Campo magnetico su circuito quadrato
Ho il seguente problema di fisica 2:
Un circuito quadrato con lato l è percorso da una corrente stazionaria I.
Calcolare il campo magnetostatico sull'asse z perpendicolare al piano del circuito e passante per il suo centro.
Calcolare il campo in un punto distante r dal centro della spira e tale che [formule]|r|>>l[/formule].
Cosa cambierebbe se la corrente non fosse costante?
Io ho impostato il problema considerando un filo rettilineo persorso da corrente lungo l, e che genera un campo magnetico ad esso perpendicolare. Non so però come impostare il problema per calcolare il compo lungo z.
Un circuito quadrato con lato l è percorso da una corrente stazionaria I.
Calcolare il campo magnetostatico sull'asse z perpendicolare al piano del circuito e passante per il suo centro.
Calcolare il campo in un punto distante r dal centro della spira e tale che [formule]|r|>>l[/formule].
Cosa cambierebbe se la corrente non fosse costante?
Io ho impostato il problema considerando un filo rettilineo persorso da corrente lungo l, e che genera un campo magnetico ad esso perpendicolare. Non so però come impostare il problema per calcolare il compo lungo z.
Risposte
Per il primo punto prova a dare un occhio a questo vecchio thread
viewtopic.php?f=19&p=907282#p907149
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non si capisce la relazione che hai scritto, riesci a riformattarla?
Puoi usare la legge di Biot come suggerito o dedurne il campo B usando la legge di sovraposizione e calcolare B per un filo singolo usando Ampere, Se cambia I cambia B e quindi dB/dt è non nullo, dai un occhiata alle leggi di Maxwell per vedere cosa implica
Puoi usare la legge di Biot come suggerito o dedurne il campo B usando la legge di sovraposizione e calcolare B per un filo singolo usando Ampere, Se cambia I cambia B e quindi dB/dt è non nullo, dai un occhiata alle leggi di Maxwell per vedere cosa implica
Al secondo quesito mi chiede: Calcolare il campo in un punto distante r dal centro della spira e tale che il modulo di r sia molto maggiore di l. Non so perchè ma mi da' errore se lo scrivo con le formule.
Il resto è tutto testuale.
Il resto è tutto testuale.
ok, significa che trovata la formula, puoi approssimarla tenendo conto di quella condizione...esempio: se trovi un termine (l/r) puoi ignorarlo. Dicci se riesci a venirne a capo, in caso ti postiamo uno svolgimento!
"TonyCOD":
... trovata la formula, puoi approssimarla tenendo conto di quella condizione...
Visto che la condizione è $|r|\ \text{>>} \ l$ e non $|z|\ \text{>>} \ l$, la formula può servire solo per la componente del campo lungo $z$ e quindi non è sufficiente per rispondere alla domanda
"TonyCOD":
... se trovi un termine (l/r) puoi ignorarlo.
Sull' "ignorare" un termine inversamente proporzionale a $r$ ci andrei cauto, in quanto mi sa che il campo a grandi distanze risulterà inversamente proporzionale a $r$ per potenze ben superiori al primo grado (direi come minimo al terzo).
ops, si...mi sa che sono andato un po troppo "a memoria" ed ho scritto una cavolata! dici che il punto secondo del problema sia in fondo di assumere il loop come dipolo magnetico?
Proprio così! 
Tramite Biot ho impostato l'integrale, da cui ho ottenuto:
$ (mu 0IL)/(2pi)int_(0)^(L/2) (dx )/((z^2+L^2/4+x^2)^(3/2) $
Però non mi trovo, in quanto al centro della spira (z=0) dovrebbe risultare, con certezza perchè l'ho fatto:
$ (2mu 0Isqrt2)/(piL) $
invece nella prima, azzerando z, mi viene:
$ ((2-sqrt2)mu 0IL^2)/(4pi) $
$ (mu 0IL)/(2pi)int_(0)^(L/2) (dx )/((z^2+L^2/4+x^2)^(3/2) $
Però non mi trovo, in quanto al centro della spira (z=0) dovrebbe risultare, con certezza perchè l'ho fatto:
$ (2mu 0Isqrt2)/(piL) $
invece nella prima, azzerando z, mi viene:
$ ((2-sqrt2)mu 0IL^2)/(4pi) $
"giove1978":
... Però non mi trovo ...
Non capisco come tu riesca a trovare quel risultato, quell'integrale per il calcolo della componente del campo lungo z
$B_z= (\mu_0IL)/(2pi)int_(-L/2)^(+L/2) (dx )/((z^2+L^2/4+x^2)^(3/2) $
porta proprio alla relazione da te attesa, infatti integrando risulta
$B_z=\frac{\mu_0IL^2}{2\pi (z^2+\frac{L^2}{4} ) \sqrt{z^2+\frac{L^2}{2}}}$
e di conseguenza per $|z|\ \text{<<} \ L$ (e quindi anche per $z=0$), avremo che il campo potrà essere approssimato come segue
$B_z\approx \frac{\mu_0IL^2}{ 2\pi\frac{L^2}{4}\frac{L}{\sqrt{2}}}=\frac{2 \sqrt {2} \mu_0I}{\pi L}$
mentre nella condizione per $|z|\ \text{>>} \ L$, approssimando al solo primo termine dello sviluppo, porta a
$B_z\approx \frac{\mu_0IL^2}{ 2\pi z^3 }$
chiaramente, come dicevo nei messaggi precedenti, questa è solo la componente lungo $z$, per ricavare anche le altre due il discorso si complica.
"RenzoDF":
Per il primo punto prova a dare un occhio a questo vecchio thread
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Ho seguito i vostri consigli e quelli del link sopra citato, ma alla fine ho scoperto che l'intgrale mi viene
$ (mu_0IL)/(2pi)int_(-L/2)^(L/2) (z^2 dx )/(z^2+L^2/4+x^2)^(3/2) $
...dove sbaglio?
Come posso dirtelo se non posti un paio di passaggi intermedi?
$ dveclxx dvecr=det | ( hatx , haty , hatz ),( -dx , 0 , 0 ),( -x , -L/2 , z ) |=hatzdxL/2 + hatyzdx $
prodotto scalare:
$ hatz\cdot hatz dxL/2cos(0)+hatz\cdot hatyzdxcos(pi/2)=z^2dxL/2 $
che va al numeratore dell'integrale.
prodotto scalare:
$ hatz\cdot hatz dxL/2cos(0)+hatz\cdot hatyzdxcos(pi/2)=z^2dxL/2 $
che va al numeratore dell'integrale.
"giove1978":
... prodotto scalare:
$ hatz\cdot hatz dxL/2cos(0)+hatz\cdot hatyzdxcos(pi/2)=z^2dxL/2 $
che va al numeratore dell'integrale.
Ti ricordo che $\hat z$ è un versore.
BTW Usi uno strano modo per scrivere il prodotto scalare; a me avevano insegnato che bastava fare la somma dei prodotti delle componenti omologhe.
Ah vero!
Sì lo so ma non mi trovo a scrivere le formule al pc.
Grazie.
Sì lo so ma non mi trovo a scrivere le formule al pc.
Grazie.
Di nulla! ... e per il secondo punto hai qualche idea risolutiva?
Dopo aver svolto l'integrale si trascura L nei confronti di r essendo quest'ultimo molto maggiore di L.
Come dicevo nei precedenti messaggi, se quello da te riportato è il testo del problema, $r$ non è $z$.
Sì infatti, ne ho tenuto conto.
In un punto $ r> > l $ si ha:
$ B_(r)=(mu _0IL^2)/(2pir^3) $
Invece il campo al centro della spira sarebbe:
$ B_(o)=(mu _0IL^2)/(2piL^2/4sqrt(L^2/2))=(2mu _0Isqrt2)/(piL) $
In un punto $ r> > l $ si ha:
$ B_(r)=(mu _0IL^2)/(2pir^3) $
Invece il campo al centro della spira sarebbe:
$ B_(o)=(mu _0IL^2)/(2piL^2/4sqrt(L^2/2))=(2mu _0Isqrt2)/(piL) $
"giove1978":
Sì infatti, ne ho tenuto conto.
Scusa se lo ripeto, ma la relazione trovata vale solo lungo l'asse $z$ e di conseguenza
non puoi scrivere che per un punto con $|r|\ \text{>>} \ L$ si ha:
"giove1978":
$ B_(r)=(mu _0IL^2)/(2pir^3) $
ma puoi solo scrivere che per un punto con $|z|\ \text{>>} \ L$, si ha
$ B_(z)=(mu_0IL^2)/(2\pi z^3) $
in quanto $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ne z$
Sì, quindi bisogna considerare un punto P con coordinate generiche, cosicchè la matrice si modifica andando a modificare anche l'integrale.
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