Campo elettrico nel vuoto
Buongiorno, qualcuno può aiutarmi con quest'esercizio, per favore? 
"Su una superficie molto estesa, è distribuita una carica con densità $\sigma$. Un piccolo foro circolare di raggio a viene ricavato nel punto centrale del foglio. Si calcoli il campo elettrico in un punto ad una distanza z dal foro, lungo il suo asse."
In pratica, abbiamo un foglio carico di estensione indefinita con, al centro, un foro con un certo raggio. Il campo lungo l'asse z (che ha origine nel centro del foro) sarà diretto lungo l'asse z, ed avrà verso positivo per z positivo e negativo per z negativo.
$\vecE_0=\vecE_(lastra)-\vecE_(buco), con \vecE_(lastra)=\sigma/(2*\epsilon_0)*\hatz$, per z positivo; $-\sigma/(2*\epsilon_0)*\hatz$, per z negativo.
E fin qui ci siamo. Ora però dobbiamo calcolare il campo dato dal foro.
Apro un parentesi: in un esercizio precedente, avevo calcolato il potenziale $dV=(dq)/(4*pi*\epsilon_0*sqrt(z^2+r^2))=(\sigma*r*dr)/(2*\epsilon_0*sqrt(z^2+r^2))$ e, dopo l'integrazione tra 0 e a, avevo ottenuto $V=\sigma/(2*\epsilon_0)*(sqrt(z^2+a^2)-z)$, che è giusto.
Se utilizzo questo risultato ora, sapendo che il campo è l'opposto del gradiente del potenziale e considerando z positivo, ottengo $E_(buco)=-\sigma/(2*\epsilon_0)*(z/sqrt(z^2+a^2)-1)$. Da cui, sempre per z positivo, ottengo $E_0=\sigma/(2*\epsilon_0)*z/sqrt(z^2+a^2)$, che è giusto.
Però se avessi voluto utilizzare direttamente il campo, senza passare prima per il potenziale, perché mi esce diverso? Cioè, se avessi fatto così: $dE_(buco)=(dq)/(4*pi*\epsilon_0*(z^2+r^2))=(\sigma*r*dr)/(2*\epsilon_0*(z^2+r^2))$. Integrando tra 0 e a, ottengo un risultato con il logaritmo, che è quindi diverso da quello (giusto) di prima. Non capisco perché non si possa fare in questa maniera. In realtà, il Prof. si calcola il risultato senza passare per il potenziale, e quindi direttamente usando il campo, tuttavia fa anche un ragionamento sugli angoli...
Grazie 1000!
"Su una superficie molto estesa, è distribuita una carica con densità $\sigma$. Un piccolo foro circolare di raggio a viene ricavato nel punto centrale del foglio. Si calcoli il campo elettrico in un punto ad una distanza z dal foro, lungo il suo asse."
In pratica, abbiamo un foglio carico di estensione indefinita con, al centro, un foro con un certo raggio. Il campo lungo l'asse z (che ha origine nel centro del foro) sarà diretto lungo l'asse z, ed avrà verso positivo per z positivo e negativo per z negativo.
$\vecE_0=\vecE_(lastra)-\vecE_(buco), con \vecE_(lastra)=\sigma/(2*\epsilon_0)*\hatz$, per z positivo; $-\sigma/(2*\epsilon_0)*\hatz$, per z negativo.
E fin qui ci siamo. Ora però dobbiamo calcolare il campo dato dal foro.
Apro un parentesi: in un esercizio precedente, avevo calcolato il potenziale $dV=(dq)/(4*pi*\epsilon_0*sqrt(z^2+r^2))=(\sigma*r*dr)/(2*\epsilon_0*sqrt(z^2+r^2))$ e, dopo l'integrazione tra 0 e a, avevo ottenuto $V=\sigma/(2*\epsilon_0)*(sqrt(z^2+a^2)-z)$, che è giusto.
Se utilizzo questo risultato ora, sapendo che il campo è l'opposto del gradiente del potenziale e considerando z positivo, ottengo $E_(buco)=-\sigma/(2*\epsilon_0)*(z/sqrt(z^2+a^2)-1)$. Da cui, sempre per z positivo, ottengo $E_0=\sigma/(2*\epsilon_0)*z/sqrt(z^2+a^2)$, che è giusto.
Però se avessi voluto utilizzare direttamente il campo, senza passare prima per il potenziale, perché mi esce diverso? Cioè, se avessi fatto così: $dE_(buco)=(dq)/(4*pi*\epsilon_0*(z^2+r^2))=(\sigma*r*dr)/(2*\epsilon_0*(z^2+r^2))$. Integrando tra 0 e a, ottengo un risultato con il logaritmo, che è quindi diverso da quello (giusto) di prima. Non capisco perché non si possa fare in questa maniera. In realtà, il Prof. si calcola il risultato senza passare per il potenziale, e quindi direttamente usando il campo, tuttavia fa anche un ragionamento sugli angoli...
Grazie 1000!
Risposte
Perché il campo è vettoriale, ovvero dimentichi di trovare la componente del campo parallela all'asse del foro, sostanzialmente non consideri il coseno $\theta$ dell'angolo formato da $text(d)\vec E$ con $\hat{z}$
$cos\theta=\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}$
quindi il tuo $text(d)\vec E_{buco}$ relativo all'anello carico di spessore $text(d)r$ e raggio $r$ è errato in quanto non hai considerato che, per ogni carica infinitesima $\sigma r \text(d) \varphi text(d) r$ associata ad una frazione angolare $text(d)\varphi$ dell'anello infinitesimo, ci sarà sia un contributo parallelo sia normale a $\hat{z}$.
Essendo questo coseno costante per tutto l'anello infinitesimo per correggere $text(d)\vec E_{buco}$ basterà quindi moltiplicarlo per detto coseno (la somma vettoriale dei contributi normali andrà invece ad annullarsi per l'intero anello elementare).
$cos\theta=\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}$
quindi il tuo $text(d)\vec E_{buco}$ relativo all'anello carico di spessore $text(d)r$ e raggio $r$ è errato in quanto non hai considerato che, per ogni carica infinitesima $\sigma r \text(d) \varphi text(d) r$ associata ad una frazione angolare $text(d)\varphi$ dell'anello infinitesimo, ci sarà sia un contributo parallelo sia normale a $\hat{z}$.
Essendo questo coseno costante per tutto l'anello infinitesimo per correggere $text(d)\vec E_{buco}$ basterà quindi moltiplicarlo per detto coseno (la somma vettoriale dei contributi normali andrà invece ad annullarsi per l'intero anello elementare).
Perfetto, ora ho capito e mi riesce, grazie ancora!
Di nulla. 
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