Campo elettrico guscio sferico

[christian951]

Buongiorno a tutti,sapreste dirmi se ho impostato in maniera corretta questo esercizio?

Un guscio sferico di materiale isolante di raggio interno $ R_1=10cm $ e raggio esterno $ R_2=15cm $ ha una carica pari a $ Q=50mu C $ con densità data dalla legge $ rho=alpha/r^4 $ essendo $ r $ la coordinata radiale rispetto al centro. Determinare il valore del parametro $ alpha $ e del campo elettrico nei punti $ r=5 cm $ ed $ r=12cm $.

Per $ r=5cm $ il campo è nulla in quanto non c'è carica interna.
Per $ r=12cm $ $ => int_AEdA=Q/epsi_0=>E4pir^2=4/3pirhoR^3=>E4pir^2=int_(R_1)^ralpha/r^(4)4/3piR^3dr $ $ => 16/3pi^2alphar^2R^3=(r^3-R_1^3)/(3r^3R_1^3)=>E=(r^3-R_1^3)/(16pi^2alphar^5R^6 $

[mgrau]

"christian95":
Per $ r=12cm $ $ => int_AEdA=Q/epsi_0=>E4pir^2=4/3pirhoR^3$

Non è chiaro questo passaggio. Hai sostituito $Q/epsi_0 = 4/3pirhoR^3$ ?
Ma $4/3pirhoR^3$ non è $Q$, sarebbe la carica di una sfera piena con densità $rho$, e raggio $R$ (quale?).
Per trovare $Q$ dovresti integrare la densità sul volume del guscio da $R_1$ a 12 cm.
E dov'è finito $epsi_0$?

[christian951]

Giusto $ E4pir^2=(rho4/3pi(r^3-R_1^3))/epsi_0 => E4pir^2=int_(R_1)^r(alpha/r^(4)4/3pi(r^3-R_1^3))/epsi_0dr $ $ => Eepsi_(0)16/3pir^2alpha=int_(R_1)^r(r^3-R_1^3)/r^4dr $
Corretto così ?

[mgrau]

"christian95":Giusto $ E4pir^2=(rho4/3pi(r^3-R_1^3))/epsi_0 => E4pir^2=int_(R_1)^r(alpha/r^(4)4/3pi(r^3-R_1^3))/epsi_0dr $ $ => Eepsi_(0)16/3pir^2alpha=int_(R_1)^r(r^3-R_1^3)/r^4dr $
Corretto così ?

No. L'integrale per trovare Q è $int_(R_1)^r rho dV = int_(R_1)^r rho 4 pi r^2 dr =int_(R_1)^r alpha/r^4 4 pi r^2 dr $

[christian951]

OK non ho capito però perchè il dV è $ 4pir^2 $ ?

[mgrau]

"christian95":OK non ho capito però perchè il dV è $ 4pir^2 $ ?

$ 4pir^2 dr $ : volume di un guscio di spessore dr: superficie della sfera per lo spessore

[christian951]

Si,credevo che come volume dovevo considerare sempre $ 4pi(R^2-r^2)dr $