Campo magnetico in conduttore cilindrico

[feddy]

Ciao a tutti, non possiedo al soluzione del seguente esercizio, di cui posto il testo come immagine perché non ho molto tempo. [Entro fine pomeriggio lo scriverò come testo].








Sol.:


1.
Le linee di campo magnetico sono circonferenze contenute in piani ortogonali all'asse del cilindro. Poiché la densità di corrente è distribuita uniformemente sulla superficie, ho che $i=j \Sigma= j*2 \pi R_1 l$, con $l$ lunghezza del cilindro.

Nella regione interna al cilindro, per $r Nella regio esterna, $r \geq R_1$, per il teorema di Ampere: $B(r) 2 \pi r = \mu_0 * i =\mu_0 j 2 \pi R_1 l$, da cui $B(r)=(\mu_0 j l R_1)/ r$.

Perciò il campo magnetico è nullo fino a $R_1$, dove "va giù" come $1/r$.

2.
La forza esercitata dal campo sull'elettrone è data da $vecF=q \vecv \xx vecB$. In questo caso l'angolo tra il vettore velocità è $3 \pi /2$, e poiché $q=-e$, $F=Bev$


3.

Nella nuova situazione ho che la corrente è distribuita con la stessa densità su entrambe le superfici dei due cilindri concentrici. Per $r Per $r>R_1$, $B(r)=0$ poiché le correnti concatenate sono uguali e opposte.

Considero ora la regione $R_2
4.

$u_m=(B^2(r)) /(2 \mu_0$.
E' non nulla solo nella regione dove ho $B(r) !=0$, cioè per $R_2
$U_m=\int_{R_2}^{R_1} (B^{2}(r) )/ (2\mu_0) d\tau$, con $d\tau=2*\pi r l dr$ elemento di volume infinitesimo. Allora $U_m=\int_{R_2}^{R_1}( B^{2}(r)) / (2\mu_0) 2*\pi r l dr$. Svolgendo i conti mi risulta $U_m=ln(R_1/ R_2) \pi \mu_0 j^2 l^3 R_2^2$.

5.
Ho $U_m=1/2 L i^2$.
Da questo segue che il coefficiente di autoinduzione $L=(ln(R_1/R_2) l \mu_0)/(2 \pi)$.


Spero di non aver commesso errori grossolani, in particolare mi turba il fatto che il mio cilindro è indefinito, ma ho dovuto usare l'altezza $l$...

[RenzoDF]

Ne hai commesso uno molto grossolano, la densità di corrente è uniforme sulla "sezione" non sulla "superficie".

PS Continuando a leggere il testo del problema, sarebbe interessante capire come sia stato "inserito" il primo conduttore nel secondo.

[feddy]

Ciao, grazie della risposta! Sinceramente non me ne ero accorto (sono i primi esercizi che faccio )

Vediamo se ho ben capito:

Nel cilindro del punto 1. la densità è uniforme su ogni sezione del cilindro... intende dire che ogni "fetta" infinitesima possiede una densità di corrente uniforme $j$?

Nel cilindro 2., che sarà posto in modo concentrico (e coassiale) al cilindro precedente, la densità è uniforme sulla superfcie. Qui mi è chiaro, perché è quello che ho supposto per entrambi nel punto precedente.

Fin qui va tutto bene? Se sì, procedo col sistemare la soluzione.

Grazie ancora.

[RenzoDF]

"feddy":... Nel cilindro del punto 1. la densità è uniforme su ogni sezione del cilindro... intende dire che ogni "fetta" infinitesima possiede una densità di corrente uniforme $j$?

La sezione di un conduttore corrisponde alla superficie circolare che si ottiene dalla intersezione dello stesso con un piano normale al suo asse, se indichiamo con $A$ l'area di questa superficie e con $I$ la corrente nel conduttore il testo ti sta dicendo che la densità di corrente è uniforme e di conseguenza è determinabile dal rapporto \(I / A\).

"feddy":... Nel cilindro 2., che sarà posto in modo concentrico (e coassiale) al cilindro precedente, la densità è uniforme sulla superfcie. Qui mi è chiaro ...

Come dicevo nel precedente messaggio, a me questo punto non è per nulla chiaro, in quanto viene detto che il primo conduttore cilindrico viene inserito in un secondo conduttore cilindrico, senza specificare se questo secondo conduttore sia cavo o meno, anche perché non viene dato un raggio interno.
Per quanto riguarda la densità di corrente anche per il secondo, come per il primo, è da intendersi uniforme sulla sezione (che sembra incognita), non sulla superficie.

Da dove arriva quel problema? (Spero non sia una prova d'esame. ).

[feddy]

E' proprio il testo di un'esame... credo sia da intendere che il primo cilindro (quello che andrò a inserire) abbia raggio interno $R_1$ ed è contenuto in modo coassiale con quello di raggio $R_2$. Per quanto riguarda la densità di corrente per il secondo cilindro, il testo dice che scorre la stessa corrente elettrica del primo, ma in verso opposto, "uniformemente distribuita sulla superficie". Secondo me il secondo cilindro è una sorta di guaina esterna...

[RenzoDF]

Mah, quel testo non mi è chiaro, ad ogni modo, se vuoi vedere il secondo cilindro come una guaina conduttiva con densità di corrente infinita, prova a risolverlo in quella configurazione.

[feddy]

Appena ho tempo per ritornarci su lo faccio! grazie per l'attenzione intanto

[feddy]

Come promesso, mi sono messo a farlo !

1.
Il cilindro è carico sulla sezione e la sua densità (uniformemente distribuita) vale $j=i/(\pi R_1^{2})$.

Distinguo la regione interna al cilindro, $rR_2$ per utilizzare Ampère.

Regione interna: $B(r) 2\pi r = \mu_0 i = \mu_0 j (r^2)/(R_{1}^{2})$ da cui $B(r)=(\mu_0 j r)/(2 \pi R_1^{2})$.

Regione esterna $B(r) 2 \pi r = \mu_0 j \pi R_{1}^{2}$, da cui $B(r)=(\mu_0 j R_{1}^{2})/(2r)$.


2.
La corrente $i$ scorre verso l'alto, pertanto $v$ ha la stessa direzione ma verso opposto.
Sia $q$ la carica dell'elettrone.
La forza che agisce sull'elettrone è data da $\vecF=q(vecv \xx vecB)$. L'angolo compreso tra $vecv$ e $vecB$ è $\theta=\pi/2$, da cui $F=qvB$.


3.
Ora la corrente è distribuita uniformemente sulla superficie del conduttore, per cui $j=i/(2 \pi R_{2} l)$, con $l$ altezza del cilindro.

Considero le tre regioni $rR_2$.

Per $r Per $ R_1 Per $r>R_2$, le due correnti hanno verso opposto, per cui $B(r)=0 T$.


4.
Sperando di aver fatto giusto il precedente punto, calcolo la densità di energia
$u_m$ densità di energia varia a seconda della regione in cui mi trovo.
$r $R_1 $r>R_2, u_m=0$

Integrando nel volume $\tau$ ricavo per ciascuna regione l'energia immagazzinata.

L'elemento di volume infinitesimo $d\tau=2 \pi r l dr$.

Pertanto, per $r
Regione interna :

$U_m= \int_{R_1}^{R_2} u_m 2 \pi r ldr= (\mu_0 \pi j^2 l R_1)/(4) ln(R_2/R_1)$


Regione esterna: $U_m=0$

5.
Dalla relazione $U=1/2 L i^2$ ricavo l'induttanza in ciascuna regione, corretto? (risparmio i conti)

[RenzoDF]

Ti rispondo in velocità in attesa di disporre di un PC: tanto per cominciare in 1 confondi la densità con la corrente, 2 ok,
3 quella densità iniziale non si può vedere e anche qui se non erro scambi i con j, e così pure in 4, dove non mi sembra dimensionalmente corretta l'espressione ottenuta per l'energia nella regione interna.

Morale della favola, se ti va di farlo ricontrolla, stasera appena arrivo a casa ti rispondo più estesamente.

[feddy]

Grazie per l'attenzione, ho ricontrollato tutto dall'inizio ma non capisco cosa intendi con

"RenzoDF":confondi la densità con la corrente

.

Io ho interpretato che un cilindrico con la sezione carica uniformemente significa che dentro c'è corrente $i$ che scorre e $j=i/ \Sigma$, dove ora $Sigma$ è l'area del cerchio.

[RenzoDF]

Premesso che tralascio di indicare gli errori di battitura,

"feddy":
1.
Regione interna: $B(r) 2\pi r = \mu_0 i = \mu_0 j (r^2)/(R_{1}^{2})$ da cui $B(r)=(\mu_0 j r)/(2 \pi R_1^{2})$.

Direi
$B(r)=(\mu_0 i r)/(2 \pi R_1^{2})$

...Regione esterna $B(r) 2 \pi r = \mu_0 j \pi R_{1}^{2}$, da cui $B(r)=(\mu_0 j R_{1}^{2})/(2r)$.

Non vedo perché usare la densità, visto che poi dobbiamo avere una relazione nella corrente, di conseguenza, pur essendo la tua relazione corretta, scriverei

$B(r)=(\mu_0 i )/(2\pi r)$

"feddy":
3.
Ora la corrente è distribuita uniformemente sulla superficie del conduttore, per cui $j=i/(2 \pi R_{2} l)$, con $l$ altezza del cilindro.

Scusa ma questa relazione è priva di senso, la densità di corrente nella guaina sarà pari al rapporto fra la corrente e l'area della superficie della corona circolare che, avendo ipotizzato la guaina di spessore infinitesimo, sarà nulla e di conseguenza nella guaina avremo una densità di corrente infinita, (un miracolo H-demico ) .

"feddy":... Per $r
Esatto e non cambia nulla nemmeno per la regione intermedia, di conseguenza non ricommento le relazioni.

"feddy":
4....
$r
Direi
$u_m=(\mu_0 r^2 i^2)/(8 \pi^2 R_1^{4})$

$R_1
Questa è corretta, ma come sopra userei la corrente, non la densità

$u_m=(\mu_0 i^2 )/(8\pi^2 r^2)$

"feddy":...
Pertanto, per $r
e quindi

$U_m=(\mu_0 l i^2)/(16 \pi)$

"feddy":... Regione interna :

$U_m= \int_{R_1}^{R_2} u_m 2 \pi r ldr= (\mu_0 \pi j^2 l R_1)/(4) ln(R_2/R_1)$

Qui se non erro R1 dovrebbe avere esponente 4 e non 1, ad ogni modo, visto che per ricavare l'induttanza ci serve avere una espressione in $i$ e non in $j$, scriverei

$U_m=(\mu_0 l i^2 )/(4 \pi) ln(R_2/R_1)$

"feddy":...
5.
Dalla relazione $U=1/2 L i^2$ ricavo l'induttanza in ciascuna regione, corretto? ...

Si.

Ora probabilmente qualche errore di battitura l'avrò fatto io, aspetto il tuo controllo.

[feddy]

Ora non riesco a rispondere poiché ho dato una rapida occhiata, domani con calma controllo tutto. Ti ringrazio infinitamente per la pazienza !