembra di continuare a vedere l'errore nella densità di carica nell'origine, mentre nella determinazione del campo mi sarei atteso di veder comparire l'angolo $\theta$, ad ogni modo ho provato anch'io a determinare il campo relativo al contributo del dipolo specchiato $\vec p_s$ a partire dalla relazione da te indicata, ma in forma liofilizzata
$\vec E =\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{3 (\vec p_s\cdot \hat r)\ \hat r-\vec p_s}{r^3} $
il calcolo lo ho fatto in velocità e quindi lascio a te controllare, ma il risultato ottenuto per il campo nel punto P, posizione del dipolo "reale" è il seguente
$\vec E(P)=\frac{p}{32\pi \epsilon_0 d^3}( 2 \cos(\theta) \ \hat x - \sin(\theta)\ \hat y)$
PS Che dovrebbe portare al seguente contributo per il momento
$\vec M_{p} =\vec p \times \vec E=\frac{p^2}{64\pi \epsilon_0 d^3} \sin(2\theta)\ \hat z $
$\vec E =\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{3 (\vec p_s\cdot \hat r)\ \hat r-\vec p_s}{r^3} $
il calcolo lo ho fatto in velocità e quindi lascio a te controllare, ma il risultato ottenuto per il campo nel punto P, posizione del dipolo "reale" è il seguente
$\vec E(P)=\frac{p}{32\pi \epsilon_0 d^3}( 2 \cos(\theta) \ \hat x - \sin(\theta)\ \hat y)$
PS Che dovrebbe portare al seguente contributo per il momento
$\vec M_{p} =\vec p \times \vec E=\frac{p^2}{64\pi \epsilon_0 d^3} \sin(2\theta)\ \hat z $
Perdonami, mi ero dimenticato di una potenza, la densità di carica indotta nell'origine è:
\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 64 \pi d^{2}} \)
Per quanto riguarda il dipolo elettrico, usando il metodo delle cariche immagini, non dovremmo avere un campo elettrico così espresso:
\(\displaystyle \overline{E} = {1\over 4\pi \epsilon_{0}} {3(\overline{p} \cdot \hat{r})\hat{r} - \overline{p} \over r^{3}} + {1 \over 4\pi \epsilon_{0}}{3(\overline{p}' \cdot \hat{r}')\hat{r}' - \overline{p}' \over r'^{3}}\)
con \(\displaystyle \overline{r}=(d;0;0) \) e \(\displaystyle \overline{r'} =(-d;0;0)\), e \(\displaystyle \overline{p}'=-\overline{p} \). Ossia che sia il risultato del dipolo reale e del dipolo immagine?
\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 64 \pi d^{2}} \)
Per quanto riguarda il dipolo elettrico, usando il metodo delle cariche immagini, non dovremmo avere un campo elettrico così espresso:
\(\displaystyle \overline{E} = {1\over 4\pi \epsilon_{0}} {3(\overline{p} \cdot \hat{r})\hat{r} - \overline{p} \over r^{3}} + {1 \over 4\pi \epsilon_{0}}{3(\overline{p}' \cdot \hat{r}')\hat{r}' - \overline{p}' \over r'^{3}}\)
con \(\displaystyle \overline{r}=(d;0;0) \) e \(\displaystyle \overline{r'} =(-d;0;0)\), e \(\displaystyle \overline{p}'=-\overline{p} \). Ossia che sia il risultato del dipolo reale e del dipolo immagine?
"Cosmoi":
Perdonami, non vedo l'errore nella determinazione della densità di carica nell'origine. ....
Sto facendo riferimento al seguente passaggio
"Cosmoi":
... \(\displaystyle \sigma(0; y; z) =- {Qd \over \pi [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore.
\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 4\pi d^{2}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore nell'origine. ...
non dirmi che non lo vedi.
"Cosmoi":
... Per quanto riguarda il dipolo elettrico, usando il metodo delle cariche immagini, non dovremmo avere un campo elettrico così espresso: ... Ossia che sia il risultato del dipolo reale e del dipolo immagine?
Certo che sì, io sto per il momento considerando il campo nel punto particolare (P) dove è posizionato il dipolo reale.
"Cosmoi":
... con \(\displaystyle \overline{r}=(d;0;0) \) e \(\displaystyle \overline{r'} =(-d;0;0)\), ...
Eh no! ... se vai a considerare il generico punto del piano, quei vettori $r$ corrispondono ai vettori che congiungono i punti di posizionamento dei dipoli con il generico punto del piano di coordinate (0,y,z),
... e non è nemmeno vero che
"Cosmoi":
\(\overline{p}'=-\overline{p} \).
Allora vorrei riuscire a capire come ragionare con questo metodo delle immagini con un dipolo elettrico ocme in questo caso. Anzitutto come faccio a determinare come è fatto il dipolo immagine, se non vale la relazione \(\displaystyle \overline{p}'=-\overline{p} \)? E soprattutto non capisco allora come si fa ad ottenere l'espressione del campo a partire da quella "liofilizzata"
"Cosmoi":
... come faccio a determinare come è fatto il dipolo immagine, se non vale la relazione \(\displaystyle \overline{p}'=-\overline{p} \)?...
Lo determini con lo stesso metodo che usi per la singola carica.
... fatti un disegno e lo scopri subito.
Ovvero, se ti guardi allo specchio, ... non ti vedi la schiena.
"Cosmoi":
... E soprattutto non capisco allora come si fa ad ottenere l'espressione del campo a partire da quella "liofilizzata"
Devi deliofilizzarla.
... e se dai un occhio ai tuoi post, la trovi già scritta.
BTW Tema d'esame anche questo? 
Sì è un tema d'esame anche questo.
Comunque il dipolo specchiato è appunto "specchiato" quindi così disposto:
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Ora la relazione "deofilizzata" si intende la seguente?
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3(\overline{p} \cdot (\overline{r} - \overline{r}_{p}))(\overline{r}-\overline{r}_{p}) \over |\overline{r} - \overline{r}_{p}|^{5}} - {\overline{p} \over |\overline{r}-\overline{r}_{p}|^{3}}] \)
Scusami ma non sto capendo come andare avanti, probabilmente mi sto perdendo in una semplice sostituzione.
Comunque il dipolo specchiato è appunto "specchiato" quindi così disposto:
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Ora la relazione "deofilizzata" si intende la seguente?
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3(\overline{p} \cdot (\overline{r} - \overline{r}_{p}))(\overline{r}-\overline{r}_{p}) \over |\overline{r} - \overline{r}_{p}|^{5}} - {\overline{p} \over |\overline{r}-\overline{r}_{p}|^{3}}] \)
Scusami ma non sto capendo come andare avanti, probabilmente mi sto perdendo in una semplice sostituzione.
"Cosmoi":
Sì è un tema d'esame anche questo. ...
Veramente "interessante".
"Cosmoi":
... Comunque il dipolo specchiato è appunto "specchiato" quindi così disposto:
...
Eh no, scusa ma hai provato come ti ho suggerito a ragionare con le cariche costituenti?
"Cosmoi":
... Ora la relazione "deofilizzata" si intende la seguente?
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3(\overline{p} \cdot (\overline{r} - \overline{r}_{p}))(\overline{r}-\overline{r}_{p}) \over |\overline{r} - \overline{r}_{p}|^{5}} - {\overline{p} \over |\overline{r}-\overline{r}_{p}|^{3}}] \)
...
Sì, proprio quella.
Ok, allora è diretto così il dipolo immagine:
[img]
[/img]
Quindi la relazione deofilizzata diventa, indicando con \(\displaystyle \overline{r}' = \overline{r}-\overline{r}_{p} \)
\(\displaystyle \overline{E} ={1 \over 4\pi \epsilon_{0}}[{3(\overline{p}\cdot ( \hat{r}'))\hat{r}' \over r'^{3}} -{\overline{p} \over r'^{3}} ]\)
[img]
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Quindi la relazione deofilizzata diventa, indicando con \(\displaystyle \overline{r}' = \overline{r}-\overline{r}_{p} \)
\(\displaystyle \overline{E} ={1 \over 4\pi \epsilon_{0}}[{3(\overline{p}\cdot ( \hat{r}'))\hat{r}' \over r'^{3}} -{\overline{p} \over r'^{3}} ]\)
"Cosmoi":
Ok, allora è diretto così il dipolo immagine: ...
No, non ci siamo ancora.
... questa l'avevi già ipotizzata inizialmente
"Cosmoi":
\(\overline{p}'=-\overline{p} \).
"Cosmoi":
... Quindi la relazione deofilizzata diventa, indicando con \(\displaystyle \overline{r}' = \overline{r}-\overline{r}_{p} \)
\(\displaystyle \overline{E} ={1 \over 4\pi \epsilon_{0}}[{3(\overline{p}\cdot ( \hat{r}'))\hat{r}' \over r'^{3}} -{\overline{p} \over r'^{3}} ]\)
\(\displaystyle \vec{E} ={1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^3} [ 3(\vec{p}\cdot \hat{r}' )\ \hat{r}' -{\vec{p}}) ]\)
Ciao,
Penso di aver risolto per determinare il dipolo immagine, tramite le cariche costituenti:
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Tuttavia continuo a essere bloccato. Mentre infatti riesco a scrivere il vettore \(\displaystyle \overline{p} \) nelle sue componenenti:
\(\displaystyle \overline{p}_{x} = -p\cos{\theta} \hat{i} \)
\(\displaystyle \overline{p}_{y}=p\sin{\theta} \hat{j} \)
Non riesco a determinare l'angolo che è presente tra il vettore \(\displaystyle \overline{p} \) e il vettore che congiunge il dipolo con il punto P dello spazio considerato, ossia \(\displaystyle \overline{r'} \), e quindi non riesco a scrivere il prodotto scalare \(\displaystyle \overline{p} \cdot \hat{r'} \), nè tantomeno il denominatore presente. Devo chiederti aiuto per una spiegazione passaggio per passaggio
Penso di aver risolto per determinare il dipolo immagine, tramite le cariche costituenti:
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Tuttavia continuo a essere bloccato. Mentre infatti riesco a scrivere il vettore \(\displaystyle \overline{p} \) nelle sue componenenti:
\(\displaystyle \overline{p}_{x} = -p\cos{\theta} \hat{i} \)
\(\displaystyle \overline{p}_{y}=p\sin{\theta} \hat{j} \)
Non riesco a determinare l'angolo che è presente tra il vettore \(\displaystyle \overline{p} \) e il vettore che congiunge il dipolo con il punto P dello spazio considerato, ossia \(\displaystyle \overline{r'} \), e quindi non riesco a scrivere il prodotto scalare \(\displaystyle \overline{p} \cdot \hat{r'} \), nè tantomeno il denominatore presente. Devo chiederti aiuto per una spiegazione passaggio per passaggio
"Cosmoi":
... Penso di aver risolto per determinare il dipolo immagine, tramite le cariche costituenti: ...
"Cosmoi":
... ... Non riesco a determinare l'angolo che è presente tra il vettore \(\displaystyle \overline{p} \) e il vettore che congiunge il dipolo con il punto P dello spazio considerato, ...
Scusa, ma non c'è nessun angolo da determinare, noto $\vec r$ e $\vec r_p$, userai la relazione che hai indicato per determinare $\vecr'$ e quindi disporrai sia il suo modulo sia il prodotto scalare con $\p$, non credi?
"Cosmoi":
... Mentre infatti riesco a scrivere il vettore \(\displaystyle \overline{p} \) nelle sue componenenti:
\(\displaystyle \overline{p}_{x} = -p\cos{\theta} \hat{i} \)
\(\displaystyle \overline{p}_{y}=p\sin{\theta} \hat{j} \)...
Occhio
Perdonami, ma io conosco \(\displaystyle \overline{r}_{p} = (d\hat{i} ; 0 \hat{j} ; o hat{k}) \) ossia il vettore che individua la posizione del dipolo, mentre del vettore \(\displaystyle \overline{r} = (x; y; z) \), ossia il vettore posizione del generico punto P dello spazio considerato, non ne conosco esplicitamente le componenti. No?
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\(\displaystyle p_{x} = p \cos(\alpha) = p\cos({\pi -\theta}) = -p \cos(\theta) \)
\(\displaystyle p_{y} = p \sin(\alpha) = p \sin(\pi-\theta)= p\sin(\theta) \)
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\(\displaystyle p_{x} = p \cos(\alpha) = p\cos({\pi -\theta}) = -p \cos(\theta) \)
\(\displaystyle p_{y} = p \sin(\alpha) = p \sin(\pi-\theta)= p\sin(\theta) \)
"Cosmoi":
... ossia il vettore posizione del generico punto P dello spazio considerato, non ne conosco esplicitamente le componenti. No?...
Certo che no, il generico punto del piano corrisponderà ad una generica coppia di coordinate
$\vec r=(0,y,z)$
...\(\displaystyle \overline{p}_{x} = -p\cos{\theta} \hat{i} \)
\(\displaystyle \overline{p}_{y}=p\sin{\theta} \hat{j} \)
...
Questa non l'ho capita.
Direi
\(\displaystyle {p}_{x} =+p\cos{\theta}\ \)
\(\displaystyle {p}_{y}=-p\sin{\theta}\ \)
vista la particolare scelta per $\theta$ del testo.
Scusami, ma \(\displaystyle \theta \) \(\displaystyle =135° \) è l'angolo che il vettore \(\displaystyle \overline{p} \) forma con l'asse x, quindi è l'angolo che sta tra la punta della freccia del dipolo e l'asse x per intenderci. L'angolo \(\displaystyle \alpha = \pi - \theta \) è l'angolo complementare a \(\displaystyle \theta \), quindi per le formule degli archi associati avremmo:
\(\displaystyle p_{x} = p \cos{\alpha} = p\cos{\pi -\theta} = -p \cos{\theta} \)
\(\displaystyle p_{y} = p \sin{\alpha} = p\sin{\pi -\alpha} = p \sin{\theta} \)
No?
In ogni caso avrò per i vettori precedenti:
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (d \hat{i}; 0 \hat{j} ; 0 \hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0 \hat{i} ; y\hat{j}; z \hat{k}) = {-d\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{r} -\overline{r}_{p} = (0-d)\hat{i} + (y-0)\hat{j} + (z-0)\hat{k} = \overline{r'} \Rightarrow \overline{r'} = (-d\hat{i} ; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'}= {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} = {-d\hat{i} + y\hat{j} +z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} \)
Sostituendo nell'espressione del campo:
\(\displaystyle \overline{E}(P) = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2}+z^{2})^{{3\over 2}}} [3(\overline{p} \cdot {-d\hat{i} + y\hat{j} +z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \cdot {-d\hat{i} + y\hat{j} +z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} - \overline{p}] \)
\(\displaystyle p_{x} = p \cos{\alpha} = p\cos{\pi -\theta} = -p \cos{\theta} \)
\(\displaystyle p_{y} = p \sin{\alpha} = p\sin{\pi -\alpha} = p \sin{\theta} \)
No?
In ogni caso avrò per i vettori precedenti:
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (d \hat{i}; 0 \hat{j} ; 0 \hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0 \hat{i} ; y\hat{j}; z \hat{k}) = {-d\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{r} -\overline{r}_{p} = (0-d)\hat{i} + (y-0)\hat{j} + (z-0)\hat{k} = \overline{r'} \Rightarrow \overline{r'} = (-d\hat{i} ; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'}= {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} = {-d\hat{i} + y\hat{j} +z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} \)
Sostituendo nell'espressione del campo:
\(\displaystyle \overline{E}(P) = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2}+z^{2})^{{3\over 2}}} [3(\overline{p} \cdot {-d\hat{i} + y\hat{j} +z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \cdot {-d\hat{i} + y\hat{j} +z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} - \overline{p}] \)
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