Campo elettrico tra due elettrodi
Salve a tutti
ho il seguente esercizio in cui non ho ben chiare varie cose.
Il testo dice :
Si hanno due elettrodi posti in $x=a$ e $x=-a$ in cui è presente del materiale con cost diel relativa =1 e resistività non omogenea che varia con x $rho(x)$.
A $t=0$, viene applicata una fem $V_0$ che viene mantenuta costante.
Scrivere $E(x)$ a $t=0$ e a regime stazionario per $t=oo $
Inoltre All’equilibrio è presente carica distribuita nel volume del materiale fra gli elettrodi? Come è
distribuita? E qual è la corrente $I∞$ che fluisce?
Stavo ragionando sull'esercizio e ho calcolato la resistenza totale del materiale.
Successivamente, ho applicato l'operatore divergenza al campo elettrico poiché $nabla \cdot vec(E) = rho/epsilon$ e dato che inizialmente i due elettrodi non sono carichi, $rho=0$ (densità) e il campo è costante poiché $ d/dx E_x = rho/epsilon =0 $
Ora però il mio professore afferma che $nabla \cdot J$ è diversa da 0 poiché $vec(J)=vec(E)/rho(x)$ e per la condizione di continuità della carica, ciò porta a accumuli di carica nel volume e riesce a trovare un valore a $nabla \cdot vec(J) $ .
Gia qui non mi trovo ... Se applico l'operatore divergenza a J mi viene che $nabla \cdot vec(J) = d/dt rho$ e avevo calcolato poco fa che la densità è 0.
Dove sbaglio?
Un'altra domanda. Se viene applicata una FEM a t=0, nel condensatore, in quell'istante, non dovrebbe esserci campo elettrostatico 0, dato che le cariche non si sono ancora mosse?
PS Ho inteso "elettrodi" come "conduttore piano scarico". Provo a risolvere
ho il seguente esercizio in cui non ho ben chiare varie cose.
Il testo dice :
Si hanno due elettrodi posti in $x=a$ e $x=-a$ in cui è presente del materiale con cost diel relativa =1 e resistività non omogenea che varia con x $rho(x)$.
A $t=0$, viene applicata una fem $V_0$ che viene mantenuta costante.
Scrivere $E(x)$ a $t=0$ e a regime stazionario per $t=oo $
Inoltre All’equilibrio è presente carica distribuita nel volume del materiale fra gli elettrodi? Come è
distribuita? E qual è la corrente $I∞$ che fluisce?
Stavo ragionando sull'esercizio e ho calcolato la resistenza totale del materiale.
Successivamente, ho applicato l'operatore divergenza al campo elettrico poiché $nabla \cdot vec(E) = rho/epsilon$ e dato che inizialmente i due elettrodi non sono carichi, $rho=0$ (densità) e il campo è costante poiché $ d/dx E_x = rho/epsilon =0 $
Ora però il mio professore afferma che $nabla \cdot J$ è diversa da 0 poiché $vec(J)=vec(E)/rho(x)$ e per la condizione di continuità della carica, ciò porta a accumuli di carica nel volume e riesce a trovare un valore a $nabla \cdot vec(J) $ .
Gia qui non mi trovo ... Se applico l'operatore divergenza a J mi viene che $nabla \cdot vec(J) = d/dt rho$ e avevo calcolato poco fa che la densità è 0.
Dove sbaglio?
Un'altra domanda. Se viene applicata una FEM a t=0, nel condensatore, in quell'istante, non dovrebbe esserci campo elettrostatico 0, dato che le cariche non si sono ancora mosse?
PS Ho inteso "elettrodi" come "conduttore piano scarico". Provo a risolvere
Risposte
Non capisco perché a t=0 ho che $ E=V_0/(2a) $ .
A t=0, la tensione sul condensatore è 0 .
Io ho risolto l'esercizio facendo un equivalente circuito RLC dove ho calcolato C come $C=(A*epsilon_0)/(2a) $.
Da li ho fatto
${ ( RC d/dt v(t) + v(t)=V_0 ),( v(0)=0 ):}$
Risolto ciò mi viene $v(t)= V_0(1-e^(t/(RC))) $
che per t=0 mi da 0.
Probabile cha abbia sbagliato nello scrivere che a t=0 sia uguale a 0 ?
Oltre a ciò, potresti aiutarmi a capire alcune cose?
Io sto provando ad immaginare cosa possa succedere fisicamente.
Inizialmente il condensatore è scarico ($q=0$ e $V=0$) e tra le facce del conduttore, prima che venga applicata la FEM, non c'è campo e quindi non c'è differenza di potenziale .
Forse sono io che non ci capisco un bel nulla, ma mi sono fatto 3 esempi per cui mi viene questo benedetto campo E = 0 e quindi DDP = 0 .
Ho googlato anche un po' ( oltre ad aver visto i miei appunti di elettrotecnica ) e la formula di un circuito RC con eccitazione costante è quella che ho riportato che mi restituisce V=0 a t=0..
Subito dopo viene applicata la FEM che quindi porta una differenza di potenziale di V_0 ai capi del generatore e il condensatore inizia a caricarsi.. ( Ma dalle soluzione sembrerebbe che la tensione sul condensatore a t=0 sia V_0. Come è possibile?).
Se mi aiutassi a ragionare, ti ringrazierei tantissimo.
PS Ho trovato un risultato con tanto di risoluzione qui
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 645AArQqHF
Mi trovo con la risposta data qui...
A t=0, la tensione sul condensatore è 0 .
Io ho risolto l'esercizio facendo un equivalente circuito RLC dove ho calcolato C come $C=(A*epsilon_0)/(2a) $.
Da li ho fatto
${ ( RC d/dt v(t) + v(t)=V_0 ),( v(0)=0 ):}$
Risolto ciò mi viene $v(t)= V_0(1-e^(t/(RC))) $
che per t=0 mi da 0.
Probabile cha abbia sbagliato nello scrivere che a t=0 sia uguale a 0 ?
Oltre a ciò, potresti aiutarmi a capire alcune cose?
Io sto provando ad immaginare cosa possa succedere fisicamente.
Inizialmente il condensatore è scarico ($q=0$ e $V=0$) e tra le facce del conduttore, prima che venga applicata la FEM, non c'è campo e quindi non c'è differenza di potenziale .
Forse sono io che non ci capisco un bel nulla, ma mi sono fatto 3 esempi per cui mi viene questo benedetto campo E = 0 e quindi DDP = 0 .
Ho googlato anche un po' ( oltre ad aver visto i miei appunti di elettrotecnica ) e la formula di un circuito RC con eccitazione costante è quella che ho riportato che mi restituisce V=0 a t=0..
Subito dopo viene applicata la FEM che quindi porta una differenza di potenziale di V_0 ai capi del generatore e il condensatore inizia a caricarsi.. ( Ma dalle soluzione sembrerebbe che la tensione sul condensatore a t=0 sia V_0. Come è possibile?).
Se mi aiutassi a ragionare, ti ringrazierei tantissimo.
PS Ho trovato un risultato con tanto di risoluzione qui
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 645AArQqHF
Mi trovo con la risposta data qui...
"Andp":
Non capisco perché a t=0 ho che $ E=V_0/(2a) $ .
A t=0, la tensione sul condensatore è 0 .
Da quello che può essere dedotto dal testo, al tempo $t=0^-$ la tensione è nulla mentre al tempo $t=0^+$ viene forzata a $V_0$; non potremmo suppore altrimenti visto che non specifica altro.
Chiaramente si tratta di una rete degenere nella quale la carica viene portata sulle armature grazie ad un impulso di corrente iniziale
$i(t)=CV_0 \delta(t)$
"Andp":
... Io ho risolto l'esercizio facendo un equivalente circuito RLC dove ...
${ ( RC d/dt v(t) + v(t)=V_0 ),( v(0)=0 ):}$
Quell'equazione differenziale è relativa ad un R C serie mentre qui la resistenza, essendo "interna" a C, risulta invece in parallelo alla capacità.
"Andp":
... Io sto provando ad immaginare cosa possa succedere fisicamente.
Quello che "succede" ho cercato di indicarlo nel thread che ti ho linkato e non vado a ripetertelo visto che suppongo tu l'abbia già letto.
"Andp":
...Inizialmente il condensatore è scarico ($q=0$ e $V=0$) e tra le facce del conduttore, prima che venga applicata la FEM, non c'è campo e quindi non c'è differenza di potenziale .
Certo, per t < 0 è così.
"Andp":
... PS Ho trovato un risultato con tanto di risoluzione qui
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 645AArQqHF
Mi trovo con la risposta data qui...
Io no, in quanto come ti dicevo questo non è un circuito R C serie, ma parallelo e di conseguenza la stessa tensione sarà presente ai morsetti del resistore e del condensatore, che non saranno invece attraversati dalla stessa corrente se non dopo un tempo infinito, allorchè l'annullarsi della divergenza della densità di corrente porterà a $J(\infty)=J_{\infty}$ costante.
Ok ma ciò che vorrei capire è quello che succede fisicamente non analiticamente.
Se ti scoccia di rispondere, non me la prenderei perché capisco che hai già provato a spiegare qualcosa nell'altro thread, ma scusami non mi è bastato e se qualcuno quando ha tempo può aiutarmi, gliene sarei grato.Mi dispiace ma sto avendo difficoltà soltanto con questo esercizio e non capisco come mai.
Ho capito che è una rete degenere e che in un istante viene caricato il condensatore con una delta di Dirac del valore di $CV_0 delta(t) $ . Quindi fisicamente avviene uno spostamento di protoni dal g.re alla faccia a cui è collegato il polo positivo del g.re.
Qui il primo dubbio : gli elettrodi sono dei veri e propri conduttori? Posso sostituire la parola elettrodi con conduttori?
Andando avanti : Per induzione completa, la prima fase del processo porta ad allontanare le cariche positive dall'elettrodo opposto cosicché , quest'ultima diventi carica negativamente.
Ho quindi che tra le due facce c'è una differenza di potenziale $V_0$.
Da questo punto in poi, non ho capito più nulla.
Non riesco a capire se, e se fosse cosi, come farebbe a scorrere della corrente all'interno, tra i due elettrodi.
Non riesco a capire perché, se a t=0, viene impostata questa ddp di V0 , continua a scorrere corrente.
Grazie Renzo e grazie a chi mi aiuterà!
Se ti scoccia di rispondere, non me la prenderei perché capisco che hai già provato a spiegare qualcosa nell'altro thread, ma scusami non mi è bastato e se qualcuno quando ha tempo può aiutarmi, gliene sarei grato.Mi dispiace ma sto avendo difficoltà soltanto con questo esercizio e non capisco come mai.
Ho capito che è una rete degenere e che in un istante viene caricato il condensatore con una delta di Dirac del valore di $CV_0 delta(t) $ . Quindi fisicamente avviene uno spostamento di protoni dal g.re alla faccia a cui è collegato il polo positivo del g.re.
Qui il primo dubbio : gli elettrodi sono dei veri e propri conduttori? Posso sostituire la parola elettrodi con conduttori?
Andando avanti : Per induzione completa, la prima fase del processo porta ad allontanare le cariche positive dall'elettrodo opposto cosicché , quest'ultima diventi carica negativamente.
Ho quindi che tra le due facce c'è una differenza di potenziale $V_0$.
Da questo punto in poi, non ho capito più nulla.
Non riesco a capire se, e se fosse cosi, come farebbe a scorrere della corrente all'interno, tra i due elettrodi.
Non riesco a capire perché, se a t=0, viene impostata questa ddp di V0 , continua a scorrere corrente.
Grazie Renzo e grazie a chi mi aiuterà!
"Andp":
... vorrei capire è quello che succede fisicamente non analiticamente.
Mi sa che sarà difficile comunque, visto che ho un po' di tempo da perdere, posso provarci .
"Andp":
... Se ti scoccia di rispondere, non me la prenderei ...
... son davvero fortunato
... lo so che è sempre un "rischio" rispondere. 
"Andp":
... Ho capito che è una rete degenere e che in un istante viene caricato il condensatore con una delta di Dirac del valore di $CV_0 delta(t) $ .
Bene, e quindi (forse) concordi anche nella conseguente istantanea comparsa di un campo elettrico uniforme in tutto il materiale di valore $E=(V_0)/(2a)$ per t=0, no?
"Andp":
... Quindi fisicamente avviene uno spostamento di protoni dal g.re alla faccia a cui è collegato il polo positivo del g.re.
I protoni mi sa che non hanno nessuna intenzione di spostarsi, sono gli elettroni che si spostano, in senso inverso.
"Andp":
... Qui il primo dubbio : gli elettrodi sono dei veri e propri conduttori? Posso sostituire la parola elettrodi con conduttori?
Si.
"Andp":
... Ho quindi che tra le due facce c'è una differenza di potenziale $V_0$.
Proprio così, un generatore di tensione ideale andrà a forzare e a mantenere la tensione fra i due elettrodi al valore V0, costante nel tempo, via impulso di corrente iniziale per t=0.
"Andp":
...Non riesco a capire se, e se fosse cosi, come farebbe a scorrere della corrente all'interno, tra i due elettrodi.
Come ben sai in un "materiale" (come lo chiama il testo) che presenta una resistività non infinita, sottoposto ad una differenza di potenziale V e quindi localmente ad un campo elettrico E, viene a circolare una corrente elettrica I, ovvero localmente una densità di corrente J ad esso proporzionale.
$J=E/\rho$
(Legge di Ohm locale)
Nel nostro caso particolare, per t=0, essendo E costante ma non essendolo la resistività [nota]Visto che con $\rho$ indichiamo la resistività, dobbiamo usare un'altra lettera per la densità di carica volumetrica, per esempio, $\lambda$.[/nota] $\rho$, avremo che detta densità dipenderà dalla coordinata x, concordi?
Ne segue che la tensione V0 applicata porterà nelle diverse sezioni del "materiale" a far circolare una densità di corrente J che dipenderà sia dalla coordinata x sia dal tempo t, e al tempo t=0, avrà un diverso valore funzione di x (nell'intervallo -a
"Andp":
...Non riesco a capire perché, se a t=0, viene impostata questa ddp di V0 , continua a scorrere corrente.
Continua a scorrere perché non siamo in presenza di un semplice condensatore con dielettrico isolante, ma abbiamo a che fare con un condensatore con dielettrico "conduttore".
Fin qui come sono andato? ... è in qualche modo comprensibile quello che ho (malamente) cercato di spiegare?
Ok per ora ci sono perfettamente
Quindi successivamente, inizia a scorrere della corrente e ciò fa in modo che nel volume il campo non è più uniforme per ogni punto, rimanendo però sempre valida la relazione $V_0=int_(-a)^(+a) E(x) \cdot dx$
Lo scorrere della corrente quindi, avviene perchè si è accumulata carica sulla faccia di uno dei due elettrodi e sull'altra deve presentarsi una egual carica di segno opposto? O questo non vale quando di mezzo non c'è dell'isolante?
Inoltre perché fisicamente la densità di carica diventa costante per t-> +00 ?
Quindi successivamente, inizia a scorrere della corrente e ciò fa in modo che nel volume il campo non è più uniforme per ogni punto, rimanendo però sempre valida la relazione $V_0=int_(-a)^(+a) E(x) \cdot dx$
Lo scorrere della corrente quindi, avviene perchè si è accumulata carica sulla faccia di uno dei due elettrodi e sull'altra deve presentarsi una egual carica di segno opposto? O questo non vale quando di mezzo non c'è dell'isolante?
Inoltre perché fisicamente la densità di carica diventa costante per t-> +00 ?
"Andp":
... Quindi successivamente, inizia a scorrere della corrente e ciò fa in modo che nel volume il campo non è più uniforme per ogni punto, rimanendo però sempre valida la relazione $V_0=int_(-a)^(+a) E(x) \cdot dx$
Proprio così!
"Andp":
... Lo scorrere della corrente quindi, avviene perchè si è accumulata carica sulla faccia di uno dei due elettrodi
No, la carica una volta accumulata sulle armature non cambia nel tempo, la carica necessaria per la corrente viene
continuamente fornita dal generatore, che fornisce anche l'energia associata alla dissipazione per effetto Joule associata.
"Andp":
... Inoltre perché fisicamente la densità di carica diventa costante per t-> +00 ?
Per capirlo prova a disegnare (sovrapponendoli) gli andamenti del campo elettrico $E(x)$, della resistività $\rho(x)$ e della densità di corrente $J(x)$ in funzione di x (per -a
Ci proverò !
Che la carica rimane costante sulle armature c'era da immaginarlo dato che la carica è data dal prodotto di due costanti.
Quello che intendevo dire è che se, data la presenza di materiale conduttore nel mezzo, si crea per induzione completa, lo stesso dalla parte opposta.
Grazie tante Renzo!
Ps mi rispondo da solo.. Si ...
Questo maledetto materiale conduttore
Che la carica rimane costante sulle armature c'era da immaginarlo dato che la carica è data dal prodotto di due costanti
.Quello che intendevo dire è che se, data la presenza di materiale conduttore nel mezzo, si crea per induzione completa, lo stesso dalla parte opposta.
Grazie tante Renzo!
Ps mi rispondo da solo.. Si ...
Questo maledetto materiale conduttore
"Andp":
Ci proverò !
Se posti gli andamenti ne possiamo parlare; se per esempio la resistività ha andamento cosinusoidale, come nel testo del thread che ti ho linkato, il discorso sarà semplificato e diciamo anche "curioso", visto che per t=0+ le densità J(-a) e J(a) risultano uguali, non credi?
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