Campi elettrostatici
sul web ho trovato [url=http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Q_5EkzTZMOwJ:www.sa.unina2.it/download/appunti/appunto_988/Scritto_FisII_Matematica_23-02-2010.doc+tre+piani+indefiniti+di+materiale+isolante+sono+carichi+con+densit%C3%A0+uniformi&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESjdbljDRZryFkZP9e2NRFMUQLe7CKtQit5ywxO2lmTN2KYdZTGuRH4ss0eV8f8vKThVhDPio3Dcv74qKsW079PcJfii6EqJafhQ-FRzxPW0VqB9mvzh2DatW40IwU4_gpi_PTU7&sig=AHIEtbTqZwH9Ae8EEo6Za492EYP9Ghe3lA]questo esercizio[/url] (primo esercizio)... con il metodo di sovrapposizione delle cariche, come si risolve questo esercizio??
Risposte
un accenno di risoluzione?
si certo, allora io avevo pensato che cmq si può esprimere il campo elettrostatico dei piani con l'espressione $sigma/(2epsilon_0)$
non ho idea dei segni invece che legano i tre piani....
non ho idea dei segni invece che legano i tre piani....
densità di carica positiva: linee di campo uscenti dal piano.
densità di carica negativa: linee di campo entranti nel piano.
Ora ti basta fare la somma vettoriale dei campi nelle varie zone (che essendo paralleli si riduce a una somma algebrica)
densità di carica negativa: linee di campo entranti nel piano.
Ora ti basta fare la somma vettoriale dei campi nelle varie zone (che essendo paralleli si riduce a una somma algebrica)
scusa nn ho capito bene
devi semplicemente sommare i campi con i segni giusti...
disegna le linee di campo uscenti ed entranti nei vari piani, tenendo conto di quello che ti ho detto nel post precedente...
ad esempio: nella zona più esterna a destra
- il campo del piano 3 va verso destra (carica positiva, quindi uscente dal piano)
- il campo del piano 2 va verso sinistra (carica negativa, quindi entrante nel piano)
- il campo del piano 1 va verso destra (carica positiva, quindi uscente dal piano)
ovviamente devi usare le intensità giuste dei campi, la cui espressione hai scritto prima.
poi fai la stessa cosa nelle altre zone.
disegna le linee di campo uscenti ed entranti nei vari piani, tenendo conto di quello che ti ho detto nel post precedente...
ad esempio: nella zona più esterna a destra
- il campo del piano 3 va verso destra (carica positiva, quindi uscente dal piano)
- il campo del piano 2 va verso sinistra (carica negativa, quindi entrante nel piano)
- il campo del piano 1 va verso destra (carica positiva, quindi uscente dal piano)
ovviamente devi usare le intensità giuste dei campi, la cui espressione hai scritto prima.
poi fai la stessa cosa nelle altre zone.
vista la richiesta, vorrei sottoporre alla vostra attenzione questo problema: è possibile calcolarsi il campo elettrico tra le piastre di un condensatore col principio di sovrapposizione? dal mio punto di vista non è corretto, perchè non tiene conto degli effetti di induzione tra i piani (forse questo è il motivo per cui nelle mie dispense si usa il teorema di coulomb): il CE prodotto da uno stesso piano, varia a seconda che nelle vicinanze si ponga o meno un altro piano carico, perchè varia la distribuzione delle cariche sulle superfici. a pensarci bene, quando usiamo il principio di sovrapposizione con cariche puntiformi, supponiamo che queste siano ferme nello spazio. ma questa situazione non viene riprodotta nei conduttori, e in linea di principio nemmeno nei dielettrici, nei quali si verificano in ogni caso piccoli fenomeni di induzione (polarizzazione).
alla luce di queste considerazioni, ritenete ancora corretto usare il principio di sovrapposizione nel problema incriminato?
alla luce di queste considerazioni, ritenete ancora corretto usare il principio di sovrapposizione nel problema incriminato?
il CE prodotto da uno stesso piano, varia a seconda che nelle vicinanze si ponga o meno un altro piano carico, perchè varia la distribuzione delle cariche sulle superfici.
Se i piani sono paralleli e infiniti, perchè la carica dovrebbe redistribuirsi ?
perchè la carica nei conduttori si sposta se li metti in una zona con CE diverso da 0: con un solo piano la carica è distribuita su entrambe le superfici del piano (lo spessore non può essere trascurabile), ma in presenza di un altro piano carico (con carica opposta), tutta la carica si mette su una sola delle superfici, a causa dell'induzione. mi pare che questo fenomeno sia in parte descritto anche nell'halliday resnick, quando parlano del diverso comportamento tra lastre di dielettrico e lastre di conduttori
non vorrei dir boiate, ma nel caso in cui ci siano conduttori in gioco non bisogna usare il metodo delle cariche immagine?
io quello non l'ho studiato, ne ho solo sentito parlare. ho visto il teorema di coulomb, che è una diretta conseguenza di quello di gauss.
il problema è che considerazioni simili si possono fare anche per i dielettrici, dove compaiono le cariche di polarizzazione. sto anche pensando che in casi come più lastre infinite di dielettrici, se come superfici gaussiane prendiamo cilindri con l'asse perpendicolare alla lastra stessa, è ragionevole supporre che le cariche di polarizzazione si compensino, quindi la sovrapposizione degli effetti funziona. mi piacerebbe avere qualche conferma o sapere cosa ne pensate voi
il problema è che considerazioni simili si possono fare anche per i dielettrici, dove compaiono le cariche di polarizzazione. sto anche pensando che in casi come più lastre infinite di dielettrici, se come superfici gaussiane prendiamo cilindri con l'asse perpendicolare alla lastra stessa, è ragionevole supporre che le cariche di polarizzazione si compensino, quindi la sovrapposizione degli effetti funziona. mi piacerebbe avere qualche conferma o sapere cosa ne pensate voi
Non vedo il problema, enr. Finché c'è un regime transitorio, le cariche si affannano su e giù per le armature del condensatore. Ma alla fine tutto si sistema, si raggiunge l'equilibrio, e sulle due armature si ottiene una distribuzione uniforme di carica. Dal principio di sovrapposizione il campo elettrico da questa generato è la somma dei due campi prodotti ciascuno da una armatura.
Semmai, una obiezione che potresti muovere: e chi ci dice che, all'equilibrio, le cariche sono distribuite uniformemente? E' chiaro che questa è una semplificazione del modello e non corrisponde alla realtà. Del resto, anche le due armature non saranno mai perfettamente piane e infinite, quindi bisognerebbe tenere conto degli effetti di bordo eccetera eccetera.
Almeno, così la vedo io; però di elettromagnetismo non è che ci capisca tanto, quindi spero di non dire enormità.
Semmai, una obiezione che potresti muovere: e chi ci dice che, all'equilibrio, le cariche sono distribuite uniformemente? E' chiaro che questa è una semplificazione del modello e non corrisponde alla realtà. Del resto, anche le due armature non saranno mai perfettamente piane e infinite, quindi bisognerebbe tenere conto degli effetti di bordo eccetera eccetera.
Almeno, così la vedo io; però di elettromagnetismo non è che ci capisca tanto, quindi spero di non dire enormità.
il fatto che siano distribuite uniformemente (nel caso ideale di piani infiniti) dipende dal fatto che il CE è costante in ogni punto: se così non fosse allora col teorema di coulomb troveresti almeno due valori diversi del campo, il che non può succedere. poi nel caso reale è impossibile ottenere l'uniformità, e concordo con te.
semplifichiamo il problema, forse non mi sono spiegato bene prima: se hai due cariche puntiformi, prendiamole di segno opposto, e vuoi calcolare il CE in un punto dello spazio, usi il principio di sovrapposizione, ma per farlo devi fare l'ipotesi che le cariche siano ferme nello spazio (d'altra parte parliamo di campo elettrostatico). quando le cariche sono nei conduttori, non hanno alcun vincolo.
riparafrasiamo il problema così: abbiamo due conduttori di forma qualsiasi, "finiti" (cioè non si estendono per un'area infinita), carichi. per calcolare il CE in un punto useresti il principio di sovrapposizione? e se anzichè avere conduttori avessi due dielettrici con le stesse forme caricati sulla superficie, useresti sempre il principio di sovrapposizione o ti aspetteresti che le cose cambino?
semplifichiamo il problema, forse non mi sono spiegato bene prima: se hai due cariche puntiformi, prendiamole di segno opposto, e vuoi calcolare il CE in un punto dello spazio, usi il principio di sovrapposizione, ma per farlo devi fare l'ipotesi che le cariche siano ferme nello spazio (d'altra parte parliamo di campo elettrostatico). quando le cariche sono nei conduttori, non hanno alcun vincolo.
riparafrasiamo il problema così: abbiamo due conduttori di forma qualsiasi, "finiti" (cioè non si estendono per un'area infinita), carichi. per calcolare il CE in un punto useresti il principio di sovrapposizione? e se anzichè avere conduttori avessi due dielettrici con le stesse forme caricati sulla superficie, useresti sempre il principio di sovrapposizione o ti aspetteresti che le cose cambino?
Userei il principio di sovrapposizione non appena le acque si sono calmate. Supponiamo che i due conduttori siano già fissi in posizione all'inizio dell'osservazione e che essi vengano caricati. Si ha una fase transitoria nella quale le cariche elementari presenti nei conduttori si agitano freneticamente fino a che non è raggiunta una fase di equilibrio. A quel punto il campo è stabile e si calcola col principio di sovrapposizione.
La situazione che prospetti tu, invece, è di un moto continuo di cariche anche all'equilibrio. Questo non è possibile e io direi per questioni energetiche: il moto di cariche è un fenomeno dissipativo, ipotizzare che possa durare infinitamente in un sistema isolato violerebbe il principio di conservazione dell'energia.
La situazione che prospetti tu, invece, è di un moto continuo di cariche anche all'equilibrio. Questo non è possibile e io direi per questioni energetiche: il moto di cariche è un fenomeno dissipativo, ipotizzare che possa durare infinitamente in un sistema isolato violerebbe il principio di conservazione dell'energia.
vedi, il problema è questo: useresti il principio di sovrapposizione non appena le acque si sono calmate! ma questo vale anche per i conduttori piani infiniti, non solo per i conduttori di una forma particolare: non puoi calcolare il campo generato da un piano singolo per trovarti quello generato da due piani col pds, perchè le cariche si dispongono in maniera diversa a seconda che nello spazio sia presente o meno un altro campo.
non capisco la seconda parte della tua risposta: la situazione prospettata da me è di due oggetti di forma qualunque, carichi. nel primo caso li prendo di materiale conduttore, ma non vedo come possa esserci un moto continuo di cariche "all'equilibrio": per definizione, all'equilibrio hai una situazione di cariche statiche, ossia ferme, sulla superficie del conduttore, non essendo questo collegato ad alcun generatore. nel secondo caso relativo al dielettrico, invece, le cariche restano ferme dove vengono "depositate", anche se sono sottoposte ad un campo elettrico esterno (si verificano fenomeni di polarizzazione, ma non di spostamento vero e proprio di cariche)
non capisco la seconda parte della tua risposta: la situazione prospettata da me è di due oggetti di forma qualunque, carichi. nel primo caso li prendo di materiale conduttore, ma non vedo come possa esserci un moto continuo di cariche "all'equilibrio": per definizione, all'equilibrio hai una situazione di cariche statiche, ossia ferme, sulla superficie del conduttore, non essendo questo collegato ad alcun generatore. nel secondo caso relativo al dielettrico, invece, le cariche restano ferme dove vengono "depositate", anche se sono sottoposte ad un campo elettrico esterno (si verificano fenomeni di polarizzazione, ma non di spostamento vero e proprio di cariche)
Ah, si certo questo si. E' chiaro che se infondi la stessa carica in un conduttore da solo o in un sistema di conduttori ottieni campi diversi (Che poi, è il principio su cui si fonda il condensatore). Ma non vedo perché questo scalfisce quanto dicevamo prima. Anche il dielettrico, è una complicazione del modello, ma sostanzialmente non cambia le cose. Matematicamente, il sistema senza dielettrici è descritto all'equilibrio dal problema ai limiti omogeneo
${(-Delta V= 0, "nello spazio vuoto"), (V=V_1, "sulla s""uperficie del 1°conduttore"), ( vdots, vdots), (V=V_n, "sulla s""uperficie dell'n-esimo conduttore"):}$
mentre il problema con dielettrico è non omogeneo:
${(-Delta V= rho_p, "nello spazio occupato dal dielettrico"), (V=V_1, "sulla s""uperficie del 1°conduttore"), ( vdots, vdots), (V=V_n, "sulla s""uperficie dell'n-esimo conduttore"):}$
dove $rho_p$ è la funzione densità di carica di polarizzazione. Sono tutte equazioni lineari: questa linearità è esattamente il principio di sovrapposizione.
So che questo non risponde alla tua domanda, perché purtroppo non riesco ancora a capire esattamente quale essa sia. Ma forse è un passo avanti?
${(-Delta V= 0, "nello spazio vuoto"), (V=V_1, "sulla s""uperficie del 1°conduttore"), ( vdots, vdots), (V=V_n, "sulla s""uperficie dell'n-esimo conduttore"):}$
mentre il problema con dielettrico è non omogeneo:
${(-Delta V= rho_p, "nello spazio occupato dal dielettrico"), (V=V_1, "sulla s""uperficie del 1°conduttore"), ( vdots, vdots), (V=V_n, "sulla s""uperficie dell'n-esimo conduttore"):}$
dove $rho_p$ è la funzione densità di carica di polarizzazione. Sono tutte equazioni lineari: questa linearità è esattamente il principio di sovrapposizione.
So che questo non risponde alla tua domanda, perché purtroppo non riesco ancora a capire esattamente quale essa sia. Ma forse è un passo avanti?
dimenticati il condensatore per un attimo, vedo che in ogni post ce l'hai ficcato dentro 
riparto dal principio: il nostro scopo è calcolare il campo elettrico in una regione dello spazio. abbiamo un conduttore c1, di forma qualsiasi (prendiamolo finito in ogni caso).
carichiamo c1, con una certa carica q1. in un punto P esterno al conduttore, il campo avrà un certo valore E1 all'istante t1.
ora togliamo c1, per cui nello spazio supponiamo di avere campo nullo. consideriamo un conduttore c2, lo carichiamo con una carica q2, e calcoliamo il campo nello stesso punto P, supposto esterno a c2; il valore del campo sia dunque E2 (in t2 > t1). c1 e c2 non devono occupare le stesse regioni.
ora, se ripeschiamo c1 e lo rimettiamo nella stessa posizione di prima, il valore del campo nel punto P sarà dato da E1 + E2 (naturalmente intesa come somma vettoriale)? a me pare strano, perchè, ad esempio, c1 avrà una distribuzione di cariche sulla superficie diversa da quella che aveva all'istante t1, a causa dell'effetto di induzione "reciproca" con c2. si può dire altrettanto per c2. la mia intuizione potrebbe essere sbagliata, ma non trovo modo di confutarla.
spero di essermi espresso meglio

riparto dal principio: il nostro scopo è calcolare il campo elettrico in una regione dello spazio. abbiamo un conduttore c1, di forma qualsiasi (prendiamolo finito in ogni caso).
carichiamo c1, con una certa carica q1. in un punto P esterno al conduttore, il campo avrà un certo valore E1 all'istante t1.
ora togliamo c1, per cui nello spazio supponiamo di avere campo nullo. consideriamo un conduttore c2, lo carichiamo con una carica q2, e calcoliamo il campo nello stesso punto P, supposto esterno a c2; il valore del campo sia dunque E2 (in t2 > t1). c1 e c2 non devono occupare le stesse regioni.
ora, se ripeschiamo c1 e lo rimettiamo nella stessa posizione di prima, il valore del campo nel punto P sarà dato da E1 + E2 (naturalmente intesa come somma vettoriale)? a me pare strano, perchè, ad esempio, c1 avrà una distribuzione di cariche sulla superficie diversa da quella che aveva all'istante t1, a causa dell'effetto di induzione "reciproca" con c2. si può dire altrettanto per c2. la mia intuizione potrebbe essere sbagliata, ma non trovo modo di confutarla.
spero di essermi espresso meglio
"enr87":E infatti la risposta è no. Come dici tu, in questa seconda configurazione (c1, c2 carichi e interagenti) le cariche si distribuiscono su c1 e c2 con una geometria diversa rispetto a come farebbero su c1 e c2 da soli.
ora, se ripeschiamo c1 e lo rimettiamo nella stessa posizione di prima, il valore del campo nel punto P sarà dato da E1 + E2 (naturalmente intesa come somma vettoriale)? a me pare strano
Mettiamolo in termini matematici. L'equazione del potenziale nel caso congiunto è
${(-Delta V = 0, "nello spazio vuoto"), (V=V_1, "sulla s""uperficie di "C_1), (V=V_2, "sulla s""uperficie di "C_2):}.$
L'equazione del potenziale nel caso in cui $C_2$ non ci sia, invece, è
${(-Delta V = 0, "nello spazio vuoto"), (V=V_1, "sulla s""uperficie di "C_1):}$
ed è completamente diversa perché ambientata in un diverso dominio di $RR^3$.
bene, allora visto che il condensatore altro non è che un sistema di due conduttori carichi, a rigore non si potrebbe calcolare il CE tra i piatti col principio di sovrapposizione. mi pare invece che nel nigro voci lo facciano (prendono i campi dei piatti singolarmente e ne fanno la somma vettoriale), poi vado a verificare.
nel caso avessi avuto dielettrici anzichè conduttori, mi pare di capire dal post sopra, posso usare il pds? scusa ma non ho ancora fatto le equazioni differenziali in più variabili, quindi sono cose che capisco solo qualitativamente
nel caso avessi avuto dielettrici anzichè conduttori, mi pare di capire dal post sopra, posso usare il pds? scusa ma non ho ancora fatto le equazioni differenziali in più variabili, quindi sono cose che capisco solo qualitativamente
Anche se fosse ambientata nello stesso dominio, cioè se il corpo conduttore $C2$ fosse presente ma avesse un potenziale diverso sulla superficie, la soluzione sarebbe diversa.
Enr87 ha posto anche il problema in maniera diversa, cioè ha posto le condizioni al bordo sulla carica commplessivamente presente su ogni superficie dei conduttori.
La soluzione, con $V\ne0$ sulla superficie di $C1$ e $C2$, può essere trovata come sovrapposizione delle soluzioni con $V=0$ alternativamente su una delle due superfici e pari al valore imposto sull'altra?
Enr87 ha posto anche il problema in maniera diversa, cioè ha posto le condizioni al bordo sulla carica commplessivamente presente su ogni superficie dei conduttori.
La soluzione, con $V\ne0$ sulla superficie di $C1$ e $C2$, può essere trovata come sovrapposizione delle soluzioni con $V=0$ alternativamente su una delle due superfici e pari al valore imposto sull'altra?
"enr87":Ma è giusto che si faccia così, in quel caso particolare. Tu devi pensare alla distribuzione delle cariche, non a tutte le sovrastrutture che ci stanno intorno (conduttori, dielettrici, fili, marchingegni vari).
bene, allora visto che il condensatore altro non è che un sistema di due conduttori carichi, a rigore non si potrebbe calcolare il CE tra i piatti col principio di sovrapposizione. mi pare invece che nel nigro voci lo facciano (prendono i campi dei piatti singolarmente e ne fanno la somma vettoriale), poi vado a verificare.
Prendi due piani conduttori (ideali) e caricali. All'equilibrio le cariche si dispongono uniformemente sui due piatti. Adesso scordiamoci di tutto il resto, pensiamo solo alle cariche. Ci sono due piani paralleli su cui sono distribuite delle cariche. Il principio di sovrapposizione ci dice che il campo generato da un sistema di cariche è la somma vettoriale dei campi generati dalle cariche singole: ma allora anche il campo generato dai due piani carichi è la somma vettoriale del campo generato dai due piani singoli.
Nota che in questo ragionamento noi sapevamo a priori come si dispongono le cariche sulle due armature. Se non lo avessimo saputo, non avremmo potuto usare il principio di sovrapposizione a questa maniera. E' questo che ti ha fatto confondere, credo.