Capacità di un condensatore con dielettrico non omogeneo

[jacques_leen]

Riporto un esercizio che mi sta dando qualche difficoltà, nella speranza che qualcuno abbia un'idea di come risolverlo:

Un condensatore piano caratterizzato da $(S,d)$ superificie e distanza tra le armature rispettivamente, è riempito da un dielettrico la cui $\epsilon_r(x)= \frac{1}{1-\alpha x}$ con $\alpha$ costante. Si richiede di determinare le distribuzioni di carica di polarizzazione e la capacità del condensatore in questa configurazione

Per quanto riguarda le distribuzioni di carica di polarizzazione ho operato come segue

- Per quanto rigurda le $\sigma_p$ queste si ottengono calcolando il vettore polarizzazione $\vec{P}$ e estraendone il modulo
Quindi dalla relazione $\vec{D}= \frac{Q}{S}\hat{n}$ e da $\vec{P} = \frac{\epsilon_r -1}{\epsilon_r}\vec{D}$ posso sostituire con la formula per $\epsilon_r$ e ottengo $\sigma_p = \alpha x^2 \frac{Q}{S}$ con segno opportuno a seconda della faccia che considero del condensatore.

- La densità volumetrica $\rho_p$ si ricava dalla divergenza, cambiata di segno, di $\vec{P}$. Derivando rispetto a $x$ ho $\rho_p = -2\alpha x \frac{Q}{S}$.

A questo punto restano da determinare proprio la $Q$ sulle armature e la capacità... onestamente per dielettrici non omogenei brancolo nel buio.

[anonymous_0b37e9]

Per la capacità:

$[E=1/(\epsilon_0\epsilon_r)D] rarr [E=(1-\alphax)/\epsilon_0D] rarr$

$rarr [V=D/\epsilon_0\int_{0}^{d}(1-\alphax)dx=(d(2-\alphad)D)/(2\epsilon_0)] ^^ [Q=SD] rarr$

$rarr [C=Q/V=2/(2-\alphad)\epsilon_0S/d]$

Per la densità volumetrica delle cariche di polarizzazione:

$[P=(\epsilon_r-1)/\epsilon_rD] rarr [P=\alphaxD] rarr [P=(\alphaQ)/Sx] rarr [\rho_p=-(\alphaQ)/S]$

Per la densità superficiale delle cariche di polarizzazione:

$[\sigma_p(0)=0] ^^ [\sigma_p(d)=(\alphaQ)/Sd]$

Infatti, se il dielettrico è neutro:

$\rho_pSd+\sigma_p(0)S+\sigma_p(d)S=0$

[jacques_leen]

"anonymous_0b37e9":Per la capacità:

$[E=1/(\epsilon_0\epsilon_r)D] rarr [E=(1-\alphax)/\epsilon_0D] rarr$

$rarr [V=D/\epsilon_0\int_{0}^{d}(1-\alphax)dx=(d(2-\alphad)D)/(2\epsilon_0)] ^^ [Q=SD] rarr$

$rarr [C=Q/V=2/(2-\alphad)\epsilon_0S/d]$

Per la densità volumetrica delle cariche di polarizzazione:

$[P=(\epsilon_r-1)/\epsilon_rD] rarr [P=\alphaxD] rarr [P=(\alphaQ)/Sx] rarr [\rho_p=-(\alphaQ)/S]$

Per la densità superficiale delle cariche di polarizzazione:

$[\sigma_p(0)=0] ^^ [\sigma_p(d)=(\alphaQ)/Sd]$

Infatti, se il dielettrico è neutro:

$\rho_pSd+\sigma_p(0)S+\sigma_p(d)S=0$

grazie mille, mi mancava l'equivalenza $Q= S * D$