Capacità condensatore circuito RC
Ciao a tutti mi serve una vostra mano con un esercizio che non torna..
Un circuito rettangolare di lati $l = 20 cm$ e $d = 10 cm$ si muove con velocità costante $v_0 = 10 m/s$ nel piano e raggiunge una zona $A$ nella quale è presente un campo magnetico costante $B = 5 Tesla$ perpendicolare al piano . Una forza opportuna viene applicata al circuito quando entra nella zona interessata dal campo magnetico per cui il circuito continua a spostarsi con velocità costante $v_0$ anche nella zona A. Nel circuito è presente una resistenza $R=10 K\Omega$
ed un condensatore cilindrico di altezza d con armatura interna di raggio 1 cm ed armatura esterna distante 10 $\mu$ m da quella interna (ovvero $r_{EST} = r_{INT}+10\mu m$) inizialmente scarico. Tra le armature del condensatore è presente un dielettrico con costante relativa $\epsilon_R = 80$.
Nel primo punto mi chiede di calcolare il potenziale ai capi del condensatore quando il circuito ha percorso un tratto pari a l/2 nella zona interessata dal campo magnetico.
Allora l'idea dovrebbe essere questa:
1. Mi calcolo il flusso di B (niente di preoccupante dato che la velocità è costante, il campo è costante e conosco i lati del circuito): \[ \Phi_B=Bdv_0t\]
2. Mi trovo la F.E.M. indotta sapendo che equivale alla derivata prima in funzione del tempo del flusso cambiata di segno: \[ \epsilon=- d\Phi_b/dt = -Bdv_0 \]
3.Adesso il condensatore si caricherà attraverso la resistenza R secondo la soluzione dell'equazione differenziale ottenuta dalla legge di Kirkhoff per le tensioni di un condensatore: \[ Q(t)=\epsilon C (1-e^{-t/RC} ) \]
4. Calcolo il tempo necessario al circuito a precorrere un tratto l/2: \[ t_{l/2}=l/{2v_0} \]
5. Infine applico la definizione di capacità per calcolarmi il potenziale ai capi del condensatore: \[ C=Q/ \Delta V \Rightarrow \Delta V= Q/C= -Bdv_0(1-e^{-l/(2v_0RC)}) \]
Il problema è:
1. Come faccio a calcolare la capacità del condensatore cilindrico con dielettrico? Ho provato con $(2\pi \epsilon_0l)/ln(r_{EST}/r_{INT})$ ma non torna e non credo sia corretto perché cosi non tengo conto del dielettrico presente fra le armature.
Un circuito rettangolare di lati $l = 20 cm$ e $d = 10 cm$ si muove con velocità costante $v_0 = 10 m/s$ nel piano e raggiunge una zona $A$ nella quale è presente un campo magnetico costante $B = 5 Tesla$ perpendicolare al piano . Una forza opportuna viene applicata al circuito quando entra nella zona interessata dal campo magnetico per cui il circuito continua a spostarsi con velocità costante $v_0$ anche nella zona A. Nel circuito è presente una resistenza $R=10 K\Omega$
ed un condensatore cilindrico di altezza d con armatura interna di raggio 1 cm ed armatura esterna distante 10 $\mu$ m da quella interna (ovvero $r_{EST} = r_{INT}+10\mu m$) inizialmente scarico. Tra le armature del condensatore è presente un dielettrico con costante relativa $\epsilon_R = 80$.
Nel primo punto mi chiede di calcolare il potenziale ai capi del condensatore quando il circuito ha percorso un tratto pari a l/2 nella zona interessata dal campo magnetico.
Allora l'idea dovrebbe essere questa:
1. Mi calcolo il flusso di B (niente di preoccupante dato che la velocità è costante, il campo è costante e conosco i lati del circuito): \[ \Phi_B=Bdv_0t\]
2. Mi trovo la F.E.M. indotta sapendo che equivale alla derivata prima in funzione del tempo del flusso cambiata di segno: \[ \epsilon=- d\Phi_b/dt = -Bdv_0 \]
3.Adesso il condensatore si caricherà attraverso la resistenza R secondo la soluzione dell'equazione differenziale ottenuta dalla legge di Kirkhoff per le tensioni di un condensatore: \[ Q(t)=\epsilon C (1-e^{-t/RC} ) \]
4. Calcolo il tempo necessario al circuito a precorrere un tratto l/2: \[ t_{l/2}=l/{2v_0} \]
5. Infine applico la definizione di capacità per calcolarmi il potenziale ai capi del condensatore: \[ C=Q/ \Delta V \Rightarrow \Delta V= Q/C= -Bdv_0(1-e^{-l/(2v_0RC)}) \]
Il problema è:
1. Come faccio a calcolare la capacità del condensatore cilindrico con dielettrico? Ho provato con $(2\pi \epsilon_0l)/ln(r_{EST}/r_{INT})$ ma non torna e non credo sia corretto perché cosi non tengo conto del dielettrico presente fra le armature.
Risposte
"Bob95":
1. Come faccio a calcolare la capacità del condensatore cilindrico con dielettrico? Ho provato con $(2\pi \epsilon_0l)/ln(r_{EST}/r_{INT})$ ma non torna e non credo sia corretto perché cosi non tengo conto del dielettrico presente fra le armature.
Basta che moltiplichi per $epsi_r$...
Intanto grazie per la risposta mgrau... Ho gia provato a calcolare la capacità con dielettrico con $ C=(2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r l) /ln(r_{EST}/r_{INT})$ ma non torna il risultato...
A occhio mi sembra che hai fatto bene... Cosa dovrebbe venire?
Sfortunatamente nella soluzione non mi viene dato il valore della capacità ma soltanto il potenziale $\Delta V=4.47 V $
Prova a riportare i tuoi conti. Magari è una cosa da nulla...
Ok allora... \[ C=(2\pi \epsilon_0 \epsilon_r l)/ln(r_{EST}/r_{INT})= (2\pi 8,8541*10^{-12}*80*0.2)/(ln(0.01+10*10^{-6}/0.01)=8,90*10^{-7} F \]
\[\Delta V= -BdV_0(1-e^{-l/(2v_0RC)}) =-5*0.1*10*(1-e^{-0,2/(2*10*10*10^3*8.90*10^{-7})})=-3.37V \]
\[\Delta V= -BdV_0(1-e^{-l/(2v_0RC)}) =-5*0.1*10*(1-e^{-0,2/(2*10*10*10^3*8.90*10^{-7})})=-3.37V \]
Mi sembra giusto...
Ma non torna.. e non capisco dove posso aver sbagliato e come far venire ΔV = 4.47 V 
"Bob95":
... e non capisco dove posso aver sbagliato ...
Il condensatore cilindrico ha altezza $d$ non $l$.
Grazie mille RenzoDF stavo impazzendo... ho solo un dubbio... adesso viene ΔV = -4,47 v nella soluzione mi da la differenza di potenziale positiva perché ne considera il modulo o il segno cambia tutto?
Perché non ha senso parlare di segno senza aver prima fissato una convenzione per la differenza di potenziale.
ok grazie ancora! 
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