Carica e dipolo rigido davanti a piano conduttore collegato a terra
Salve a tutti!
Ho qualche dubbio su come ho svolto questo esercizio e vi chiederei di segnalarmi qualsiasi eventuale errore. Grazie in anticipo!
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(a)
Per determinare il campo elettrico lungo l'asse x, ho applicato il metodo delle cariche immagine, dal quale ricavare prima il potenziale totale \(\displaystyle V \) di tale configurazione e da questo il campo elettrico richiesto. Rispetto all'asse \(\displaystyle y \) pongo quindi una seconda carica \(\displaystyle Q' = -Q \), simmetrica rispetto a \(\displaystyle Q \), di modo che il potenziale generato da queste due cariche nella posizione occupata dal piano dia come potenziale totale un potenziale nullo. Considerando un sistema di assi cartesiani \(\displaystyle xy \) come in figura, il potenziale totale generato dalle due cariche in un punto qualsiasi dello spazio \(\displaystyle P = (x;y) \) è dato da:
\(\displaystyle V(x;y) = {Q\over 4\pi \epsilon_{0}}[{1 \over ((x+2d)^{2} + y^{2})} - {1 \over ((x-2d)^{2} + y^{2})}] \)
Da questa espressione, secondo la relazione \(\displaystyle \overline{E} = -\overline{\bigtriangledown}(V) \), ricavo l'espressione della componente lungo \(\displaystyle x \) del campo \(\displaystyle \overline{E} \):
\(\displaystyle E_{x} = -{\partial \over \partial x}(V) = {Q \over 4\pi \epsilon_{0}}[{(x+2d) \over ((x+2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}} - {(x-2d) \over ((x-2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
(b)
Per la determinazione della densità di carica indotta sul piano conduttore, che sarà una densità di carica superficiale, teniamo di conto del teorema di Coulomb:
\(\displaystyle \overline{E} = {\sigma \over \epsilon_{0}}\hat{n} \)
Nel nostro caso, la densità di carica superficiale indotta sarà espressa dalla relazione:
\(\displaystyle \sigma(x;y) = -\epsilon_{0} E_{0x} \)
dove \(\displaystyle E_{0x} \) è il valore del campo elettrico sul piano conduttore:
\(\displaystyle E_{0x} = {Q \over \pi \epsilon_{0}} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}]\)
Otteniamo allora che la densità di carica indotta superficiale è data da:
\(\displaystyle \sigma(0;y) ={Q \over \pi} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
Nell'origine O del sistema sarà invece:
\(\displaystyle \sigma(0;0) = {Q \over \pi}{1 \over 4d^{2}} \)
(c)
Ricordiamo anzitutto le espressioni del momento risultante e della forza risultante su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E} \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{M} = -\overline{E} \times \overline{p} \)
Poichè il dipolo elettrico si trova vincolato sull'asse x, su di esso agisce il campo elettrico \(\displaystyle \overline{E} = \overline{E_{x}} \) e possiamo riscrivere così le relazioni precedenti:
\(\displaystyle F = -|\overline{p}|\cos{\theta}{\partial \over \partial x}(E_{x}) \)
\(\displaystyle M = -E_{x}|\overline{p}|\sin{\theta} \)
Senza stare a svolgere i calcoli, per determinare poi il valore esplicito della forza e del momento sostituisco alla \(\displaystyle x \) la coordinata del dipolo, ossia \(\displaystyle d \).
Ho/sto sbagliando qualcosa? Grazie davvero per l'aiuto!
Ho qualche dubbio su come ho svolto questo esercizio e vi chiederei di segnalarmi qualsiasi eventuale errore. Grazie in anticipo!
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(a)
Per determinare il campo elettrico lungo l'asse x, ho applicato il metodo delle cariche immagine, dal quale ricavare prima il potenziale totale \(\displaystyle V \) di tale configurazione e da questo il campo elettrico richiesto. Rispetto all'asse \(\displaystyle y \) pongo quindi una seconda carica \(\displaystyle Q' = -Q \), simmetrica rispetto a \(\displaystyle Q \), di modo che il potenziale generato da queste due cariche nella posizione occupata dal piano dia come potenziale totale un potenziale nullo. Considerando un sistema di assi cartesiani \(\displaystyle xy \) come in figura, il potenziale totale generato dalle due cariche in un punto qualsiasi dello spazio \(\displaystyle P = (x;y) \) è dato da:
\(\displaystyle V(x;y) = {Q\over 4\pi \epsilon_{0}}[{1 \over ((x+2d)^{2} + y^{2})} - {1 \over ((x-2d)^{2} + y^{2})}] \)
Da questa espressione, secondo la relazione \(\displaystyle \overline{E} = -\overline{\bigtriangledown}(V) \), ricavo l'espressione della componente lungo \(\displaystyle x \) del campo \(\displaystyle \overline{E} \):
\(\displaystyle E_{x} = -{\partial \over \partial x}(V) = {Q \over 4\pi \epsilon_{0}}[{(x+2d) \over ((x+2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}} - {(x-2d) \over ((x-2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
(b)
Per la determinazione della densità di carica indotta sul piano conduttore, che sarà una densità di carica superficiale, teniamo di conto del teorema di Coulomb:
\(\displaystyle \overline{E} = {\sigma \over \epsilon_{0}}\hat{n} \)
Nel nostro caso, la densità di carica superficiale indotta sarà espressa dalla relazione:
\(\displaystyle \sigma(x;y) = -\epsilon_{0} E_{0x} \)
dove \(\displaystyle E_{0x} \) è il valore del campo elettrico sul piano conduttore:
\(\displaystyle E_{0x} = {Q \over \pi \epsilon_{0}} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}]\)
Otteniamo allora che la densità di carica indotta superficiale è data da:
\(\displaystyle \sigma(0;y) ={Q \over \pi} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)
Nell'origine O del sistema sarà invece:
\(\displaystyle \sigma(0;0) = {Q \over \pi}{1 \over 4d^{2}} \)
(c)
Ricordiamo anzitutto le espressioni del momento risultante e della forza risultante su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E} \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{M} = -\overline{E} \times \overline{p} \)
Poichè il dipolo elettrico si trova vincolato sull'asse x, su di esso agisce il campo elettrico \(\displaystyle \overline{E} = \overline{E_{x}} \) e possiamo riscrivere così le relazioni precedenti:
\(\displaystyle F = -|\overline{p}|\cos{\theta}{\partial \over \partial x}(E_{x}) \)
\(\displaystyle M = -E_{x}|\overline{p}|\sin{\theta} \)
Senza stare a svolgere i calcoli, per determinare poi il valore esplicito della forza e del momento sostituisco alla \(\displaystyle x \) la coordinata del dipolo, ossia \(\displaystyle d \).
Ho/sto sbagliando qualcosa? Grazie davvero per l'aiuto!
Risposte
Continuo a non capirti, è proprio perché $\theta$ è l'angolo fra $\vec p$ e $\hat x$ che dovremo scrivere
$p_x=p\cos\theta$
$p_x=p\cos\theta$
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Se voglio trovare la componente x del vettore \(\displaystyle \overline{p} \) utilizzerò la relazione che vede \(\displaystyle p \) (ipotenusa) moltiplicata per il coseno dell'angolo compreso quindi:
\(\displaystyle \alpha \), ossia:\(\displaystyle p_{x} = p \cos{\alpha} \)
dove \(\displaystyle \alpha=\pi -\theta \), quindi per le regole degli archi associati:
\(\displaystyle \cos{\pi -\theta} = -\cos{\theta} \)
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Se voglio trovare la componente x del vettore \(\displaystyle \overline{p} \) utilizzerò la relazione che vede \(\displaystyle p \) (ipotenusa) moltiplicata per il coseno dell'angolo compreso quindi:
\(\displaystyle \alpha \), ossia:\(\displaystyle p_{x} = p \cos{\alpha} \)
dove \(\displaystyle \alpha=\pi -\theta \), quindi per le regole degli archi associati:
\(\displaystyle \cos{\pi -\theta} = -\cos{\theta} \)
Scusa ma per ottenere la componente di un vettore rispetto ad un certo asse non basta forse determinare il prodotto scalare fra il vettore e il versore associato a quell' asse? 
E ti chiedo: quanto risulterebbe numericamente la componente $p_x$ con la tua relazione?
E ti chiedo: quanto risulterebbe numericamente la componente $p_x$ con la tua relazione?
Non vedo comunque dove sta l'errore nel mio ragionamento visto che è basato su semplice trigonometria, perdonami ma non riesco a vedere cosa c'è che non vada.
Sai cosa c'è che non va? ... che in quel modo stai determinando la componente lungo l'asse opposto, ovvero l'asse -x.
La componente lungo l'asse x del vettore $\vec p$ deve essere negativa, non positiva, non credi?
La componente lungo l'asse x del vettore $\vec p$ deve essere negativa, non positiva, non credi?
Hai perfettamente ragione! Non lo stavo proprio vedendo!
Tornando comunque al calcolo del campo, mi ritovo in questa situazione:
DIPOLO REALE
\(\displaystyle \overline{p} = \overline{p}_{x} + \overline{p}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({-d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p} \cdot \hat{r'})\cdot \hat{r'} - \overline{p}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'} \cdot \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3p\cos{\theta}\hat{i} - 3p\sin{\theta}\hat{j} - p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] = {2p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\cos{\theta}\hat{i} -\sin{\theta}\hat{j}]\)
Nel punto occupato dal dipolo reale (+d;0;0) si avrà il campo:
\(\displaystyle \overline{E}_{dr} = {p \over 2\pi \epsilon_{0} d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} -\sin{\theta}\hat{j}]\)
DIPOLO IMMAGINE
\(\displaystyle \overline{p'} = \overline{p'}_{x} + \overline{p'}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({+d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
Dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p'} \cdot \hat{r'})\cdot \hat{r'} - \overline{p'}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'} \cdot \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} - p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[2p\cos{\theta}\hat{i} + 2p\sin{\theta} \hat{j}] ={p \over 2\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\cos{\theta}\hat{i} + \sin{\theta} \hat{j}] \)
Nel punto occupato dal dipolo immagine (-d;0;0) :
\(\displaystyle \overline{E}_{di} ={1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[2p\cos{\theta}\hat{i} + 2p\sin{\theta} \hat{j}] ={p \over 2\pi \epsilon_{0}d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} + \sin{\theta} \hat{j}] \)
Ora sommerei i due contributi \(\displaystyle \overline{E}_{dr} \) e \(\displaystyle \overline{E}_{di} \) per determinare il contributo al campo elettrico totale dovuto allo specchiarsi del dipolo:
\(\displaystyle \overline{E}_{d} =\overline{E}_{dr} + \overline{E}_{di} = {p \over 2\pi \epsilon_{0} d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} - \sin{\theta} \hat{j}] +{p \over 2\pi \epsilon_{0}d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} + \sin{\theta} \hat{j}] ={p \cos{\theta} \hat{i} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} \)
Quindi il campo \(\displaystyle \overline{E}_{d} \) va sommato a quello precedentemente calcolato (ossia quello con la sola carica posta davanti al piano conduttore) per determinare il campo totale nello spazio.
Sto sbagliando qualcosa?
Tornando comunque al calcolo del campo, mi ritovo in questa situazione:
DIPOLO REALE
\(\displaystyle \overline{p} = \overline{p}_{x} + \overline{p}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({-d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p} \cdot \hat{r'})\cdot \hat{r'} - \overline{p}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'} \cdot \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3p\cos{\theta}\hat{i} - 3p\sin{\theta}\hat{j} - p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] = {2p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\cos{\theta}\hat{i} -\sin{\theta}\hat{j}]\)
Nel punto occupato dal dipolo reale (+d;0;0) si avrà il campo:
\(\displaystyle \overline{E}_{dr} = {p \over 2\pi \epsilon_{0} d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} -\sin{\theta}\hat{j}]\)
DIPOLO IMMAGINE
\(\displaystyle \overline{p'} = \overline{p'}_{x} + \overline{p'}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({+d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
Dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p'} \cdot \hat{r'})\cdot \hat{r'} - \overline{p'}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'} \cdot \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} - p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[2p\cos{\theta}\hat{i} + 2p\sin{\theta} \hat{j}] ={p \over 2\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\cos{\theta}\hat{i} + \sin{\theta} \hat{j}] \)
Nel punto occupato dal dipolo immagine (-d;0;0) :
\(\displaystyle \overline{E}_{di} ={1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[2p\cos{\theta}\hat{i} + 2p\sin{\theta} \hat{j}] ={p \over 2\pi \epsilon_{0}d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} + \sin{\theta} \hat{j}] \)
Ora sommerei i due contributi \(\displaystyle \overline{E}_{dr} \) e \(\displaystyle \overline{E}_{di} \) per determinare il contributo al campo elettrico totale dovuto allo specchiarsi del dipolo:
\(\displaystyle \overline{E}_{d} =\overline{E}_{dr} + \overline{E}_{di} = {p \over 2\pi \epsilon_{0} d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} - \sin{\theta} \hat{j}] +{p \over 2\pi \epsilon_{0}d^{3}}[\cos{\theta}\hat{i} + \sin{\theta} \hat{j}] ={p \cos{\theta} \hat{i} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} \)
Quindi il campo \(\displaystyle \overline{E}_{d} \) va sommato a quello precedentemente calcolato (ossia quello con la sola carica posta davanti al piano conduttore) per determinare il campo totale nello spazio.
Sto sbagliando qualcosa?
"Cosmoi":
...
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p} \cdot \hat{r'})\cdot \hat{r'} - \overline{p}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'} \cdot \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3p\cos{\theta}\hat{i} - 3p\sin{\theta}\hat{j} - p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] \) ...
Sto sbagliando qualcosa?
Direi che sbagli in questo passaggio, ovvero interpreti male quei \cdot.
Di \cdot dovrebbe essercene uno solo
\(\displaystyle \vec{E} ={1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^3} [ 3(\vec{p}\cdot \hat{r}' )\ \hat{r}' -{\vec{p}}) ]\)
Non capisco poi perché vai a particolarizzare i due campi in entrambi i punti occupati dai due dipoli, e tantomento come puoi pensare di sommarli.
Sì, hai ragione stavo interpretando male i prodotti scalari, dove ne compare in realtà solo uno: la presenza del secondo versore \(\displaystyle \hat{r'} \) è per rendere il risultato del prodotto scalare un vettore di modo da potervi sottrarre dopo il vettore \(\displaystyle \overline{p} \). Rifacendo i calcoli:
DIPOLO REALE
\(\displaystyle \overline{p} = \overline{p}_{x} + \overline{p}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({-d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p} \cdot \hat{r'}) \hat{r'} - \overline{p}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'}) \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[(({-3pd\cos{\theta} \over (d^{2}+y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} - {3p\sin{\theta}y \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}})\hat{r'} - p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[({+d^{2}p\cos{\theta}\hat{i} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{3pdy\sin{\theta}\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}-{3pd\cos{\theta}y\hat{j} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} - {3p\sin{\theta}y^{2} \hat{j} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} -{3pd\cos{\theta} z \hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} -{3p\sin{\theta}yz\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} - p\cos{\theta} \hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j}]\)
Sinceramente mi trovo bloccato qua con il calcolo.
DIPOLO REALE
\(\displaystyle \overline{p} = \overline{p}_{x} + \overline{p}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({-d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p} \cdot \hat{r'}) \hat{r'} - \overline{p}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'}) \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[(({-3pd\cos{\theta} \over (d^{2}+y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} - {3p\sin{\theta}y \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}})\hat{r'} - p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[({+d^{2}p\cos{\theta}\hat{i} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{3pdy\sin{\theta}\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}-{3pd\cos{\theta}y\hat{j} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} - {3p\sin{\theta}y^{2} \hat{j} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} -{3pd\cos{\theta} z \hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} -{3p\sin{\theta}yz\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} - p\cos{\theta} \hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j}]\)
Sinceramente mi trovo bloccato qua con il calcolo.
Per far prima, non commento i tuoi passaggi ma ti dico come la vedrei sinteticamente io.
Abbreviando la scrittura con soli cos e sin e senza andare a scomodare i versori assiali:
i) per il campo del dipolo reale sul piano yz
$\vec p=(p\cos, -p \sin,0)$
$\vec r=(-d,y,z)$
$\vec Er=\frac{3k}{r^5}(\vec p\cdot \vec r)\vec r-\frac{k}{r^3}\ \vec p$
$\vec Er==-\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(-d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p$
ii) per il dipolo immagine
$\vec p'=(p\cos, p \sin,0)$
$\vec r=(d,y,z)$
$\vec E_i=\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p'$
e quindi, via semplice somma dei due contributi avrai che il campo totale sul piano yz, relativo al contributo del dipolo sarà ...
Lascio a te completare.
BTW Cosa ti attendi, in particolare, da questa somma?
Abbreviando la scrittura con soli cos e sin e senza andare a scomodare i versori assiali:
i) per il campo del dipolo reale sul piano yz
$\vec p=(p\cos, -p \sin,0)$
$\vec r=(-d,y,z)$
$\vec Er=\frac{3k}{r^5}(\vec p\cdot \vec r)\vec r-\frac{k}{r^3}\ \vec p$
$\vec Er==-\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(-d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p$
ii) per il dipolo immagine
$\vec p'=(p\cos, p \sin,0)$
$\vec r=(d,y,z)$
$\vec E_i=\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p'$
e quindi, via semplice somma dei due contributi avrai che il campo totale sul piano yz, relativo al contributo del dipolo sarà ...
Lascio a te completare.
BTW Cosa ti attendi, in particolare, da questa somma?
DIPOLO REALE
\(\displaystyle \overline{p} = \overline{p}_{x} + \overline{p}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({-d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p} \cdot \hat{r'}) \hat{r'} - \overline{p}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'}) \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[(({-3pd\cos{\theta} \over (d^{2}+y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} - {3p\sin{\theta}y \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}})\hat{r'} - p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+3d^{2}p\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{3pdy\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})})+\hat{j}(-{3pd\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} - {3p\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}) +\hat{k}(-{3pd\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} -{3p\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) - p\cos{\theta} \hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j}]\)
DIPOLO IMMAGINE
\(\displaystyle \overline{p'} = \overline{p'}_{x} + \overline{p'}_{y} = p\cos{\theta}\hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r'} =\overline{r} - \overline{r}_{p} = (+d\hat{i};y\hat{j}; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({+d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
\(\displaystyle \overline{E}_{i} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p'} \cdot \hat{r'}) \hat{r'} - \overline{p'}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'}) \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} - p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[(({3pd\cos{\theta} \over (d^{2}+y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} + {3p\sin{\theta}y \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}})\hat{r'} - p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta}\hat{j}] = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+3d^{2}p\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{3pdy\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})})+\hat{j}({3pd\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} + {3p\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}) +\hat{k}({3pd\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} +{3p\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) - p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j}]\)
Sommando i due contributi si ha:
\(\displaystyle \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}+{+d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})})+\hat{j}(-{d\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} - {\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}+{d\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} + {\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}) +\hat{k}(-{d\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} -{\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}+{d\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} +{\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) - {\cos{\theta} \hat{i} \over 3} +{\sin{\theta}\hat{j}\over 3}-{\cos{\theta}\hat{i} \over 3} - {\sin{\theta}\hat{j} \over 3}]\) \)
\(\displaystyle \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] \)
Ottengo quindi che il campo risultante è diretto lungo l'asse x. Ora, se il campo calcolato è giusto, va sommato a quello precedentemente ottenuto con la presenza della sola carica Q. Giusto?
\(\displaystyle \overline{p} = \overline{p}_{x} + \overline{p}_{y} = p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r} = (0\hat{i};y \hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r}_{p} = (+d\hat{i}; 0\hat{j} ; 0\hat{k}) \)
\(\displaystyle \overline{r'} = \overline{r} -\overline{r}_{p} = (-d\hat{i}; y\hat{j} ; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({-d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
dunque:
\(\displaystyle \overline{E} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p} \cdot \hat{r'}) \hat{r'} - \overline{p}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'}) \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[(({-3pd\cos{\theta} \over (d^{2}+y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} - {3p\sin{\theta}y \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}})\hat{r'} - p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta}\hat{j}] = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+3d^{2}p\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{3pdy\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})})+\hat{j}(-{3pd\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} - {3p\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}) +\hat{k}(-{3pd\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} -{3p\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) - p\cos{\theta} \hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j}]\)
DIPOLO IMMAGINE
\(\displaystyle \overline{p'} = \overline{p'}_{x} + \overline{p'}_{y} = p\cos{\theta}\hat{i} +p\sin{\theta}\hat{j} \)
\(\displaystyle \overline{r'} =\overline{r} - \overline{r}_{p} = (+d\hat{i};y\hat{j}; z\hat{k}) \)
\(\displaystyle \hat{r'} = {\overline{r'} \over |\overline{r'}|} =({+d\hat{i} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ; {y\hat{j} \over (d^{2} +y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} ;{z\hat{k} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}) \)
\(\displaystyle \overline{E}_{i} = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} r'^{3}}[3(\overline{p'} \cdot \hat{r'}) \hat{r'} - \overline{p'}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[3(p\cos{\theta}\hat{i} + p\sin{\theta} \hat{j})\cdot \hat{r'}) \hat{r'} - p\cos{\theta} \hat{i} - p\sin{\theta}\hat{j}] =\)
\(\displaystyle = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[(({3pd\cos{\theta} \over (d^{2}+y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} + {3p\sin{\theta}y \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}})\hat{r'} - p\cos{\theta}\hat{i} - p\sin{\theta}\hat{j}] = {1 \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+3d^{2}p\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{3pdy\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})})+\hat{j}({3pd\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} + {3p\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}) +\hat{k}({3pd\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} +{3p\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) - p\cos{\theta} \hat{i} -p\sin{\theta}\hat{j}]\)
Sommando i due contributi si ha:
\(\displaystyle \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}+{+d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})})+\hat{j}(-{d\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} - {\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}+{d\cos{\theta}y \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} + {\sin{\theta}y^{2} \over (d^{2}+y^{2}+z^{2})}) +\hat{k}(-{d\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} -{\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}+{d\cos{\theta} z \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})} +{\sin{\theta}yz \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) - {\cos{\theta} \hat{i} \over 3} +{\sin{\theta}\hat{j}\over 3}-{\cos{\theta}\hat{i} \over 3} - {\sin{\theta}\hat{j} \over 3}]\) \)
\(\displaystyle \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] \)
Ottengo quindi che il campo risultante è diretto lungo l'asse x. Ora, se il campo calcolato è giusto, va sommato a quello precedentemente ottenuto con la presenza della sola carica Q. Giusto?
Non capisco perché espandere subito in quel modo (con quella vagonata di codice) quando, a partire da
$\vec Er==-\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(-d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p$
$\vec E_i=\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p'$
semplicemente notando che sia nella somma dei due primi termini, sia nella somma dei secondi (visto che $\vec p+\vec p'=(2p\cos\theta,0,0)$), l'unica componente non nulla è rappresentata da quella lungo l'asse x, potevi direttamente scrivere
$\vec E=(\frac{6pkd}{r^5}(d\cos\theta+y\sin\theta) -\frac{2kp}{r^3}\ \cos\theta, 0 ,0)$
e solo successivamente, volendo, esplicitare $k$ e $r$, come passaggio finale.
Ad ogni modo ok.
Sì, questo contributo, va sommato a quello della carica.
$\vec Er==-\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(-d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p$
$\vec E_i=\frac{3pk}{r^5}(d\cos+y\sin)(d,y,z) -\frac{k}{r^3}\ \vec p'$
semplicemente notando che sia nella somma dei due primi termini, sia nella somma dei secondi (visto che $\vec p+\vec p'=(2p\cos\theta,0,0)$), l'unica componente non nulla è rappresentata da quella lungo l'asse x, potevi direttamente scrivere
$\vec E=(\frac{6pkd}{r^5}(d\cos\theta+y\sin\theta) -\frac{2kp}{r^3}\ \cos\theta, 0 ,0)$
e solo successivamente, volendo, esplicitare $k$ e $r$, come passaggio finale.
Ad ogni modo ok.
Sì, questo contributo, va sommato a quello della carica.
Scusami, ma avevo bisogno di svolgere tutti i calcoli per vedere per bene. Proseguendo quindi si ha per il contributo al campo totale dovuto al dipolo che:
\(\displaystyle \overline{E}_{d} = \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i}= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] \)
Di conseguenza il campo elettrico totale della configurazione con dipolo elettrico rigido e carica \(\displaystyle +Q \) è dato da:
\(\displaystyle \overline{E}_{tot} = \overline{E}_{d} + \overline{E} = \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} +\overline{E}= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] + {Q \over 4\pi \epsilon_{0}} [\hat{i} ({(x+2d)\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { x-2d \over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}})+ \)
\(\displaystyle \hat{j}({y\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { y \over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}) + \)
\(\displaystyle \hat{k}({z\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { z\over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}] \)
Ora andrei a considerare il valore di tale campo nella posizione occupata dal dipolo e considerei le relazioni per il calcolo del momento e della forza risultante.
\(\displaystyle \overline{E}_{d} = \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i}= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] \)
Di conseguenza il campo elettrico totale della configurazione con dipolo elettrico rigido e carica \(\displaystyle +Q \) è dato da:
\(\displaystyle \overline{E}_{tot} = \overline{E}_{d} + \overline{E} = \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} +\overline{E}= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] + {Q \over 4\pi \epsilon_{0}} [\hat{i} ({(x+2d)\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { x-2d \over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}})+ \)
\(\displaystyle \hat{j}({y\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { y \over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}) + \)
\(\displaystyle \hat{k}({z\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { z\over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}] \)
Ora andrei a considerare il valore di tale campo nella posizione occupata dal dipolo e considerei le relazioni per il calcolo del momento e della forza risultante.
Il campo dovuto al dipolo, per semplificare, lo abbiamo determinato solo sul piano yz, vista la richiesta del problema, non in un generico punto dello spazio, di conseguenza dovrai sommarlo al campo dovuto alla carica particolarizzato per x=0.
Il campo nella posizione occupata dal dipolo andrei a calcolarlo separatamente.
BTW Non hai ancora risposto a una mia precedente domanda.
Il campo nella posizione occupata dal dipolo andrei a calcolarlo separatamente.
BTW Non hai ancora risposto a una mia precedente domanda.
Giusto, hai ragione. Il campo \(\displaystyle \overline{E}_{d} \) è stato calcolato per un generico punto appartenente al piano conduttore \(\displaystyle P = (0;y;z) \), quindi devo sommarvi il campo della carica calcolato sempre nel medesimo punto, dunque:
\(\displaystyle \overline{E}_{tot} = \overline{E}_{d}(P) + \overline{E}(P) \)
\(\displaystyle = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} [\hat{i}({2d^{2} \cos{\theta} \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})} +{yd \sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3}\cos{\theta} \hat{i}] + {Qd \hat{i} \over \pi \epsilon_{0} (4d^{2} + y^{2} +z^{2})^{{3\over 2}}} \)
A questo punto ragionerei così: sappiamo che le relazioni per determinare la forza risultante agente sul dipolo e il momento risultante sono:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E}_{tot} \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{E} = -\overline{p} \times \overline{E}_{tot} \)
La mia domanda è: il valore del campo \(\displaystyle \overline{E}_{tot} \) da utilizzare nelle relazioni quale è? Quello che assume nella posizione del dipolo rigido, ossia nel punto \(\displaystyle (d;0;0) \)?
\(\displaystyle \overline{E}_{tot} = \overline{E}_{d}(P) + \overline{E}(P) \)
\(\displaystyle = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} [\hat{i}({2d^{2} \cos{\theta} \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})} +{yd \sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3}\cos{\theta} \hat{i}] + {Qd \hat{i} \over \pi \epsilon_{0} (4d^{2} + y^{2} +z^{2})^{{3\over 2}}} \)
A questo punto ragionerei così: sappiamo che le relazioni per determinare la forza risultante agente sul dipolo e il momento risultante sono:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E}_{tot} \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{E} = -\overline{p} \times \overline{E}_{tot} \)
La mia domanda è: il valore del campo \(\displaystyle \overline{E}_{tot} \) da utilizzare nelle relazioni quale è? Quello che assume nella posizione del dipolo rigido, ossia nel punto \(\displaystyle (d;0;0) \)?
Scusa ma, visto che con $\vecE_{t ot}$ indichiamo il campo sul piano, non puoi di certo usarlo per determinare il campo in un punto che si trova fuori dal piano stesso, non credi?
Ovviamente, il campo che dovremo usare per determinare forza e momento sul dipolo reale sarà quello risultante nel punto P=(d,0,0) occupato dal dipolo reale, dovuto alla somma vettoriale dei contributi: della carica +Q, della sua immagine -Q e del dipolo immagine $\vec p'$.
BTW Relativamente alla tua relazione per il campo totale, occhio agli errori di battitura e ai segni.
Ovviamente, il campo che dovremo usare per determinare forza e momento sul dipolo reale sarà quello risultante nel punto P=(d,0,0) occupato dal dipolo reale, dovuto alla somma vettoriale dei contributi: della carica +Q, della sua immagine -Q e del dipolo immagine $\vec p'$.
BTW Relativamente alla tua relazione per il campo totale, occhio agli errori di battitura e ai segni.
Scusami, mi sono espresso male. Il campo da considerare nelle relazioni del dipolo è quindi il campo \(\displaystyle \overline{E}_{tot} \) calcolato nel punto di coordinate \(\displaystyle P'=(+d;0;0) \). Ottengo allora:
\(\displaystyle \overline{E}_{tot}(P') = ({p \cos{\theta} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} + {Q \over 3\pi \epsilon_{0}d^{2}}) \hat{i} \)
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E}_{tot}(P') \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{M} = \overline{p} \times \overline{E}_{tot}(P') \)
Procedendo:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}( ({p^{2} \cos^{2}{\theta} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} + {Qp \cos{\theta} \over 3\pi \epsilon_{0}d^{2}}) =0 \)
\(\displaystyle \overline{M} = E_{tot}(P') p \sin{\theta} \hat{j} = \hat{j}({p^{2} \cos{\theta}\sin{\theta} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} + {Qp \sin{\theta} \over 3\pi \epsilon_{0}d^{2}}) \)
giusto?
\(\displaystyle \overline{E}_{tot}(P') = ({p \cos{\theta} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} + {Q \over 3\pi \epsilon_{0}d^{2}}) \hat{i} \)
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E}_{tot}(P') \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{M} = \overline{p} \times \overline{E}_{tot}(P') \)
Procedendo:
\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}( ({p^{2} \cos^{2}{\theta} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} + {Qp \cos{\theta} \over 3\pi \epsilon_{0}d^{2}}) =0 \)
\(\displaystyle \overline{M} = E_{tot}(P') p \sin{\theta} \hat{j} = \hat{j}({p^{2} \cos{\theta}\sin{\theta} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} + {Qp \sin{\theta} \over 3\pi \epsilon_{0}d^{2}}) \)
giusto?
"Cosmoi":
... Ottengo allora:
\(\displaystyle \overline{E}_{tot}(P') = ({p \cos{\theta} \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} + {Q \over 3\pi \epsilon_{0}d^{2}}) \hat{i} \)
Da dove arriva?
-------------------------------------
PS: Per accelerare il discorso, direi che il contributo al campo in P' del dipolo immagine (come indicavo nei miei primi post sul thread), sia
$\vec E_d(P')=(\frac{ p \cos \theta }{16\pi \epsilon_0 d^3},- \frac{p \sin \theta }{32\pi \epsilon_0 d^3} , 0 )$
mentre, per quanto riguarda il campo relativo alle due cariche, semplicemente
$\vec E_Q(P')=(- kQ (1/d^2+1/(9d^2)), 0, 0)$
Allora ti ringrazio per la pazienza anzitutto. Per quanto riguarda il campo che ho scritto è il campo totale (contributo dipolo + contributo carica) calcolato nella posizione occupata dal dipolo reale \(\displaystyle P'=(+d;0;0) \):
\(\displaystyle \overline{E}_{tot} = \overline{E}_{d} + \overline{E} = \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} +\overline{E}= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] + {Q \over 4\pi \epsilon_{0}} [\hat{i} ({(x+2d)\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { x-2d \over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}})+ \)
\(\displaystyle \hat{j}({y\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { y \over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}) + \)
\(\displaystyle \hat{k}({z\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { z\over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}] \)
\(\displaystyle \overline{E}_{tot}(P') = \overline{E}_{d}(P') + \overline{E}_{Q}(P') = \overline{E}_{r}(P') + \overline{E}_{i}(P') +\overline{E}_{Q}(P')= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+0^{2}+0^{2})} +{2(0)d\sin{\theta} \over (d^{2} + 0^{2} + 0^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] + {Q \over 4\pi \epsilon_{0}} [\hat{i} ({(d+2d)\over ((d+2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}} - { d-2d \over ((d-2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}})+ \)
\(\displaystyle \hat{j}({(0)\over ((d+2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}} - {(0) \over ((d-2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}}) + \)
\(\displaystyle \hat{k}({(0)\over ((d+2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}} - { (0)\over ((d-2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}}] \)
\(\displaystyle \overline{E}_{tot}(P') = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} d^{3}}[\hat{i}(2\cos{\theta}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] +{Q\over 4\pi\epsilon_{0}}[\hat{i}({3d \over (3d)^{3}} +{d \over (-d)^{3}})]= \)
\(\displaystyle ={p \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} \cos{\theta} \hat{i} + {Q \over 4 \pi \epsilon_{0}}[\hat{i}({8\over 9d^{2}})]= {1 \over \pi \epsilon_{0}d^{2}}[{p\cos{\theta} \over d} + {2Q \over 9}]\hat{i} \)
Spero di non aver sbagliato i calcoli.
\(\displaystyle \overline{E}_{tot} = \overline{E}_{d} + \overline{E} = \overline{E}_{r} + \overline{E}_{i} +\overline{E}= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+y^{2}+z^{2})} +{2yd\sin{\theta} \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] + {Q \over 4\pi \epsilon_{0}} [\hat{i} ({(x+2d)\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { x-2d \over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}})+ \)
\(\displaystyle \hat{j}({y\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { y \over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}) + \)
\(\displaystyle \hat{k}({z\over ((x+2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - { z\over ((x-2d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}] \)
\(\displaystyle \overline{E}_{tot}(P') = \overline{E}_{d}(P') + \overline{E}_{Q}(P') = \overline{E}_{r}(P') + \overline{E}_{i}(P') +\overline{E}_{Q}(P')= {3p \over 4\pi \epsilon_{0} (d^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}}[\hat{i}({+2d^{2}\cos{\theta}\over (d^{2}+0^{2}+0^{2})} +{2(0)d\sin{\theta} \over (d^{2} + 0^{2} + 0^{2})}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] + {Q \over 4\pi \epsilon_{0}} [\hat{i} ({(d+2d)\over ((d+2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}} - { d-2d \over ((d-2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}})+ \)
\(\displaystyle \hat{j}({(0)\over ((d+2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}} - {(0) \over ((d-2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}}) + \)
\(\displaystyle \hat{k}({(0)\over ((d+2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}} - { (0)\over ((d-2d)^{2} + 0^{2} + 0^{2})^{{3\over 2}}}] \)
\(\displaystyle \overline{E}_{tot}(P') = {3p \over 4\pi \epsilon_{0} d^{3}}[\hat{i}(2\cos{\theta}) -{2\over 3} \cos{\theta}\hat{i}] +{Q\over 4\pi\epsilon_{0}}[\hat{i}({3d \over (3d)^{3}} +{d \over (-d)^{3}})]= \)
\(\displaystyle ={p \over \pi \epsilon_{0} d^{3}} \cos{\theta} \hat{i} + {Q \over 4 \pi \epsilon_{0}}[\hat{i}({8\over 9d^{2}})]= {1 \over \pi \epsilon_{0}d^{2}}[{p\cos{\theta} \over d} + {2Q \over 9}]\hat{i} \)
Spero di non aver sbagliato i calcoli.
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