Campi magnetici : principio di sovrapposizione
Nel punto b dell'esercizio non riesco a capire come sono stati calcolati i campi magnetici nel punto $A$
Faccio una premessa: considero un cilindro senza cavità dove scorre una densità di corrente J e poi altri 2, cioè quelli delle cavità, con densità di corrente -J e applico il teorema di Ampère. Il dramma è che hanno centri diversi e non so interpretare quale sia il percorso corretto per arrivare a sommare poi i diversi contributi del campo magnetico dovuto ai 3 "cilindri".
Nel caso di $\vec B_0$ prendo una linea chiusa passante per il punto $A$ ed avente centro in $O$, il cui raggio è $sqrt(R^2+R^2)=sqrt(2)R$
$B_0\ 2pisqrt(2)R=\mu_0 J\ piR^2$ dove ottengo $B_0=(\mu_0 J\ R)/( 2sqrt(2))$
ma non mi sembra affatto lo stesso risultato riportato nella soluzione, che riporta un invece un vettore ma non capisco come sia uscito fuori?
Noto che è un vettore tangente alla circonferenza nel punto $A$ per cui ha orientamento di $45°$ rispetto all'asse delle $x$. Forse ha scomposto il modulo del vettore nelle sue componenti $x$ e $y$ sapendo l'inclinazione del vettore?
Nel caso di $\vec B_0'$ prendo una linea chiusa passante per il punto $A$ ed avente centro in $O'$, il cui raggio è $sqrt(R^2+(R/2)^2)=sqrt(5)/2R$
$B_0\ 2pisqrt(5)/2R=-\mu_0 J\ pi(R/2)^2$ dove ottengo $B_0=-(\mu_0 J\ R)/( 4sqrt(5))$
Questo dovrebbe rappresentare il valore del campo magnetico nel punto $A$ generato da un conduttore di raggio $R/2$ percorso da corrente di densità $J$. Ma ho due problemi: il primo è come ricavarmi il vettore ed il secondo è che dovrei portare questo vettore sullo stesso sistema di riferimento per poter applicare il principio di sovrapposizione.
Spero nel vostro aiuto....
Risposte
Direi che hai ragione tu, quei risultati sono errati; per determinare le componenti dei campi prodotti dai due conduttori virtuali, puoi usare i rappotri cateti/ipotenusa, che corrispondono al seno e coseno degli angoli fra vettori e assi di riferimento.
Trattasi di un tema d'esame e mi sembra abbasta improbabile che sia sbagliato, ma non lo escludo... forse ci sta sfuggendo qualcosa?
Tra l'altro lo stesso procedimento è applicato nel punto c.
Per completezza allego le altre parti che avevo omesso
Tra l'altro lo stesso procedimento è applicato nel punto c.
Per completezza allego le altre parti che avevo omesso
"zio_mangrovia":
Trattasi di un tema d'esame e mi sembra abbasta improbabile che sia sbagliato, ma non lo escludo... forse ci sta sfuggendo qualcosa?
Non credo, negli ultimi anni, ne ho visti di temi d'esame errati, ... che ho perso il conto.
Tanto per incominciare non vedo chi possa negare che la distanza di A da O sia $\sqrt(2)R$, e quindi
$B_0=(\mu_0 J\ R)/( 2sqrt(2))$
di conseguenza, andando a ricavarci il vettore
$\vecB_0=B_0(1/\sqrt(2),1/\sqrt(2),0)=(\mu_0 J\ R)/( 4)(1,1,0)$
Abbiamo quindi la conferma che la soluzione è di certo errata.
Basta poi semplificare il radicale della terza [nota]Ed è incomprensibile capire perché chi lo stesore non lo abbia fatto.[/nota] per notare come il modulo del campo relativo al conduttore virtuale superiore, interessato da una corrente inferiore al primo e più distante dal punto A, dia un contributo al campo superiore a quello del filo principale.
"zio_mangrovia":
... Tra l'altro lo stesso procedimento è applicato nel punto c.
Per la quale direi, ancora tre soluzioni errate.
"RenzoDF":
$B_0=(\mu_0 J\ R)/( 2sqrt(2))$
di conseguenza, andando a ricavarci il vettore
$\vecB_0=B_0(1/\sqrt(2),1/\sqrt(2),0)=(\mu_0 J\ R)/( 4)(1,1,0)$
non capisco come si ricava il vettore, ho il modulo ma le componenti lungo gli assi del vettore $\vec B_0$ in base a quale criterio le trovo?
Devi trovare le sue proiezioni sugli assi; per esempio, per il caso da te citato, nel quale $\vec B$ ha per direzione la bisettrice del primo quadrante, e quindi $\theta=\pi/4$
$\vec B= B_0 (\cos (\pi/4), \sin (\pi/4), 0)$
per le componenti relative ai due conduttori virtuali, come ti dicevo, seno e coseno necessari per le proiezioni, potrai ottenerli dai rapporti fra i cateti (paralleli agli assi) e l'ipotenusa (segmenti O'A e O"A) dei triangoli rettangoli relativi.
$\vec B= B_0 (\cos (\pi/4), \sin (\pi/4), 0)$
per le componenti relative ai due conduttori virtuali, come ti dicevo, seno e coseno necessari per le proiezioni, potrai ottenerli dai rapporti fra i cateti (paralleli agli assi) e l'ipotenusa (segmenti O'A e O"A) dei triangoli rettangoli relativi.
Scusate se mi intrometto, ad occhio penso anche io ci siano un po' di problemi in quei risultati, però l'area del cerchio è fatta sul raggio $\sqrt(2)R$ non $R$, la superficie non cambia.
Stai scherzando, vero? 
No, perché? E' il teorema di Stokes, mica posso cambiare la superficie.
Edit: Giusto, mi finisce il materiale. Nulla scherzavo ^^
O no? Dio mi sta venendo un dubbio atroce, tipo quando non ti ricordi come si scrive "cane".
Ri-edit: no ok, mi sono ricordato come si scrive cane.
Edit: Giusto, mi finisce il materiale. Nulla scherzavo ^^
O no? Dio mi sta venendo un dubbio atroce, tipo quando non ti ricordi come si scrive "cane".
Ri-edit: no ok, mi sono ricordato come si scrive cane.
"RenzoDF":
Devi trovare le sue proiezioni sugli assi; per esempio, per il caso da te citato, nel quale $\vec B$ ha per direzione la bisettrice del primo quadrante, e quindi $\theta=\pi/4$
Come si capisce che il vettore è la bisettrice del primo quadrante? Dal fatto che nel punto $A$ la tangente alla circonferenze è a $45°$ ?
Riguardo il punto $b$, prendo la cavità più in basso, quella che ha centro $O'$
$\B_0\ 2pi sqrt(R^2+(R/2)^2)=\mu_o\ Jpi (R/2)^2$ da cui $\B_0=(\mu_o\ J R^2) / (4R sqrt(5)) $
per le componenti relative ai due conduttori virtuali, come ti dicevo, seno e coseno necessari per le proiezioni, potrai ottenerli dai rapporti fra i cateti (paralleli agli assi) e l'ipotenusa (segmenti O'A e O"A) dei triangoli rettangoli relativi
Prima di questo dovrei capire l'orientamento del vettore ma se le linee di campo sono circonferenze ed il campo in un punto è tangente alla circonferenza allora direi che posso ricavarlo in base alla distanza tra centro e punto.
Ti ci fai l'occhio e vai di geometria. Oppure applichi la definizione matematica di versore tangente ad una curva parametrica $f(t)$ ovvero $(f'(t))/|f(t)|$.
In questo caso è una circonferenza quindi $f(t)=(cos(t),sin(t))$ . Derivi le componenti, dividi per il modulo (che è uno) ed hai la direzione di ogni punto sulla circonferenza. Poi calcoli nel punto che vuoi.
In questo caso è una circonferenza quindi $f(t)=(cos(t),sin(t))$ . Derivi le componenti, dividi per il modulo (che è uno) ed hai la direzione di ogni punto sulla circonferenza. Poi calcoli nel punto che vuoi.
"zio_mangrovia":
... dovrei capire l'orientamento del vettore ...
Il vettore campo magnetico è perpendicolare alla retta congiungente il centro dei fili con il punto A e quindi, se ti fai un disegno, lo capisci subito quali siano gli angoli.
Benissimo.
Una volta trovati i 3 campi magnetici prima di sommarli non devo ricondurmi allo stesso sistema di riferimento?
Ho trovato i campi relativi allo stesso punto generati 3 flussi di corrente ma rispetto a centri diversi, $O$, $O'$ e $O''$
Una volta trovati i 3 campi magnetici prima di sommarli non devo ricondurmi allo stesso sistema di riferimento?
Ho trovato i campi relativi allo stesso punto generati 3 flussi di corrente ma rispetto a centri diversi, $O$, $O'$ e $O''$
"RenzoDF":
Il vettore campo magnetico è perpendicolare alla retta congiungente il centro dei fili con il punto A e quindi, se ti fai un disegno, lo capisci subito quali siano gli angoli.
mentre il verso del vettore ? Dipende dal flusso della corrente, non ci interessa ?
Certo che ci interessa, era sottinteso!
Allora mi sono rivisto un po' le cose ma mi mancano ancora dei pezzi, costruito uno schema per la cavità avente centro O'
[fcd="cavita"][FIDOCAD]
TY 353 245 4 4 0 1 0 * A
TY 344 210 4 4 0 1 0 * E
TY 265 200 4 4 0 1 0 * O'
TY 353 193 4 4 0 1 0 * D
TY 270 160 4 4 0 1 0 * O
TY 354 162 4 4 0 1 0 * B
TY 369 193 4 4 0 1 0 * C
TY 324 230 4 3 0 0 2 * α=63.5°
TY 372 204 4 3 0 0 2 * α=63.5°
TY 290 210 4 3 0 0 3 * θ=26.5°
TY 351 228 4 3 0 0 3 * θ=26.5°
LI 347 236 353 239 6
LI 275 210 350 245 6
LI 344 242 347 236 6
LI 350 245 370 200 6
LI 350 170 425 170 7
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 275 170 170 170 7
EV 235 170 315 245 9
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LI 350 245 350 170 9
LI 275 245 350 245 9
TY 270 235 4 6 90 2 10 Times++New++Roman R/2
LI 275 210 275 245 10
TY 288 204 4 6 0 2 11 Times++New++Roman R/2
EV 200 245 350 95 11
LI 275 210 315 210 11
LI 275 75 275 210 11
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 350 200 370 200 11
LI 275 170 350 170 11
TY 312 164 4 6 0 2 11 Times++New++Roman R
LI 315 210 350 210 13
TY 323 204 4 6 0 2 13 Times++New++Roman R/2[/fcd]
La direzione del vettore $B_0$ è quella della retta passante per $AC$ ma il verso come lo vedo? Non conosco la direzione della corrente.
Supposto che il verso del vettore sia quello giusto nel disegno (prendo come punto di applicazione $A$) la proiezione sull'asse delle ascisse è $DC$ mentre quella dell'asse delle ordinate è $DA$ che sono le mie coordinate del vettore.
$z$ vale zero.
Se quello che ho detto è corretto non capisco come si determinano i segni delle componenti $x$ e $y$ del vettore, nel nostro caso mi sembrano sempre positivi.
Poi l'altro dubbio a cui accennavo è se la somma dei 3 vettori ottenuti, se devo riferire i vettori tutti allo stesso sistema di riferimento prima della somma.
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La direzione del vettore $B_0$ è quella della retta passante per $AC$ ma il verso come lo vedo? Non conosco la direzione della corrente.
Supposto che il verso del vettore sia quello giusto nel disegno (prendo come punto di applicazione $A$) la proiezione sull'asse delle ascisse è $DC$ mentre quella dell'asse delle ordinate è $DA$ che sono le mie coordinate del vettore.
$z$ vale zero.
Se quello che ho detto è corretto non capisco come si determinano i segni delle componenti $x$ e $y$ del vettore, nel nostro caso mi sembrano sempre positivi.
Poi l'altro dubbio a cui accennavo è se la somma dei 3 vettori ottenuti, se devo riferire i vettori tutti allo stesso sistema di riferimento prima della somma.
Il testo in effetti non specifica il verso della corrente [nota]Afferma infatti che la stessa è "perpendicolare" al filo stesso. [/nota] e quindi avresti pototo sceglierlo sia entrante che uscente, ad ogni modo se vuoi confrontarti con i risultati ufficiali, è evidente che devi assumere che il suo verso sia concorde con il verso dell'asse z.
Ripeto poi, per la terza volta, che non serve andare a ricavarsi gli angoli in quanto per il seno e il coseno basta usare i rapporti cateto/ipotenusa.
Per la somma dei tre vettori parziali, ovviamente, basterà poi sommare algebricamente le rispettive componenti lungo i tre diversi assi del riferimento comune.
[/nota] e quindi avresti pototo sceglierlo sia entrante che uscente, ad ogni modo se vuoi confrontarti con i risultati ufficiali, è evidente che devi assumere che il suo verso sia concorde con il verso dell'asse z.Ripeto poi, per la terza volta, che non serve andare a ricavarsi gli angoli in quanto per il seno e il coseno basta usare i rapporti cateto/ipotenusa.
Per la somma dei tre vettori parziali, ovviamente, basterà poi sommare algebricamente le rispettive componenti lungo i tre diversi assi del riferimento comune.
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