Campo elettrico generato da un anello uniformemente carico
Buonasera,
ho passato una giornata intera sopra a questo problema, non essendone venuto a capo chiederei un aiuto.
Questo è il problema: determinare il campo elettrostatico generato da un filo di vetro carico per strofinio disposto ad anello su un piano, su un punto $P$ situato lungo l'asse $y$.
Per evitare di complicarmi la vita dettagliando la consegna, ecco qui un disegno
http://postimg.org/image/uic5r7dln/
Sul mio libro e anche su internet trovo solo la versione risolta di questo problema utilizzando il calcolo infinitesimale, tuttavia ho voluto provare a risolverlo utilizzando il teorema di Gauss sul flusso del campo elettrostatico. Ahimè, i risultati non mi tornano e non capisco il motivo (ho controllato più volte i passaggi e mi sembrano corretti).
SVOLGIMENTO:
Chiamo $q$ la carica del filo, $b$ il semiasse maggiore dell'ellisse e $a$ quello minore (questo perchè essendo un filo senza spessore disposto ad anello, geometricamente parlando dovrebbe essere un ellisse).
Il perimetro dell'ellisse coincide con la lunghezza del filo ed è pari a $\pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$. Moltiplicando la lunghezza del filo per la densità lineare di carica $\lambda$ dovrei trovare $q$: $$q = \lambda \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$$
Sia inoltre $d$ la distanza del punto $P$ disposto sull'asse $y$.
Adesso che ho definito per bene i dati e alcune grandezze che utilizzerò in seguito, determino la superficie che utilizzerò nel teorema di Gauss. Dato che, nel caso di un filo verticale, il problema si risolve facilmente con un cilindro al cui interno passa il filo, ho deciso di utilizzare un toroide ellittico contenente il filo disposto ad anello. Se le considerazioni che ho fatto sono giuste, il flusso generato dal campo elettrico prodotto dal filo è ortogonale alla superficie del toroide al cui interno si trova il filo (così come nel caso del filo verticale, il campo è ortogonale alla superifice laterale del cilindro).
A questo punto, grazie al teorema di Gauss ho
\begin{equation}
\begin{cases}
\Phi = q / \epsilon \\
\Phi = ES
\end{cases}
\end{equation}
Dal momento che $S$ è la superficie del toroide ellittico e vale $2\pi d \cdot \pi\sqrt{2(a^2+b^2)}$, sostituendo e risolvendo il sistema trovo $$E = \frac{q}{\epsilon S} = \frac{\lambda\pi\sqrt{2(a^2+b^2)}}{\epsilon d 2{\pi}^2\sqrt{2(a^2+b^2)}} = \frac{\lambda}{2\pi d\epsilon}$$
Il risultato finale coincide con il campo generato da un filo infinito verticale. In ogni caso, il mio risultato finale è molto diverso da quello ottenuto con il calcolo infinitesimale. Dove ho sbagliato nello svolgimento?
Grazie,
BlackBrain
ho passato una giornata intera sopra a questo problema, non essendone venuto a capo chiederei un aiuto.
Questo è il problema: determinare il campo elettrostatico generato da un filo di vetro carico per strofinio disposto ad anello su un piano, su un punto $P$ situato lungo l'asse $y$.
Per evitare di complicarmi la vita dettagliando la consegna, ecco qui un disegno
http://postimg.org/image/uic5r7dln/
Sul mio libro e anche su internet trovo solo la versione risolta di questo problema utilizzando il calcolo infinitesimale, tuttavia ho voluto provare a risolverlo utilizzando il teorema di Gauss sul flusso del campo elettrostatico. Ahimè, i risultati non mi tornano e non capisco il motivo (ho controllato più volte i passaggi e mi sembrano corretti).
SVOLGIMENTO:
Chiamo $q$ la carica del filo, $b$ il semiasse maggiore dell'ellisse e $a$ quello minore (questo perchè essendo un filo senza spessore disposto ad anello, geometricamente parlando dovrebbe essere un ellisse).
Il perimetro dell'ellisse coincide con la lunghezza del filo ed è pari a $\pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$. Moltiplicando la lunghezza del filo per la densità lineare di carica $\lambda$ dovrei trovare $q$: $$q = \lambda \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$$
Sia inoltre $d$ la distanza del punto $P$ disposto sull'asse $y$.
Adesso che ho definito per bene i dati e alcune grandezze che utilizzerò in seguito, determino la superficie che utilizzerò nel teorema di Gauss. Dato che, nel caso di un filo verticale, il problema si risolve facilmente con un cilindro al cui interno passa il filo, ho deciso di utilizzare un toroide ellittico contenente il filo disposto ad anello. Se le considerazioni che ho fatto sono giuste, il flusso generato dal campo elettrico prodotto dal filo è ortogonale alla superficie del toroide al cui interno si trova il filo (così come nel caso del filo verticale, il campo è ortogonale alla superifice laterale del cilindro).
A questo punto, grazie al teorema di Gauss ho
\begin{equation}
\begin{cases}
\Phi = q / \epsilon \\
\Phi = ES
\end{cases}
\end{equation}
Dal momento che $S$ è la superficie del toroide ellittico e vale $2\pi d \cdot \pi\sqrt{2(a^2+b^2)}$, sostituendo e risolvendo il sistema trovo $$E = \frac{q}{\epsilon S} = \frac{\lambda\pi\sqrt{2(a^2+b^2)}}{\epsilon d 2{\pi}^2\sqrt{2(a^2+b^2)}} = \frac{\lambda}{2\pi d\epsilon}$$
Il risultato finale coincide con il campo generato da un filo infinito verticale. In ogni caso, il mio risultato finale è molto diverso da quello ottenuto con il calcolo infinitesimale. Dove ho sbagliato nello svolgimento?
Grazie,
BlackBrain
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