Campo elettrico generato da un arco
Un esercizio mi chiede di calcore il campo elettrico generato da un arco di raggio $R1=10 cm=0.1 m$ di carica distribuita uniformemente $Q=2*10^-6 C$ e di apertura angolare di $120°$ sul punto P. Ecco la figura http://imageshack.us/photo/my-images/690/unledoqm.png/ . Ho proceduto in questo modo.
Sapendo che $lambda=Q/l$ (quindi $(0.1 (10^-3C))/m$) e il campo elettrico E è :
E=$ke int (dq)/(r^2)=$
Essendo $dq=lambda dx$ allora
E=$ke int (lambda dx)/(r^2)=$
essendo $r^2$ una costante me la porto fuori dal segno di integrale
E=$(ke)/(r^2) int (lambda dx)=$
Adesso non capisco quali estremi di integrazione mi devo scegliere per calcolare l'integrale. Chi mi aiuta ? Grazie
Sapendo che $lambda=Q/l$ (quindi $(0.1 (10^-3C))/m$) e il campo elettrico E è :
E=$ke int (dq)/(r^2)=$
Essendo $dq=lambda dx$ allora
E=$ke int (lambda dx)/(r^2)=$
essendo $r^2$ una costante me la porto fuori dal segno di integrale
E=$(ke)/(r^2) int (lambda dx)=$
Adesso non capisco quali estremi di integrazione mi devo scegliere per calcolare l'integrale. Chi mi aiuta ? Grazie
Risposte
Non puoi sommare i vettori come gli scalari. Devi sfruttare la simmetria e, di ogni contributo infinitesimo, considerare solo la componente radiale.
Quindi devo integrare Ex e poi integrare Ey ??
La componente lungo y, sempre che y sia l'asse verticale, è nulla. Per ogni elemento preso sopra l'asse x, ne esiste uno simmetrico preso sotto l'asse x, per cui le due componenti lungo y si annullano. In questo senso parlavo di simmetria. Accade spesso nella teoria e negli esercizi.
Quindi devo calcolarmi solo l'integrale lungo x.
$Ex=ke int (dq)/r^2 cos theta$
dove $cos theta = (x/r)$
Quindi
$Ex=ke int (dq)/r^2 (x/r)=$
$Ex=ke int (dqx)/r^3=$
$Ex=ke int (lambdax dx)/r^3=$
$Ex=(ke lambda)/r^3 int x dx=$
E se i passaggi sono giusti ed ho capito bene allora l'integrale è facile facile. E gli estremi di integrazione ??
$Ex=ke int (dq)/r^2 cos theta$
dove $cos theta = (x/r)$
Quindi
$Ex=ke int (dq)/r^2 (x/r)=$
$Ex=ke int (dqx)/r^3=$
$Ex=ke int (lambdax dx)/r^3=$
$Ex=(ke lambda)/r^3 int x dx=$
E se i passaggi sono giusti ed ho capito bene allora l'integrale è facile facile. E gli estremi di integrazione ??
"pitrineddu90":
Quindi devo calcolarmi solo l'integrale lungo x.
Non è conveniente ragionare in termini di angoli?
indicando con ds un tratto infinitesimo di arco, sotteso da un angolo infinitesimo dteta e posizionato secondo la direzione teta, si ha:
....omissis
Conviene integrare rispetto a $\theta$. Riprendi la prima formula che hai scritto, sostituisci $dq = \lambdard\theta$ e integra tra $-\pi/3$ e $+pi/3$.
Dunque
$Ex=ke int dq/r^2 cos theta$ con $dq=lambdar d theta$
$Ex=ke lambda/r^2 int d theta cos theta$
Naturalmente gli estremi di integrazione devono essere $(pi/3)$ e $(-pi/3)$ (Non so come si mettono i simboli agli estremi di integrali)
E poi ? Non ho mai integrato angoli ma penso che il procedimento sia analogo.
$Ex=ke int dq/r^2 cos theta$ con $dq=lambdar d theta$
$Ex=ke lambda/r^2 int d theta cos theta$
Naturalmente gli estremi di integrazione devono essere $(pi/3)$ e $(-pi/3)$ (Non so come si mettono i simboli agli estremi di integrali)
E poi ? Non ho mai integrato angoli ma penso che il procedimento sia analogo.
"pitrineddu90":
Dunque
$Ex=ke int dq/r^2 cos theta$ con $dq=lambdar d theta$
$Ex=ke lambda/r^2 int d theta cos theta$
Naturalmente gli estremi di integrazione devono essere $(pi/3)$ e $(-pi/3)$ (Non so come si mettono i simboli agli estremi di integrali)
E poi ? Non ho mai integrato angoli ma penso che il procedimento sia analogo.
il raggio non dovrebbe comparire al quadrato. Controlla
Lintegrale $int cos theta d theta $ è un integrale elementare, lo trovi nelle tabelle.
Ho dimenticato una $r$
$Ex=ke int dq/r^2 cos theta$ con $dq=lambdar d theta$
$Ex=ke lambdar/r^2 int d theta cos theta$
$Ex=ke lambda/r int d theta cos theta$ (Estremi di integrazione sempre da $-pi/3$ a $pi/3$)
$int d theta cos theta$ è unguale a $int cos x dx$ ??
$Ex=ke int dq/r^2 cos theta$ con $dq=lambdar d theta$
$Ex=ke lambdar/r^2 int d theta cos theta$
$Ex=ke lambda/r int d theta cos theta$ (Estremi di integrazione sempre da $-pi/3$ a $pi/3$)
$int d theta cos theta$ è unguale a $int cos x dx$ ??
"pitrineddu90":
Ho dimenticato una $r$
$Ex=ke int dq/r^2 cos theta$ con $dq=lambdar d theta$
$Ex=ke lambdar/r^2 int d theta cos theta$
$Ex=ke lambda/r int d theta cos theta$ (Estremi di integrazione sempre da $-pi/3$ a $pi/3$)
$int d theta cos theta$ è unguale a $int cos x dx$ ??
si, basta chiamare l'angolo teta con x. Ma in questo specifico problema rischieresti di fare confusione. Quindi continua a chiamarla con teta ma allo scopo di risolvere l'integrale, nella testa tua fai conto che sia una x.
E alla fine tutto quanto viene $Ex=ke lambda/r[sin theta]$ da $-pi/3$ a $pi/3$
"pitrineddu90":
E alla fine tutto quanto viene $Ex=ke lambda/r[sin theta]$ da $-pi/3$ a $pi/3$
esatto, adesso non ti resta che trovare il valore.
$Ex=ke lambda (sen (pi/3) - sen(-pi/3))//r$
Quindi $Ex=8.987*10^9 lambda / 0.1 (1.73)$
$=1,55*10^11 lambda=$
$=1,55*10^11 Q/l=$
$=310 10^3/l=$
dove l è la lunghezza dell'arco. Spero sia giusto. Naturalmente l'unità di misura è il N/C per il campo elettrico.
$=1,55*10^11 lambda=$
$=1,55*10^11 Q/l=$
$=310 10^3/l=$
dove l è la lunghezza dell'arco. Spero sia giusto. Naturalmente l'unità di misura è il N/C per il campo elettrico.
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