Campo elettrico non uniforme in un cubo
Nello spazio interno ad un cubo di spigolo \(\displaystyle L = 0.02m \) è presente un campo elettrostatico diretto lungo l'asse delle y con andamento \(\displaystyle E_y = 10^4+2 \cdot 10^8y^2 \)
A) Individuare, se esistono, le superfici equipotenziali (giustificare)
B) Calcolare il lavoro necessario per portare una carica di prova \(\displaystyle q = 5 \cdot 10^{-9} C \) dall'origine allo spigolo opposto (indicato con A in figura)
C) Calcolare il flusso attraverso le 6 superfici del cubo
Vorrei discutere della risoluzione dell'esercizio con voi
Il punto A non ho idea di come farlo.
Per il punto B avevo pensato di ricorrere all'integrale \(\displaystyle q\int_{0}^{L}\underset{E}{\rightarrow}\underset{dl}{\rightarrow} \) e quindi \(\displaystyle q\int_{0}^{L}10^4+2 \cdot 10^8y^2\: \: dy \) ma non so se è giusto...
Per il punto C avevo pensato che l'unica superficie effettivamente attraversata dal flusso è solo quella superiore (ricordiamo che il campo è interno al cubo, almeno così ho capito dalla prima frase della traccia). Quindi:
\(\displaystyle \phi_E = ES\cos 0 = (10^4+2 \cdot 10^8y^2)\: 0.02^2 \)
ma la superficie superiore si trova a y = 0.02 quindi
\(\displaystyle \phi_E = 90000 \cdot 4 \cdot 10^{-4} = 36 \frac{Nm^2}{C}\)
Che ne dite?
Grazie in anticipo!
A) Individuare, se esistono, le superfici equipotenziali (giustificare)
B) Calcolare il lavoro necessario per portare una carica di prova \(\displaystyle q = 5 \cdot 10^{-9} C \) dall'origine allo spigolo opposto (indicato con A in figura)
C) Calcolare il flusso attraverso le 6 superfici del cubo
Vorrei discutere della risoluzione dell'esercizio con voi
Il punto A non ho idea di come farlo.
Per il punto B avevo pensato di ricorrere all'integrale \(\displaystyle q\int_{0}^{L}\underset{E}{\rightarrow}\underset{dl}{\rightarrow} \) e quindi \(\displaystyle q\int_{0}^{L}10^4+2 \cdot 10^8y^2\: \: dy \) ma non so se è giusto...
Per il punto C avevo pensato che l'unica superficie effettivamente attraversata dal flusso è solo quella superiore (ricordiamo che il campo è interno al cubo, almeno così ho capito dalla prima frase della traccia). Quindi:
\(\displaystyle \phi_E = ES\cos 0 = (10^4+2 \cdot 10^8y^2)\: 0.02^2 \)
ma la superficie superiore si trova a y = 0.02 quindi
\(\displaystyle \phi_E = 90000 \cdot 4 \cdot 10^{-4} = 36 \frac{Nm^2}{C}\)
Che ne dite?
Grazie in anticipo!
Risposte
Il punto B) mi pare giusto.
Il punto A) è incluso in B), vista la definizione del potenziale: le superfici equipotenziali sono i piani paralleli a xz
Per il punto C) devi tener conto anche del flusso entrante nella faccia inferiore
Il punto A) è incluso in B), vista la definizione del potenziale: le superfici equipotenziali sono i piani paralleli a xz
Per il punto C) devi tener conto anche del flusso entrante nella faccia inferiore
Grazie mille per la risposta!
Ma il campo elettrico non si trova all'interno del cubo? Come può qualcosa che sta dentro "trafiggere" ciò che sta fuori?
Mi spiego meglio
Le linee di campo partono dall'interno del cubo, come possono attraversare quella superficie inferiore?
"mgrau":
Per il punto C) devi tener conto anche del flusso entrante nella faccia inferiore
Ma il campo elettrico non si trova all'interno del cubo? Come può qualcosa che sta dentro "trafiggere" ciò che sta fuori?
Mi spiego meglio
Le linee di campo partono dall'interno del cubo, come possono attraversare quella superficie inferiore?
Beh, se la mettiamo così, allora non "trafigge" neanche quella superiore, e ci troviamo con un bel flusso zero....
"mgrau":
Beh, se la mettiamo così, allora non "trafigge" neanche quella superiore, e ci troviamo con un bel flusso zero....
Allora converrai con me che, magari per chi ne sa poco come me, il testo dell'esercizio può sembrare fuorviante scritto così.
Ad ogni modo ho calcolato il flusso anche attraverso la faccia inferiore:
Si ha che y = 0 quindi \(\displaystyle E_y = 10^4 \)
\(\displaystyle \phi_E = ES = 4 \: \frac{Nm^2}{C} \)
Ora sapendo che il flusso sulla faccia superiore è 36 e su quella inferiore è 4 e sapendo che le due superfici hanno la normale diretta in verso opposto si ha che il flusso totale è
\(\displaystyle \phi_E = 36-4 = 32 \frac{Nm^2}{C} \)
L'esercizio chiede (mi son dimenticato di scriverlo nel post principale) di ricavare la carica interna al cubo SIA utilizzando il flusso appena calcolato SIA utilizzando la densità di carica
[size=110]Utilizzando il flusso appena calcolato[/size]
Per la Legge di Gauss vale che
\(\displaystyle Q_{int} = \phi_E \cdot \varepsilon_0 = 32\cdot (8.9 \cdot 10^{-12})\approx 2.8 \cdot 10^{-10} \)
[size=110]Utilizzando la densità di carica[/size]
Utilizzo la divergenza del campo elettrico per ricavare la densità di carica di volume
\(\displaystyle div^{\underset{E}{\rightarrow}} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \)
ciò vale a dire
\(\displaystyle \rho = \frac{div^{\underset{E}{\rightarrow}}}{\varepsilon_0} = 4\cdot 10^8y \)
Sappiamo bene che moltiplicando la densità di carica con il volume otteniamo la carica totale:
\(\displaystyle Q = \rho \cdot volume = 4 \cdot 10^8y \cdot (0.02)^3 = 3200y \)
che oibò varia in funzione di y
Come procedo?
"DeltaEpsilon":
Sappiamo bene che moltiplicando la densità di carica con il volume otteniamo la carica totale:
\(\displaystyle Q = \rho \cdot volume = 4 \cdot 10^8y \cdot (0.02)^3 = 3200y \)
Sarebbe così se la densità fosse costante, ma così non è.... bisogna integrare $rho(y) dV$
"mgrau":
Sarebbe così se la densità fosse costante, ma così non è.... bisogna integrare $rho(y) dV$
\(\displaystyle \int_{0}^{L}\rho(y)dv = \int_{0}^{0.02}3200y\:dy = 1600[\, y^2\, ]^{0.02}_0 = 0.64\, C \)
Che ancora non coincide con quella calcolata col teorema di Gauss
"DeltaEpsilon":
... Che ancora non coincide con quella calcolata col teorema di Gauss
\(Q=\displaystyle \int_{V }^{ }\rho(y)\ \text{d}V = \int_{0}^{0.02}\epsilon_0 \ (\nabla \cdot \vec E )\ S \ \text{d}y\approx 2.83 \times 10^{-10}\ \text{C}\)
"RenzoDF":
[quote="DeltaEpsilon"] ... Che ancora non coincide con quella calcolata col teorema di Gauss
\(Q=\displaystyle \int_{V }^{ }\rho(y)\ \text{d}V = \int_{0}^{0.02}\epsilon_0 \ (\nabla \cdot \vec E )\ S \ \text{d}y\approx 2.83 \times 10^{-10}\ \text{C}\)[/quote]
Scusami se rispondo dopo un po' di tempo, ho avuto altri esami nel frattempo...
Volevo chiederti... perchè nel secondo integrale (oltre a epsilon e divergenza di E) moltiplichi per S?
"DeltaEpsilon":
... perchè nel secondo integrale (oltre a epsilon e divergenza di E) moltiplichi per S?
Semplicemente perché il volume infinitesimo è
\(\text{d}V =S \ \text{d}y\)
"RenzoDF":
[quote="DeltaEpsilon"] ... perchè nel secondo integrale (oltre a epsilon e divergenza di E) moltiplichi per S?
Semplicemente perché il volume infinitesimo è
\(\text{d}V =S \ \text{d}y\)[/quote]
Grazie... non ci avevo pensato
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