Campo elettrostatico in presenza di dielettrici
Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà a determinare il campo elettrostatico $\vec E$ nel caso seguente:
Ho supposto di avere un piano indefinito uniformemente carico con densità di carica superficiale $\sigma$, e due parallelepipedi dielettrici infinitamente estesi (non in altezza, sia questa $h$), distanti $d$ dal piano, così come in figura:
I dielettrici hanno entrambi costante dielettrica relativa uguale ovunque, ma diversa fra loro (siano queste $k_1$ e $k_2$).
Vorrei ora determinare il campo $\vec E$ e i campi $\vec D$ e $\vec P$ nelle varie regioni. Suppongo di orientare l'asse $z$ ortogonalmente al piano.
Ho iniziato supponendo (penso erroneamente) che il campo $\vec D$ fosse ortogonale al piano ma, procedendo per questa via, giungo ad una contraddizione: preso un parallelepipedo $P$ che racchiuda il piano, di superficie $S$ e altezza $z$, ottengo $\Phi_P(\vec D) = 2\|\vec D\|S = \sigma S$, da cui $\vec D = \sigma/2 \hat k$. Ricavando ora il campo $\vec E$ nelle zone in cui c'è dielettrico, ottengo $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_1} \hat k$ nella prima e $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_2} \hat k$ nella seconda . Ciò risulta però incompatibile col fatto che il campo $\vec E$, essendo per ipotesi tangente alle superfici di separazione dei due dielettrici (è normale al piano carico), debba essere uguale nelle due parti, in una zona infinitamente vicina (a sinistra e a destra) alla separazione.
Quindi, penso che il problema dipenda dal fatto che il campo $\vec D$, così come il campo $\vec E$, non sia ortogonale al piano carico (penso che sia così poiché eventuali cariche di polarizzazione disposte sulla superficie di separazione dei due dielettrici darebbero un contributo al campo $\vec E$, in quantità non ortogonale al piano carico).
Come posso determinare i campi che mi interessano?
Grazie per eventuali suggerimenti!
Ho supposto di avere un piano indefinito uniformemente carico con densità di carica superficiale $\sigma$, e due parallelepipedi dielettrici infinitamente estesi (non in altezza, sia questa $h$), distanti $d$ dal piano, così come in figura:
I dielettrici hanno entrambi costante dielettrica relativa uguale ovunque, ma diversa fra loro (siano queste $k_1$ e $k_2$).
Vorrei ora determinare il campo $\vec E$ e i campi $\vec D$ e $\vec P$ nelle varie regioni. Suppongo di orientare l'asse $z$ ortogonalmente al piano.
Ho iniziato supponendo (penso erroneamente) che il campo $\vec D$ fosse ortogonale al piano ma, procedendo per questa via, giungo ad una contraddizione: preso un parallelepipedo $P$ che racchiuda il piano, di superficie $S$ e altezza $z$, ottengo $\Phi_P(\vec D) = 2\|\vec D\|S = \sigma S$, da cui $\vec D = \sigma/2 \hat k$. Ricavando ora il campo $\vec E$ nelle zone in cui c'è dielettrico, ottengo $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_1} \hat k$ nella prima e $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_2} \hat k$ nella seconda . Ciò risulta però incompatibile col fatto che il campo $\vec E$, essendo per ipotesi tangente alle superfici di separazione dei due dielettrici (è normale al piano carico), debba essere uguale nelle due parti, in una zona infinitamente vicina (a sinistra e a destra) alla separazione.
Quindi, penso che il problema dipenda dal fatto che il campo $\vec D$, così come il campo $\vec E$, non sia ortogonale al piano carico (penso che sia così poiché eventuali cariche di polarizzazione disposte sulla superficie di separazione dei due dielettrici darebbero un contributo al campo $\vec E$, in quantità non ortogonale al piano carico).
Come posso determinare i campi che mi interessano?
Grazie per eventuali suggerimenti!
Risposte
void con questo nick non ti puoi permettere di fare simili domande 
oh oh 
ciao,
non vorrei spararla grossa, comunque se non ricordo male il campo d'induzione sulle superfici di disocntinuità tra due dielettrici conserva la componenete normale, in quanto, supponiamo di avere una zona composta da due dielettrici, dove sia ben nota la linea di discontinuità tra i due. Vogliamo studiare il comportamento di D su di essa. Consideriamo un volumetto infinitesimo su essa e applichiamo Gauss $int bar D *bar n dS=q => (D_{1n}-D_{2n})S=q$ dove 1n e 2n sono le componenti normali di D nei due dielttrici essendoci il prodtto scalare tra D e la normale n, e S è la superficie inifinitesia del volumetto e q la carica contenuta. Se c'è una carica di conduzione allora allora $q=sigma_cS$ ma in un dieltterico =0 quindi $D_{1n}=D_{2n}$ quindi la ocmponeente normale si conserva.
Non so se possa essere d'aiuto....
Inoltre quel "sistema" di dielettrici, può essere visto come un parallelo di due condesatori (k1 e k2) in serie con il terzo condesatore. E per il singolo condesatore il campo D è perpendicolare alle armature
non vorrei spararla grossa, comunque se non ricordo male il campo d'induzione sulle superfici di disocntinuità tra due dielettrici conserva la componenete normale, in quanto, supponiamo di avere una zona composta da due dielettrici, dove sia ben nota la linea di discontinuità tra i due. Vogliamo studiare il comportamento di D su di essa. Consideriamo un volumetto infinitesimo su essa e applichiamo Gauss $int bar D *bar n dS=q => (D_{1n}-D_{2n})S=q$ dove 1n e 2n sono le componenti normali di D nei due dielttrici essendoci il prodtto scalare tra D e la normale n, e S è la superficie inifinitesia del volumetto e q la carica contenuta. Se c'è una carica di conduzione allora allora $q=sigma_cS$ ma in un dieltterico =0 quindi $D_{1n}=D_{2n}$ quindi la ocmponeente normale si conserva.
Non so se possa essere d'aiuto....
Inoltre quel "sistema" di dielettrici, può essere visto come un parallelo di due condesatori (k1 e k2) in serie con il terzo condesatore. E per il singolo condesatore il campo D è perpendicolare alle armature
Prima di tutto, grazie per la risposta!
Per quanto riguarda il fatto che si conservi la componente normale di $\vec D$, sulla superficie di separazione fra i dielettrici, nessun problema. La difficoltà sorge nel considerare il campo $\vec D$ perperdicolare alla superficie del piano carico (quindi anche a quelle che delimitano i dielettrici). Così facendo, dalla relazione $\vec D = \varepsilon_0 \vec E + \vec P = \varepsilon_0 k \vec E$ otterrei, nei due dielettrici, i campi $\sigma/{2\varepsilon_0 k_1} \vec k$ e $\sigma/{2\varepsilon_0 k_2} \vec k$. Con un ragionamento analogo a quello da te fatto, usando il fatto che $\oint \vec E \cdot d\vec x = 0$, otterrei che $E_{t_1} = E_{t_2}$, ove $E_{t_i}$ indica la componente tangente alla superficie di separazione, nel dielettrico $i$. D'altra parte ho che $E_{t_1} = \sigma/{2\varepsilon_0 k_1} \ne \sigma/{2\varepsilon_0 k_2} = E_{t_2}$.
Dove sbaglio?
Per quanto riguarda il fatto che si conservi la componente normale di $\vec D$, sulla superficie di separazione fra i dielettrici, nessun problema. La difficoltà sorge nel considerare il campo $\vec D$ perperdicolare alla superficie del piano carico (quindi anche a quelle che delimitano i dielettrici). Così facendo, dalla relazione $\vec D = \varepsilon_0 \vec E + \vec P = \varepsilon_0 k \vec E$ otterrei, nei due dielettrici, i campi $\sigma/{2\varepsilon_0 k_1} \vec k$ e $\sigma/{2\varepsilon_0 k_2} \vec k$. Con un ragionamento analogo a quello da te fatto, usando il fatto che $\oint \vec E \cdot d\vec x = 0$, otterrei che $E_{t_1} = E_{t_2}$, ove $E_{t_i}$ indica la componente tangente alla superficie di separazione, nel dielettrico $i$. D'altra parte ho che $E_{t_1} = \sigma/{2\varepsilon_0 k_1} \ne \sigma/{2\varepsilon_0 k_2} = E_{t_2}$.
Dove sbaglio?
Il tuo dubbio riguarda il fatto che ti trovi componenti tangenziali di E diverse sapendo che su una superficie di separazione il campo elettrico coulombiano conserva la sua componenete tangenziale???
Esattamente!
Io sinceramente non ho capito bene come hai trovato D...Hai calcolato il flusso di D attraverso la superfice S, ma D che scrivi essere $sigma/2$ perchè???
Ho preso un parallelepipedo $S$ con basi $S_b$ parallele al piano carico, che lo intersechi. Avendosi flusso nullo attraverso le superfici laterali, ho $\Phi_S(\vec D) = \int_S \vec D \cdot \vec n dS = 2\vec D \cdot \vec n S_b = \sigma S_b$, da cui $\vec D = \sigma/2 \vec n$, analogamente a come si calcola $\vec E$ nel caso di un piano conduttore indefinito.
però tu di D stai considerando solo la componente normale non fai nessun riferimento alla compoenete tangenziale di D
Esatto, ho iniziato supponendo (penso erroneamente) che il campo fosse ortogonale al piano, ottenendo il risultato di cui sopra. Non supponendo che $\vec D$ sia ortogonale al piano, non saprei come procedere..
Se al posto di un piano carico avessi avuto, ad esempio, un parallelepipedo conduttore carico, per far sì che $E_t$ si conservi in prossimità della superficie di separazione dei dielettrici, avrei supposto che sulla superficie del conduttore la densità superficiale $\sigma$ fosse diversa nelle zone a sinistra o destra (riferendomi al disegno) della zona in cui $k$ cambia.
In questo caso però, la densità di carica è fissata, e non ho idea di come calcolare $\vec E$ ovunque..
Se al posto di un piano carico avessi avuto, ad esempio, un parallelepipedo conduttore carico, per far sì che $E_t$ si conservi in prossimità della superficie di separazione dei dielettrici, avrei supposto che sulla superficie del conduttore la densità superficiale $\sigma$ fosse diversa nelle zone a sinistra o destra (riferendomi al disegno) della zona in cui $k$ cambia.
In questo caso però, la densità di carica è fissata, e non ho idea di come calcolare $\vec E$ ovunque..
Scusa sono un po'rinco, ma ancora non riesco a capire da dove sorga il dubbio. Se tu consdieri il campo induzione D solo peperndicolare al piano, e ti ricavi il campo elettrico E dalla legge costitutiva del campo, sai che E e D sono paralleli, quindi quei due valori di E che hai trovato riguardano E normale al piano, non tangeziale (dove E si conserva)....
Aspettiamo qualcuno decisamente più pretparato di me che ti possa dare qualche consiglio utile
Aspettiamo qualcuno decisamente più pretparato di me che ti possa dare qualche consiglio utile
Esatto, $\vec E$ è normale al piano carico; risulta però tangente alla superficie di separazione fra i due dielettrici (probabilmente mi sono espresso male, scusa!).
Si ecco non ho capito perchè dici che E risulta tangete
nel sneso, prendi il pezzo di vuoto, lì hai D ed E ortogonali al piano conduttore, "sbattono" poi sulla superficie di discontinuità, D si conserva totalemnte in quanto hai solo componenete normale di D, E si conserva tangenzialemente, ed essendo prima la compoenete tangeziale =0, lo sarà anche dopo il passaggio nell'altro dielettrico, in pratica cambia solo il modulo di E
Esatto: ora, nel primo dielettrico $\|\vec E\|$ diminuirà di $k_1$, mentre nel secondo di $k_2$.
Le linee di campo indicate nel disegno di sopra sono tangenti alla superficie di separazione fra i due dielettrici, però son diverse in modulo.. è questo il mio problema
Le linee di campo indicate nel disegno di sopra sono tangenti alla superficie di separazione fra i due dielettrici, però son diverse in modulo.. è questo il mio problema
Aaaaaaaaahhh, alla superfice verticale dici te?? Per quello non capivo niente 
Hehe mi son spiegato male!
mi son spiegato male!
e si ho detto proprio una ca...ta il campo elettrico all'interno di quei due penso sia uguale, anche perchè si sa che $E=U/d$ e i due hanno la stessa altezza
il campo elettrico all'interno di quei due penso sia uguale, anche perchè si sa che $E=U/d$ e i due hanno la stessa altezza
Ho pensato anch'io così! Solo che in questa situazione, procedendo a ritroso, supponendo che i campi $\vec E_1$ e $\vec E_2$ siano uguali dentro i dielettrici, uscendo nella zona superiore dovrebbero aumentare in modulo rispettivamente di $k_1$ e $k_2$, creando nuovamente una discontinuità tangenziale (nella semiretta ottenuta prolungando il segmento che sepera i due). ARGH! 
eh già, ho capito finalemente
il fatto è se non sbaglio il tutto può essere visto come due condesatori in parallelo coio dieletterici, in serie con un condesatore vuoto...E questi singoli condesatori non possono avere il campo non perpendicolare alle armature, non so aspettiamo
il fatto è se non sbaglio il tutto può essere visto come due condesatori in parallelo coio dieletterici, in serie con un condesatore vuoto...E questi singoli condesatori non possono avere il campo non perpendicolare alle armature, non so aspettiamo
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