Campo di sfera

[Bandit1]

Questa volta si tratta du una sfera di raggio R=0,1m avente densità di carica di volume ro=@sqrt(r) e carica totale Q=12*10^(-5)
si calcoli @? ed il campo elettrico nei punti a distanza r=R/2 , r=R, r=2R.

[goblyn]

Risolvo questo problema sperando che ti sia utile anche per il post precedente!

La densità dipende solo da r. La carica q(r) contenuta in una sfera di raggio r vale:

q(r) = INT[0;r] 4*pi*r^2 @sqrt(r) dr = 8*pi*@/7 * r^(7/2)

Quindi Q=q(R)=8*pi*@/7 * R^(7/2) da cui

@ = 7Q/(8*pi) * R^(-7/2) = 0.106 e quindi

q(r) = Q*(r/R)^(7/2)

Il teorema di Gauss dice che

INT eE*ndS = q(r)

dove E è il vettore campo elettrico (che dipende, per la simmetria del problema, solo da r). n è la normale alla superficie S scelta per l'integrazione (nel nostro caso superfici sferiche di raggio r). Il prodotto scalare E*n è quindi nel nostro caso uguale al modulo del campo elettrico, E(r). Inoltre E(r) è costante su una superficie sferica di raggio r, per simmetria. Quindi lo porto fuori dall'integrale. Rimane l'integrale di dS, cioè la superficie. Quindi riscrivo il teorema di gauss:

4*pi*r^2 * e * E(r) = q(r)

E(r) = Q/(4*pi*e*R^(7/2)) * r^(3/2) per r<=R

Per il campo per r>R basta utilizzare ancora il teo di gauss con q(r)=Q (costante con r quindi!).

4*pi*r^2 * e0 *E(r) = Q

dove e0 è la costante dielettrica del vuoto stavolta, non della sfera!

[Bandit1]

quote:

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Originally posted by goblyn


q(r) = Q*(r/R)^(7/2)

Il teorema di Gauss dice che

INT eE*ndS = q(r)

dove E è il vettore campo elettrico (che dipende, per la simmetria del problema, solo da r). n è la normale alla superficie S scelta per l'integrazione (nel nostro caso superfici sferiche di raggio r). Il prodotto scalare E*n è quindi nel nostro caso uguale al modulo del campo elettrico, E(r). Inoltre E(r) è costante su una superficie sferica di raggio r, per simmetria. Quindi lo porto fuori dall'integrale. Rimane l'integrale di dS, cioè la superficie. Quindi riscrivo il teorema di gauss:

4*pi*r^2 * e * E(r) = q(r)

E(r) = Q/(4*pi*e*R^(7/2)) * r^(3/2) per r<=R

Per il campo per r>R basta utilizzare ancora il teo di gauss con q(r)=Q (costante con r quindi!).

4*pi*r^2 * e0 *E(r) = Q

dove e0 è la costante dielettrica del vuoto stavolta, non della sfera!

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grazie, la prima parte va bene, ma la secona......
q(r) = Q*(r/R)^(7/2)
questo come si fa ad avverlo?


INT eE*ndS = q(r)

non lo sapevo così il teor di gaus, che cosa è "e"?
perchè fai distinzione tra le e?

[goblyn]

q(r) lo ottieni in quella forma sostituendo a @ il valore trovato prima.
e è la costante dielettrica del materiale che costituisce la sfera. e0 è la costante dielettrica di ciò che sta fuori la sfera (vuoto ad esempio).
Il teo di gauss dice che il flusso del vettore D attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta nel volume delimitato dalla superficie, cioè quello che ho scritto nella formula!

[Bandit1]

ok, grazie ho capito. Però perchè abbiamo solo 2 casi se il problema ne chiedeva 3?
è vero che tu hai precisato che : E(r) = Q/(4*pi*e*R^(7/2)) * r^(3/2) per r<=R e per il secondo hai fatto lo stesso,però quale è il motivo? poichè abbiamo solo 2 "tipi di cariche": quella interna e quella totale?

[Bandit1]

quindi poi se volessi calcolare il potenziale (quindi collegandoci indirettamente anche a quell'altro problema in cui avevo dubbi) nei tre casi che bisogna fare?l'integrale di cosa?

[goblyn]

il teo di gauss non fa distinzione tra i vari casi. Semplicemente a secondo membro la carica contenuta nel volume considerato è Q per ogni r>R ed invece q(r) per r<=R.
Il testo chiede di calcolare i campi per r=R/2 (ed usi la formula per rR.
Il potenziale lo trovi con la formula:

V(r) = INT[r;inf]E(r)dr

dove ho supposto nullo il potenziale all'infinito.

[Bandit1]

quote:

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Originally posted by goblyn



V(r) = INT[r;inf]E(r)dr

dove ho supposto nullo il potenziale all'infinito.

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e che E(r) sostituisco quello dei 2 casi?cioè una volta uno ed una volta l'altro?così anche per il potenziale abbiamo 2 casi?

[goblyn]

se r>R allora:

V(r) = INT[r;inf]E(r)dr

con E(r) uguale a quello per r>R.

se r allora

V(r)=INT[r;R]E(r)dr+INT[R;inf]E(r)dr

dove il primo E(r) è quello per rR

[Bandit1]

ok grazie

[Bandit1]

una domanda ma perchè se r

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[goblyn]

l'integrale è tra r e infinito. Se r

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[Bandit1]

quindi bisogna sommarli, ecco...
grazie