Campo magnetico nella cavità tra due cilindri
Salve a tutti e buone feste! 
Per rendere più interessante il Natale ho deciso di proporvi un interessante esercizio di fisica 2, riporto di seguito il testo e un tentativo fallimentare di risoluzione... Nell'immagine ho riportato la figura "pulita" e una che ho sporcato per far comprendere il mio tentativo.
Un sistema di conduttori ha sezione trasversale data dall'intersezione di due circonferenze di raggio $R=0.0200 m$ con centri separati da una distanza $2a=0.0124 m$, come mostrato nella figura. La parte conduttrice è quella in colore grigio, mentre la regione di intersezione tra i due cerchi colorata in bianco è vuota. ll conduttore di sinistra è attraversato da una corrente $I=2.74 A$ uniforme e perpendicolare al piano del foglio (nel nostro caso, al piano dello schermo!) con verso uscente. Quello di destra è percorso dalla medesima corrente ma in verso opposto. Si consideri il conduttore di lunghezza infinita lungo l'asse $z$ e costituito da materiale omogeneo e isotropo con permeabilità magnetica $\mu_r=1$. Determinare l'intensità del campo magnetico, in $\mu T$, in tutti i punti della zona vuota di intersezione tra le due circonferenze (si può facilmente verificare che il campo magnetico è uniforme nella cavità).
Tentativo:
Ho provato ad utilizzare la Legge di Ampere. Supponendo che $\vec{B}=B_0 \hat{y}$ ho calcolato la circuitazione lungo la curva $\gamma$ in figura.
\[ B \cdot 2 \cdot l = \mu_0 \cdot I \]
Dove con $l$ ho indicato il segmento verde nel disegno, corrispondente al semiasse maggiore dell'ellisse. Questo lo si calcola con Pitagora $l=(R^2-a^2)^{1/2}$.
Quindi ricavo $B$:
\[ B=\dfrac{\mu_0 \cdot I}{2l} \]
Dato che i conduttori sono due, moltiplico il risultato per due:
\[ B_{tot}=2 \cdot B= 2 \dfrac{\mu_0 \cdot I}{2 \cdot (R^2-a^2)^{1/2}}=\dfrac{4 \cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot 2.74}{[0.0200^2-((0.0124)/2)^2]^{1/2}} \cdot 10^6=181 \mu T \]
Il quale non è presente tra i risultati possibili, che sono:
A)0 | B)17.0 | C)35.0 | D)53.0 | E) 71.0 | F)89.0
Grazie mille per aver letto, spero possiate darmi una mano! ^^
Per rendere più interessante il Natale ho deciso di proporvi un interessante esercizio di fisica 2, riporto di seguito il testo e un tentativo fallimentare di risoluzione... Nell'immagine ho riportato la figura "pulita" e una che ho sporcato per far comprendere il mio tentativo.Un sistema di conduttori ha sezione trasversale data dall'intersezione di due circonferenze di raggio $R=0.0200 m$ con centri separati da una distanza $2a=0.0124 m$, come mostrato nella figura. La parte conduttrice è quella in colore grigio, mentre la regione di intersezione tra i due cerchi colorata in bianco è vuota. ll conduttore di sinistra è attraversato da una corrente $I=2.74 A$ uniforme e perpendicolare al piano del foglio (nel nostro caso, al piano dello schermo!) con verso uscente. Quello di destra è percorso dalla medesima corrente ma in verso opposto. Si consideri il conduttore di lunghezza infinita lungo l'asse $z$ e costituito da materiale omogeneo e isotropo con permeabilità magnetica $\mu_r=1$. Determinare l'intensità del campo magnetico, in $\mu T$, in tutti i punti della zona vuota di intersezione tra le due circonferenze (si può facilmente verificare che il campo magnetico è uniforme nella cavità).
Tentativo:
Ho provato ad utilizzare la Legge di Ampere. Supponendo che $\vec{B}=B_0 \hat{y}$ ho calcolato la circuitazione lungo la curva $\gamma$ in figura.
\[ B \cdot 2 \cdot l = \mu_0 \cdot I \]
Dove con $l$ ho indicato il segmento verde nel disegno, corrispondente al semiasse maggiore dell'ellisse. Questo lo si calcola con Pitagora $l=(R^2-a^2)^{1/2}$.
Quindi ricavo $B$:
\[ B=\dfrac{\mu_0 \cdot I}{2l} \]
Dato che i conduttori sono due, moltiplico il risultato per due:
\[ B_{tot}=2 \cdot B= 2 \dfrac{\mu_0 \cdot I}{2 \cdot (R^2-a^2)^{1/2}}=\dfrac{4 \cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot 2.74}{[0.0200^2-((0.0124)/2)^2]^{1/2}} \cdot 10^6=181 \mu T \]
Il quale non è presente tra i risultati possibili, che sono:
A)0 | B)17.0 | C)35.0 | D)53.0 | E) 71.0 | F)89.0
Grazie mille per aver letto, spero possiate darmi una mano! ^^
Risposte
Se consideri i 2 cilindri ciascuno completamente attraversato dalle correnti I e -I rispettivamente e uniformemente, il risultato sarà che nell'intersezione non c'è corrente. Per ogni cilindro risulta un campo di induzione magnetica interno dato dalla legge di Ampere
$B(r)=mu_0/(2*pi)*I*r/R^2$
Quindi ad es. nel punto A il campo sarà:
$B=2*B(a)=mu_0/(pi)*I*a/R^2=4*10^(-7)*2.74*0.0062/0.02^2=17 muT$
$B(r)=mu_0/(2*pi)*I*r/R^2$
Quindi ad es. nel punto A il campo sarà:
$B=2*B(a)=mu_0/(pi)*I*a/R^2=4*10^(-7)*2.74*0.0062/0.02^2=17 muT$
Giustooo, adesso ho capito! :] Grazie mille e Buon Natale!
Contraccambio con piacere. Buon Natale anche a te!
Ora, fede_1_1, non ti resta che dimostrare l'uniformità del campo nella cavità. 
Per punti appartenenti all'asse che collega i due centri è semplice, indicando con $x$ la distanza del punto da un centro:
$B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi R^2}(x + (2a-x))=\frac{\mu_0 I}{\pi R^2}a$
Per punti fuori dall'asse $x$ invece sono arrivato a scrivere:
$B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi R^2}(\sqrt(x^2+h^2)+\sqrt((2a-x)^2+h^2))$
Con $h$ altezza del punto, distanza dall'asse delle ascisse insomma. Ma qua mi fermo
$B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi R^2}(x + (2a-x))=\frac{\mu_0 I}{\pi R^2}a$
Per punti fuori dall'asse $x$ invece sono arrivato a scrivere:
$B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi R^2}(\sqrt(x^2+h^2)+\sqrt((2a-x)^2+h^2))$
Con $h$ altezza del punto, distanza dall'asse delle ascisse insomma. Ma qua mi fermo
Considera un generico punto P nella cavità, di coordinate x, y, con origine del sistema di riferimento in A, per poi andare a sommare le due componenti dei due campi lungo i due assi; vedrai che è semplice.
Ovviamente ti consiglio di fare un disegno della geometria.
Dai due centri in (a,0) e (-a,0) a P ci saranno due raggi r1 e r2 da considerare, B1 e B2 saranno normali agli stessi con modulo a loro direttamente proporzionale; dalla similitudine fra due coppie di triangoli rettangoli potrai infine determinare le 2x2=4 componenti.
Ovviamente ti consiglio di fare un disegno della geometria.
Dai due centri in (a,0) e (-a,0) a P ci saranno due raggi r1 e r2 da considerare, B1 e B2 saranno normali agli stessi con modulo a loro direttamente proporzionale; dalla similitudine fra due coppie di triangoli rettangoli potrai infine determinare le 2x2=4 componenti.
Può anche valere la pena esprimere il campo in forma vettoriale. Ponendo l'origine del sistema di riferimento nel centro di uno dei due conduttori (diciamo quello di sinistra, e il centro di quello di destra sarà individuato dal vettore $2 \mathbf{a}$), i contributi al campo sono $\mathbf{B}_1 = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2} \mathbf{\hat{\phi}}, \quad \mathbf{B}_2 = - \frac{\mu_0 I|\mathbf{r} - 2\mathbf{a}|}{2 \pi R^2} \mathbf{\hat{\phi}}'$ dove $\mathbf{\hat{\phi}}, \mathbf{\hat{\phi}}'$ sono i versori tangenziali. È abbastanza facile convincersi che $\mathbf{\hat{\phi}} = \mathbf{\hat{z}} \times \frac{\mathbf{r}}{r},\mathbf{\hat{\phi}}' = \mathbf{\hat{z}} \times \frac{\mathbf{r} - 2\mathbf{a}}{|\mathbf{r} - 2\mathbf{a}|}$ (il rapporto tra un vettore e il suo modulo ne fornisce il versore). Sostituendo si ottiene
$ \mathbf{B}_T = \mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{\pi R^2} \mathbf{z} \times \mathbf{a} $, ossia $|\mathbf{B}_T| = {\mu_0 I a} /{\pi R^2} \approx 17 \mu T$. Credo che la noia del formalismo vettoriale sia ripagata dalla linearità del calcolo.
$ \mathbf{B}_T = \mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{\pi R^2} \mathbf{z} \times \mathbf{a} $, ossia $|\mathbf{B}_T| = {\mu_0 I a} /{\pi R^2} \approx 17 \mu T$. Credo che la noia del formalismo vettoriale sia ripagata dalla linearità del calcolo.
Ultimo metodo (come c_max ma con meno formalismo) poi credo che fede_1_1 abbia ampia scelta. 
Il vettore distanza da un punto $P (x_P, y_P)$ è dato da $(x-x_P, y-y_P)$. Il vettore di ugual modulo e ad esso tangente ovvero ad esso perpendicolare e diretto in verso antiorario è $(-(y-y_P), x-x_P)$. Per convincersi basta un pò di trigonometria oppure verificare che il prodotto scalare tra i 2 vettori è nullo e quindi sono perpendicolari.
Assumendo il punto A come origine, e osservando che il verso della corrente è uscente per il conduttore di sinistra (1) di centro (0,-a) e entrante per quello di destra (2) di centro (0,a), in un punto (x,y), interno ad entrambi i conduttori, i due campi saranno quindi descritti da:
$vec B_1 =(mu_0*I)/(2*pi*R^2) (-y, x+a)$
$vec B_2 =(- mu_0*I)/(2*pi*R^2) (-y, x-a)= (mu_0*I)/(2*pi*R^2) (y, -x+a)$
Sommando (vettorialmente ovvero componente per componente) i due campi sopra si ottiene:
$vec B =(mu_0*I)/(2*pi*R^2) (0, 2a)$
costante e diretto nella direzione positiva delle y.
Il vettore distanza da un punto $P (x_P, y_P)$ è dato da $(x-x_P, y-y_P)$. Il vettore di ugual modulo e ad esso tangente ovvero ad esso perpendicolare e diretto in verso antiorario è $(-(y-y_P), x-x_P)$. Per convincersi basta un pò di trigonometria oppure verificare che il prodotto scalare tra i 2 vettori è nullo e quindi sono perpendicolari.
Assumendo il punto A come origine, e osservando che il verso della corrente è uscente per il conduttore di sinistra (1) di centro (0,-a) e entrante per quello di destra (2) di centro (0,a), in un punto (x,y), interno ad entrambi i conduttori, i due campi saranno quindi descritti da:
$vec B_1 =(mu_0*I)/(2*pi*R^2) (-y, x+a)$
$vec B_2 =(- mu_0*I)/(2*pi*R^2) (-y, x-a)= (mu_0*I)/(2*pi*R^2) (y, -x+a)$
Sommando (vettorialmente ovvero componente per componente) i due campi sopra si ottiene:
$vec B =(mu_0*I)/(2*pi*R^2) (0, 2a)$
costante e diretto nella direzione positiva delle y.
Grazie a tutti due!! Mi piace molto il primo metodo proposto da @ingres ahahah, ma saperne di più è sempre utile ed istruttivo
"RenzoDF":
Considera un generico punto P nella cavità, di coordinate x, y, con origine del sistema di riferimento in A, per poi andare a sommare le due componenti dei due campi lungo i due assi; vedrai che è semplice.
Ovviamente ti consiglio di fare un disegno della geometria.
Dai due centri in (a,0) e (-a,0) a P ci saranno due raggi r1 e r2 da considerare, B1 e B2 saranno normali agli stessi con modulo a loro direttamente proporzionale; dalla similitudine fra due coppie di triangoli rettangoli potrai infine determinare le 2x2=4 componenti.
Poi mi scervello per bene su questa cosa ahahah
Attendo i tuoi sviluppi, disegno compreso. 
Mi stavo quasi dimenticando ahah, allora sono giunto a tali conclusioni:
Prendo un punto $P$ di coordinate $(x,y)$ e calcolo il campo magnetico scomponendolo lungo l'asse $x$ e $y$. Poi sommando avremo il vettore finale $\vec{B}=B_x \hat{i} + B_y \hat{y}$. In generale avremo il vettore campo magnetico di ogni cilindro $B_i=\frac{I}{2 \pi R^2} r_i \hat{t}$, dove $\hat{t}$ è il versore tangente alla circonferenza e $r_i$ la distanza di ogni centro dal punto $P$.
Scomponendo lungo gli assi:
$B_{1_x}=-B_1sin(\theta_1)$
$B_{2_x}=+B_2sin(\theta_2)$
$B_{1_y}=+B_1cos(\theta_1)$
$B_{2_y}=+B_2cos(\theta_2)$
Sappiamo che:
$r_1cos(\theta_1)=a+x$
$r_2cos(\theta_2)=a-x$
$y=r_1sin(\theta_1)=r_2sin(\theta_2)$
Allordunque, per velocizzare definirò il coefficiente $k=\frac{I}{2 \pi R^2}$:
$B_{1_x}+B_{2_x}=B_2sin(\theta_2)-B_1sin(\theta_1)=k r_2 sin(theta_2)-k r_1 sin(theta_1)=k r_2 \frac{r_1 sin(\theta_1)}{r_2}-k r_1 sin(\theta_1)=0 $
$B_{1_y}+B_{2_y}=B_1cos(\theta_1)+B_2cos(\theta_2)=kr_1\frac{a+x}{r_1}+kr_2\frac{a-x}{r_2}=2ka$
Allora $\vec{B}=(0, 2ka)$, mi son perso qualcosa nei conti? Nel disegno ho fatto del mio meglio
Prendo un punto $P$ di coordinate $(x,y)$ e calcolo il campo magnetico scomponendolo lungo l'asse $x$ e $y$. Poi sommando avremo il vettore finale $\vec{B}=B_x \hat{i} + B_y \hat{y}$. In generale avremo il vettore campo magnetico di ogni cilindro $B_i=\frac{I}{2 \pi R^2} r_i \hat{t}$, dove $\hat{t}$ è il versore tangente alla circonferenza e $r_i$ la distanza di ogni centro dal punto $P$.
Scomponendo lungo gli assi:
$B_{1_x}=-B_1sin(\theta_1)$
$B_{2_x}=+B_2sin(\theta_2)$
$B_{1_y}=+B_1cos(\theta_1)$
$B_{2_y}=+B_2cos(\theta_2)$
Sappiamo che:
$r_1cos(\theta_1)=a+x$
$r_2cos(\theta_2)=a-x$
$y=r_1sin(\theta_1)=r_2sin(\theta_2)$
Allordunque, per velocizzare definirò il coefficiente $k=\frac{I}{2 \pi R^2}$:
$B_{1_x}+B_{2_x}=B_2sin(\theta_2)-B_1sin(\theta_1)=k r_2 sin(theta_2)-k r_1 sin(theta_1)=k r_2 \frac{r_1 sin(\theta_1)}{r_2}-k r_1 sin(\theta_1)=0 $
$B_{1_y}+B_{2_y}=B_1cos(\theta_1)+B_2cos(\theta_2)=kr_1\frac{a+x}{r_1}+kr_2\frac{a-x}{r_2}=2ka$
Allora $\vec{B}=(0, 2ka)$, mi son perso qualcosa nei conti? Nel disegno ho fatto del mio meglio
Hai scordato solo il $mu_0$ nella definizione del k. Per il resto per me
"ingres":
Hai scordato solo il $mu_0$ nella definizione del k. Per il resto per me
Ahh giusto, piccola svista
Grazie per il feedback!
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