Campo elettrostatico in presenza di dielettrici
Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà a determinare il campo elettrostatico $\vec E$ nel caso seguente:
Ho supposto di avere un piano indefinito uniformemente carico con densità di carica superficiale $\sigma$, e due parallelepipedi dielettrici infinitamente estesi (non in altezza, sia questa $h$), distanti $d$ dal piano, così come in figura:
I dielettrici hanno entrambi costante dielettrica relativa uguale ovunque, ma diversa fra loro (siano queste $k_1$ e $k_2$).
Vorrei ora determinare il campo $\vec E$ e i campi $\vec D$ e $\vec P$ nelle varie regioni. Suppongo di orientare l'asse $z$ ortogonalmente al piano.
Ho iniziato supponendo (penso erroneamente) che il campo $\vec D$ fosse ortogonale al piano ma, procedendo per questa via, giungo ad una contraddizione: preso un parallelepipedo $P$ che racchiuda il piano, di superficie $S$ e altezza $z$, ottengo $\Phi_P(\vec D) = 2\|\vec D\|S = \sigma S$, da cui $\vec D = \sigma/2 \hat k$. Ricavando ora il campo $\vec E$ nelle zone in cui c'è dielettrico, ottengo $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_1} \hat k$ nella prima e $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_2} \hat k$ nella seconda . Ciò risulta però incompatibile col fatto che il campo $\vec E$, essendo per ipotesi tangente alle superfici di separazione dei due dielettrici (è normale al piano carico), debba essere uguale nelle due parti, in una zona infinitamente vicina (a sinistra e a destra) alla separazione.
Quindi, penso che il problema dipenda dal fatto che il campo $\vec D$, così come il campo $\vec E$, non sia ortogonale al piano carico (penso che sia così poiché eventuali cariche di polarizzazione disposte sulla superficie di separazione dei due dielettrici darebbero un contributo al campo $\vec E$, in quantità non ortogonale al piano carico).
Come posso determinare i campi che mi interessano?
Grazie per eventuali suggerimenti!
Ho supposto di avere un piano indefinito uniformemente carico con densità di carica superficiale $\sigma$, e due parallelepipedi dielettrici infinitamente estesi (non in altezza, sia questa $h$), distanti $d$ dal piano, così come in figura:
I dielettrici hanno entrambi costante dielettrica relativa uguale ovunque, ma diversa fra loro (siano queste $k_1$ e $k_2$).
Vorrei ora determinare il campo $\vec E$ e i campi $\vec D$ e $\vec P$ nelle varie regioni. Suppongo di orientare l'asse $z$ ortogonalmente al piano.
Ho iniziato supponendo (penso erroneamente) che il campo $\vec D$ fosse ortogonale al piano ma, procedendo per questa via, giungo ad una contraddizione: preso un parallelepipedo $P$ che racchiuda il piano, di superficie $S$ e altezza $z$, ottengo $\Phi_P(\vec D) = 2\|\vec D\|S = \sigma S$, da cui $\vec D = \sigma/2 \hat k$. Ricavando ora il campo $\vec E$ nelle zone in cui c'è dielettrico, ottengo $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_1} \hat k$ nella prima e $\vec E = \sigma/{2 \varepsilon_0 k_2} \hat k$ nella seconda . Ciò risulta però incompatibile col fatto che il campo $\vec E$, essendo per ipotesi tangente alle superfici di separazione dei due dielettrici (è normale al piano carico), debba essere uguale nelle due parti, in una zona infinitamente vicina (a sinistra e a destra) alla separazione.
Quindi, penso che il problema dipenda dal fatto che il campo $\vec D$, così come il campo $\vec E$, non sia ortogonale al piano carico (penso che sia così poiché eventuali cariche di polarizzazione disposte sulla superficie di separazione dei due dielettrici darebbero un contributo al campo $\vec E$, in quantità non ortogonale al piano carico).
Come posso determinare i campi che mi interessano?
Grazie per eventuali suggerimenti!
Risposte
Grazie comunque per l'aiuto 
sai cos'è forse: che qui non abbiamo una superficie di discontinuità senza una carica superficiale, perchè effettivamente abbiamo una carica di polarizzazione che si crea sulla superficie di discontinuità. $D_{1n}-D_{2n}=sigma_C$, e se la carica superficiale è assente allora le due componeneti normali si conservano.
Il problema è che il flusso di $\vec D$ dipende solo dalle cariche libere, quindi eventuali cariche di polarizzazione presenti non dovrebbero dar luogo ad una discontinuità di $D_n$.
Pur essendo una soluzione approssimata, le linee di campo non risultano affatto tangenti alla superficie di separazione tra i dielettrici:
L'immagine è stata ottenuta con l'ausilio di un applet java trovato online.
L'immagine è stata ottenuta con l'ausilio di un applet java trovato online.
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