Campo elettrico di un disco carico

[ireneireneirene]

Il testo è il seguente
Consideriamo un disco di centro O e di raggio R che porta una carica uniforme di superficie $ sigma $ . Si scelga la terna cartesiona in modo che O coincida con l'origine della terna. il disco giace nel piano z=0
a) Calcolare il campo elettrico sull'asse z. Tracciare in funzione di z (positivi e negativi) le curve rappresentative di Ex(0,0,z), Ey(0,0,z), Ez(0,0,z).
Ho considerato che la carica sia
$ dq = sigma * dA $ da cui ricavo $ dq= sigma *2*r*π*dr $
Ho ricavato che $dE= (z*sigma*2π*rdr)/(4π*epsilon*(z^(2)+r^(2))^(3/2)) $
Che integrando tra 0 e R diventa
$ E = sigma * z/ (4*epsilon) * int_(0)^(r) (z^(2)+r^(2))^(-3/2)*(2r) dr $
e ho ottenuto $ E= sigma/(2*epsilon)*(1- z/(sqrt(z^(2)+r^(2)) ) ) $
Non ho idea di comre realizzare le curve rappresentative, qui chiedo il vostro aiuto!
b) Studiare il caso $| z | $ << R . Interpretarne il risultato.
Se z è molto minore di R, lo semplifico al denominatore e con opportune semplificazioni ho ricavato che $ E = sigma/(2*epsilon) $
è giusto? e nel caso in cui lo fosse come interpreto il risultato? avevo pensato che se z è trascurabile rispetto a R ci troviamo nel caso della distribuzione di carica uniforme di un piano sigma.
c) studiare il caso $ |z| $ >> R . Interpretarne il risultato.
In tal caso ho pensato che trascurando $ R^(2) $ rispetto a $ Z^(2) $ al denominatore per approssimazione, ricavo
$ E= sigma/(2*epsilon)*(1-z/(|z|)) = 0 $
Possibile si annulli? E che interpretazione posso dargli?
d) Consideriamo un piano di carica uniforme $sigma $ in z=0 nel quale ritagliamo un buco a forma di disco di centro O e di raggio R con O nell'origine degli assi. Calcolare il campo elettrico E sull'asse z. tracciare in funzione di z (positivi e negativi) le curve rappresentative di Ex(0,0,z), Ey(0,0,z) e Ez(0,0,z).
Questo punto non ho idea di come affrontarlo.
Vi ringrazio per l'aiuto in anticipo, spero che qualcuno riesca a risolvermi i dubbi!

[anonymous_0b37e9]

Dovresti procedere mediante gli sviluppi in serie. Per esempio, se $|z|$ è molto minore di $R$, al primo ordine ci si aspetta lo stesso campo del piano infinito. Viceversa, se $|z|$ è molto maggiore di $R$, ci si aspetta lo stesso campo della carica puntiforme, termine di monopolo, se ti limiti al primo ordine, multipoli di ordine superiore se non ti accontenti.