Campo d'induzione magnetica con disco ruotante
Ciao a tutti!
Ho questo esercizio di cui non mi viene il risultato corretto.
Per il primo punto ho ragionato così:
La carica è uniforme in tutto il disco quindi si ha che $sigma = q/A = q/(piR^2)$ e allora la carica $dq = sigma2pixdx = (2qxdx)/(R^2)$.
La corrente che scorre nel disco che ruota con frequenza $f$ è data da $di = dqf = (2qfxdx)/(R^2)$.
Poi ponendo la distanza del punto $dx$ dal punto $P$ uguale a $r^2 = x^2 +d^2$ e il $sin(alpha) = d/r = d/(sqrt(x^2 + d^2))$, ho trovato il campo magnetico, dalla legge di Biot-Savart, è dato da $B = \int_{0}^{R} (mu_0)/(4pi) (2qfxdx)/(R^2) (sin(alpha))/(r^2) = \int_{0}^{R} (mu_0)/(4pi) (2qfx)/(R^2) (ddx)/(x^2 + d^2)^(3/2)$.
Svolgendo l'integrale viene fuori che $B = (mu_0)/(4pi) (2qfd)/(R^2) [-1/(sqrt(x^2+d^2))]_0^R = (mu_0)/(4pi) (2qfd)/(R^2) [-1/(sqrt(R^2+d^2)) + 1/d]$.
Il risultato mi viene diverso da quello dato, cos'è che sbaglio?
Ho questo esercizio di cui non mi viene il risultato corretto.
Per il primo punto ho ragionato così:
La carica è uniforme in tutto il disco quindi si ha che $sigma = q/A = q/(piR^2)$ e allora la carica $dq = sigma2pixdx = (2qxdx)/(R^2)$.
La corrente che scorre nel disco che ruota con frequenza $f$ è data da $di = dqf = (2qfxdx)/(R^2)$.
Poi ponendo la distanza del punto $dx$ dal punto $P$ uguale a $r^2 = x^2 +d^2$ e il $sin(alpha) = d/r = d/(sqrt(x^2 + d^2))$, ho trovato il campo magnetico, dalla legge di Biot-Savart, è dato da $B = \int_{0}^{R} (mu_0)/(4pi) (2qfxdx)/(R^2) (sin(alpha))/(r^2) = \int_{0}^{R} (mu_0)/(4pi) (2qfx)/(R^2) (ddx)/(x^2 + d^2)^(3/2)$.
Svolgendo l'integrale viene fuori che $B = (mu_0)/(4pi) (2qfd)/(R^2) [-1/(sqrt(x^2+d^2))]_0^R = (mu_0)/(4pi) (2qfd)/(R^2) [-1/(sqrt(R^2+d^2)) + 1/d]$.
Il risultato mi viene diverso da quello dato, cos'è che sbaglio?
Risposte
Tanto per cominciare direi \(\sin(\alpha)=x/r\), e inoltre, se usi la legge dell'azione elementare di BS (o per meglio dire di Laplace), dovrai usare il prodotto $di \ dl$, e non solo $di$, integrando sia lungo la circonferenza, sia lungo la distanza $x$ dal centro e infatti, il campo magnetico infinitesimo che stai integrando, è già dimensionalmente errato.
"RenzoDF":
Tanto per cominciare direi \(\sin(\alpha)=x/r\), e inoltre, se usi la legge dell'azione elementare di BS (o per meglio dire di Laplace), dovrai usare il prodotto $di \ dl$, e non solo $di$, integrando sia lungo la circonferenza, sia lungo la distanza $x$ dal centro e infatti, il campo magnetico infinitesimo che stai integrando, è già dimensionalmente errato.
Giusto, mi sono dimenticato $dl$.
Mettendo a posto mi viene che $B = \int_{0}^{R} mu_0/(4pi) (2qfx)/R^2 2pix (xdx)/((x^2 + d^2)^(3/2))$ che semplificando è uguale a $B = (mu_0qf)/R^2 \int_{0}^{R} (x^3dx)/(x^2 + d^2)^(3/2)$.
Svolgendo l'integrale e calcolando $B$ però il risultato risulta ancora differente.
Sbaglio forse a considerare $dl$ come $2pix dx$?
Certo, $dl$ corrisponde ad un tratto infinitesimo della circonferenza, di conseguenza sarà esprimibile come $x\ \d\theta$, e quindi quando integrato in $d\theta$ fra $0$ e $2\pi$ porterà a $2\pi x$, che è comunque il contributo che hai usato; ne segue che dovresti farci vedere il tuo risultato per quell'integrale insieme a quello ufficiale.
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