Campo magnetico di un filo di dimensione finita
ciao ragazzi sono alle prese con il problema seguente:
[IMG=http://img855.imageshack.us/img855/2294/immaginegpl.png][/IMG]
un filo di lunghezza $L$ è percorso da una corrente $i$. calcolare il campo magnetico nel punto $P$ posto sulla bisettrice a una distanza $R$.
ho applicato la legge di Biot-Savart secondo la quale $ \vec db = {\mu*i}/{4* \pi} * {\vec dl x \vec r}/r^3 $
successivamente ho risolto il prodotto vettoriale e semplificato:
$ \vec db = ( \mu*i* dl*\sin \vartheta) /{r^2*4* \pi} $
dove $\ vartheta $ è l'angolo tra $ \vec dl $ e $ \vec r $
a questo punto ho applicato il teorema dei seni e ho trovato che $ \sin \vartheta = (\sin (\pi/2) * R) /\sqrt(R^2+(L/2)^2) $
infine sostituendo e integrando per trovare il campo magnetico poichè tutto è costante rispetto all' integrale tranne $ dl $ risulta:
$ B = ( \mu*i * L*R) /(4* \pi *(R^2+(L/2)^2)^(3/2))$
Ho fatto bene? il campo dovrebbe inoltre essere normale alla superficie formata da $ r $ e $dl$ e applicando la regola della mano destra se la superficie formata dai due vettori è il piano di una lavagna il verso di $\vec B$ è uscente...
il fatto è che il problema specifica che la lunghezza del filo non è trascurabile rispetto alla distanza dal punto $P$ per cui non sono sicuro di aver fatto la cosa giusta
[IMG=http://img855.imageshack.us/img855/2294/immaginegpl.png][/IMG]
un filo di lunghezza $L$ è percorso da una corrente $i$. calcolare il campo magnetico nel punto $P$ posto sulla bisettrice a una distanza $R$.
ho applicato la legge di Biot-Savart secondo la quale $ \vec db = {\mu*i}/{4* \pi} * {\vec dl x \vec r}/r^3 $
successivamente ho risolto il prodotto vettoriale e semplificato:
$ \vec db = ( \mu*i* dl*\sin \vartheta) /{r^2*4* \pi} $
dove $\ vartheta $ è l'angolo tra $ \vec dl $ e $ \vec r $
a questo punto ho applicato il teorema dei seni e ho trovato che $ \sin \vartheta = (\sin (\pi/2) * R) /\sqrt(R^2+(L/2)^2) $
infine sostituendo e integrando per trovare il campo magnetico poichè tutto è costante rispetto all' integrale tranne $ dl $ risulta:
$ B = ( \mu*i * L*R) /(4* \pi *(R^2+(L/2)^2)^(3/2))$
Ho fatto bene? il campo dovrebbe inoltre essere normale alla superficie formata da $ r $ e $dl$ e applicando la regola della mano destra se la superficie formata dai due vettori è il piano di una lavagna il verso di $\vec B$ è uscente...
il fatto è che il problema specifica che la lunghezza del filo non è trascurabile rispetto alla distanza dal punto $P$ per cui non sono sicuro di aver fatto la cosa giusta
Risposte
qualcuno potrebbe aiutarmi? è di fondamentale importanza per poter proseguire
Forse può esserti utile ...
Da Physics For Scientists And Engineers 6 Ed. By Serway And Jewett pg 929.
Applicato al tuo caso mi sembra darebbe $B = (mu_0i)/(4 pi) * L/(Rsqrt(R^2+(L/2)^2))$.
Da Physics For Scientists And Engineers 6 Ed. By Serway And Jewett pg 929.
Applicato al tuo caso mi sembra darebbe $B = (mu_0i)/(4 pi) * L/(Rsqrt(R^2+(L/2)^2))$.
ok... ci siamo ma non ho capito perchè quello che ho fatto io dovrebbe essere sbagliato...ho ricontrollato tutti i passaggi e mi sembrano corretti.
"peppesmile":
.....
a questo punto ho applicato il teorema dei seni e ho trovato che $ \sin \vartheta = (\sin (\pi/2) * R) /\sqrt(R^2+(L/2)^2) $
....
tutto è costante rispetto all' integrale tranne $ dl $
...
Guarda che $theta$ è variabile con $l$ e $r$ ...
un ultima cosa se integro correttamente adesso una volta trovato il risultato devo moltiplicare per due perchè ho trovato il contributo dato dal triangolo sinistro? e devo integrare tra 0 e l/2?
Se segui la dimostrazione del Serway, l'integrale è fatto da $theta_1$ a $theta_2$. Nel tuo caso $theta_2=pi-theta_1$ e da questo deriva $B = (mu_0i)/(4 pi a) * 2costheta_1$. Poiché nel tuo caso $costheta_1= (L/2)/sqrt(R^2+(L/2)^2)$ e $a$=$R$, mi sembra che risulti $B=(mu_0i)/(4 pi) *L/(Rsqrt(R^2+(L/2)^2))$.
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