Campo magnetico toroide
Ciao, sto svolgendo il seguente problema e volevo una conferma sul procedimento adoperato. Il testo è:
Un toroide è costituito da un cilindro cavo di raggi A e B rispettivamente interno ed esterno ed è percorso da una corrente variabile $ i(r)=2/r A/m^2 $. Calcolare il campo di induzione magnetica $ B(r) $ in funzione della distanza.
In accordo con il teorema di Ampere, si ha $ oint_() B*ds=B*2pir=mu_0i(r) $. Dunque $ B(r)=mu_0/pi int_(r_A)^(r_B) 1/r^2 dr =mu_0/pi(1/r_A-1/r_B) $.
Sono un po' dubbioso su quanto ho scritto perché mi sembra di aver tralasciato qualcosa. Grazie per il consiglio!
Un toroide è costituito da un cilindro cavo di raggi A e B rispettivamente interno ed esterno ed è percorso da una corrente variabile $ i(r)=2/r A/m^2 $. Calcolare il campo di induzione magnetica $ B(r) $ in funzione della distanza.
In accordo con il teorema di Ampere, si ha $ oint_() B*ds=B*2pir=mu_0i(r) $. Dunque $ B(r)=mu_0/pi int_(r_A)^(r_B) 1/r^2 dr =mu_0/pi(1/r_A-1/r_B) $.
Sono un po' dubbioso su quanto ho scritto perché mi sembra di aver tralasciato qualcosa. Grazie per il consiglio!
Risposte
Si, direi che hai tralasciato di considerare che esistono tre diverse distinte regioni, mentre tu ne hai considerata una soltanto, occhio poi alla funzione che vai ad integrare, la grandezza che ti serve è la corrente $I(r)$ circolante fra il raggio interno $r_a$ e il generico raggio $r$, non la confondere con la $i(r)$ che ti è stata fornita, che in realtà non è una corrente ma una densità superficiale di corrente.
Ok, non ci avevo proprio fatto caso. Per ottenere la corrente dovrei fare così: $ I(r)=int_(r_A)^(r) 2/r pir^2 dr =pi(r^2-(r_A)^2) $, giusto? Grazie per la risposta?
"Robert96":
... è percorso da una corrente variabile $ i(r)=2/r A/m^2 $.
Vedo che hai modificato l'unità di misura da $A/m$ a $A/m^2$, e quindi ti chiedo se è possibile vedere il testo originale.
x
Ho modificato lì perché mi sono accorto che avevo trascritto male. Il testo dell'esercizio è questo, se non per l'ultima richiesta che è quella di disegnare il grafico che rappresenta l'andamento del campo magnetico.
Ok, allora scusami ripartiamo da zero, ho capito male io 
, la corrente infinitesima $dI$ da integrare fra $r_a$ e $r$, per ricavare la $I(r)$ complessivamente concatenata con il cerchio di raggio $r$, è quella circolante nella corona circolare di generico raggio $r_a\le r'\le r$ e di spessore $dr'$,
$(\frac{2}{r'}) 2\pir' dr'$
dove ora la densità di corrente $ \frac{2}{r'}$ è quella volumetrica classica [nota]La densità superficiale sta in quel 2 che ovviamente ha come unità di misura $A/m$.[/nota] in $A/m^2$; probabilmente sentendo parlare di toroide, ho inteso male il verso della corrente e ho preso "fischi per fiaschi", sai l'età oramai è quella che è!
Lascio a te i dettagli risolutivi finali, noi attendiamo il risultato per i campi B(r) nelle tre regioni, disegno compreso.
, la corrente infinitesima $dI$ da integrare fra $r_a$ e $r$, per ricavare la $I(r)$ complessivamente concatenata con il cerchio di raggio $r$, è quella circolante nella corona circolare di generico raggio $r_a\le r'\le r$ e di spessore $dr'$,$(\frac{2}{r'}) 2\pir' dr'$
dove ora la densità di corrente $ \frac{2}{r'}$ è quella volumetrica classica [nota]La densità superficiale sta in quel 2 che ovviamente ha come unità di misura $A/m$.[/nota] in $A/m^2$; probabilmente sentendo parlare di toroide, ho inteso male il verso della corrente e ho preso "fischi per fiaschi", sai l'età oramai è quella che è!
Lascio a te i dettagli risolutivi finali, noi attendiamo il risultato per i campi B(r) nelle tre regioni, disegno compreso.
Grazie per la risposta. Quello che principalmente non mi è chiaro è come scorra la corrente all'interno del toroide. Dicendo "cilindro cavo", la traccia mi porta a pensare che la direzione sia quella verticale. Immaginando però la figura di un toroide, sono spinto a credere che la corrente circoli descrivendo appunto una corona circolare. Se è come nel primo caso, scrivo qui un possibile svolgimento, ma ancora non sono sicuro della sua validità.
Per ottenere la corrente circolante tra $ r_a $ e $ r $: $ I(r)=int_(r_a)^(r) 2/r2pir dr= 4pi(r-r_A) $
Ora, per $ r
Ti sarei grato se potessi confermare o comunque dirmi cosa sbaglio nel mio ragionamento perché ho difficoltà a interpretare quello che la traccia chiede.
Per ottenere la corrente circolante tra $ r_a $ e $ r $: $ I(r)=int_(r_a)^(r) 2/r2pir dr= 4pi(r-r_A) $
Ora, per $ r
Ti sarei grato se potessi confermare o comunque dirmi cosa sbaglio nel mio ragionamento perché ho difficoltà a interpretare quello che la traccia chiede.
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