Campo magnetico conduttore coassiale

[floppyes]

Ciao a tutti!

Ho ancora qualche dubbio sullo svolgimento degli esercizi riguardi il campo magnetico con la legge di Ampere.

Legge di Ampere:
$\oint_{l} \vec{B_{r}} dl= \mu_0 i_c$

Per il pezzo a sinistra dell'integrale ci siamo. Trovo che $\oint_{l} \vec{B_{r}} dl= 2 \pi r B_r$

Per il pezzo a destra dell'uguale non ho ancora capito bene una cosa.

Testo:
Un conduttore cilindrico di raggio c è circondato da una guaina conduttrice di raggio interno [tex]b>c[/tex] e raggio esterno [tex]a[/tex] (cavo coassiale). Nei due conduttori fluiscono delle correnti in verso opposto, di uguale intensità [tex]i[/tex], distribuite con densità uniforme [tex]j_a[/tex] e [tex]j_c[/tex] sulle rispettive sezioni. Esprimere il campo magnetico nei punti a distanza r dall'asse.

Disegno:
[fcd="Schema"][FIDOCAD]
EV 65 25 90 50 0
EV 55 15 100 60 2
TY 75 35 4 3 0 0 5 * jc
TY 95 55 4 3 0 0 7 * ja
EV 45 5 110 70 7[/fcd]

Analizzo i vari casi:
[tex]0 [tex]B_r = \frac{ \mu_0 i}{2 \pi c^2}[/tex]
fino a qua tutto ok

Secondo caso:
[tex]c Qui ho il primo problema. Quando analizzo le correnti concatenate, anche se ho "superato" la densità di corrente [tex]j_c[/tex] (perché sto guardando il caso in cui r è compreso tra c e b) devo considerarla lo stesso nel calcolo della corrente concatenata? In questo caso l'integrale:
$ i_c = \oint_{Sl} \vec{j} dS \vec{n}$

partirà da 0 ad r oppure da c ad r?

Grazie mille
Ciao!

[Cmax1]

Puoi dedurre facilmente che la corrente concatenata a una circonferenza di raggio $r$ e centro nell'asse è
\begin{equation}
i(r)
= \begin{cases} i\frac{r^2}{c^2} &\mbox{} 0 \le r \le c \\
i & \mbox{} c \le r \le b \\
i \frac{a^2-r^2}{a^2-b^2} & \mbox{} b \le r \le a \\
0 & \mbox{} a \le r
\end{cases}
\end{equation}
Il calcolo del campo $B(r)$ segue immediatamente dalla legge di Ampère.

[floppyes]

Ciao

Come mai tra c e b vale solamente i?

Grazie

[RenzoDF]

"floppyes":Come mai tra c e b vale solamente i?

Visto che ci troviamo in un isolante non c'è nessun incremento nella corrente concatenata (flusso di j), ovvero per raggi compresi fra c e b, j(r)=0 e quindi il flusso raggiunto per r=c rimane costante fino a quando il raggio r non arriverà al valore b, dopo di che, visto il verso contrario della corrente nel conduttore esterno, andrà a decrementarsi progressivamente per azzerarsi per r=a.

[floppyes]

Ciao

Grazie per l'aiuto, però non riesco a capire come mai il campo magnetico tra [tex]b
[tex]B_r= \frac{ \mu_0 i }{2r} [j_c c^2 - j_a (r^2 - b^2)][/tex]

Come hanno fatto ad ottenere questo risultato?

Io applico la legge di Ampere. Quindi ottengo:
[tex]2 \pi r B_r = \mu_0 i_c[/tex]

Calcolo le correnti concatenate. Trovandomi tra b ed a devo considerare anche la seconda densità di corrente [tex]j_a[/tex] però non riesco a capire come arrivare a quel risultato!

Grazie
Ciao!

[RenzoDF]

"floppyes":... non riesco a capire come mai il campo magnetico tra [tex]b
[tex]B_r= \frac{ \mu_0 i }{2r} [j_c c^2 - j_a (r^2 - b^2)][/tex]

Come hanno fatto ad ottenere questo risultato?

A parte quella $i$ in più che hai scritto, hanno semplicemente moltiplicato densità di corrente e sezioni interessate; se b
Cmax ti aveva comunque già indicato quali fossero le correnti concatenate da considerare per i vari intervalli di r.

[floppyes]

Grazie mille dovrei esserci

Ciaoo