Campo magnetico nel condensatore

[mat.pasc]

Buonasera, avrei un dubbio riguardo il seguente esercizio:

Si consideri un condensatore carico ad armature circolari parallele di raggioRin condizioni nonstazionarie. Assumendo il campo elettrico uniforme per r≤R e nullo per r > R, ricavare l’espressioneper il campo magneticoBin funzione della coordinata radialere della variazionedEdtdel campoelettrico nel condensatore, sia per r < R che per
r > R. Qual è la direzione di B ?

La mia idea è stata che potesse esserci una simmetria interna ed esterna con campo B disposto con linee di campo concentriche all'asse centrale.
E quindi usare la IV di Maxwell per avere:

$int_0^(2pir) \vecB*d\vecl=mu_0epsilon_0pir^2d/(dt)E$ e quindi $B(r) =1/2μ_0epsilon_0r(dE)/(dt)$

Esternamente poiché la corrente di spostamento concatenata è al massimo compresa nel raggio R ho:

$B(r) =1/2μ_0epsilon_0R^2/r(dE)/(dt)$

Avrei però due domande su questo primo punto:

1) Ho intuito la simmetria di B interna ed esterna ma perché e proprio così? Cioè come posso mostrarlo formalmente?

2) Mi sembra di intuire che in realtà la corrente di spostamento concatenata con il campo B "generi" un campo B del tutto identico al caso del filo che connette le piastre del condensatore. Quindi posso vedere come se la corrente di spostamente sia la corrente concentrata sull'asse. Peròquesto l'ho intuito, come potrei anche qui mostrarlo in modo formale?


Vi ringrazio

[Quinzio]

1) Ho intuito la simmetria di B interna ed esterna ma perché e proprio così? Cioè come posso mostrarlo formalmente?

2) Mi sembra di intuire che in realtà la corrente di spostamento concatenata con il campo B "generi" un campo B del tutto identico al caso del filo che connette le piastre del condensatore. Quindi posso vedere come se la corrente di spostamente sia la corrente concentrata sull'asse. Peròquesto l'ho intuito, come potrei anche qui mostrarlo in modo formale?

1)
Le linee di campo concentriche derivano dal fatto che il vettore campo magnetico e' perprendicolare all'asse del condensatore.
Per dimostrare che il vettore campo magnetico e' sempre perpendicolare dovresti fare l'integrale sulla superficie interessata dal vettore di spostamento, usando la forma globale della IV equazione di Maxwell .
Ma ci si arriva anche con dei semplici ragionamenti sulla simmetria stessa della figura.

2)
Non credo che esista una vera e propria dimostrazione formale.
Quando usi la IV eq. di Maxwell, nella parte destra della formula, devi integrare su una superficie, come sai gia' bene. Il fatto e' che la superficie su cui integrare non e' definita e ne' specificata e quindi puoi anche sceglierla come piu' ti piace. Non e' necessario che la superficie sia quella di area minima ne' che abbia una forma particolare. Non deve pero' avere tagli, buchi, auto-intersezioni...
Quindi ora immagina il tuo condensatore "completo" ovvero con le due piastre e i due conduttori collegati ad esse, uno per ogni piastra.
Immagina che il bordo della superficie di integrazione sia una circonferenza che sta su un piano che passa tra le piastre. Ci vorrebbe un disegno ma faremo senza.
Ora la superficie di integrazione puo' essere il cerchio che e' delimitato dalla circonferenza, e in questo caso sulla superficie passa solo il vettore di spostamento.
Ma la superficie puo' anche essere una "cupola" che passa sopra ad una delle piastre e quindi la superficie sara' solo attraversata dalconduttore e quindi dalla corrente che sta caricando le piastre e non piu' dal vettore di spostamento.
La IV eq. di Maxwell deve valere in entrambi i casi e dare lo stesso risultato.
Ecco quindi spiegata l'ambiguita' del vettore spostamento / corrente.

[mat.pasc]

Molto gentile, grazie mille!