[Campi Elettromagnetici] - dubbio su un passaggio

[Giux1]

Ciao a tutti..

negli appunti del corso di campi, quando si ricavano le relazioni d'onda piana c'è un passaggio durante i calcoli che non mi è chiaro, vi posto un breve riassunto:

inizio dalle due equazioni di Maxwell in dorma fasoriale

${(\nabla xx bar{E} = -j\omega\mubar{H}), (\nabla xx bar{H} = j\omega\epsilonbar{E}):}$

si considera il vettore di propagazione $bar{k} -= (hat xk_x + hat yk_y + hat zk_z)$ tale che $||bar{k}|| = \omega sqrt(\epsilon\mu)$
ed il vettore direzione generica $ bar{r} -= (hat x x + hat y y + hat z z)$

quindi i fasori campo elettrico e magnetico si possono scrivere nella forma:

${(bar{E} = bar{E_0}e^(-j)), (bar{H} = bar{H_0}e^(-j)):}$

dove con $$ si intende il prodotto scalare tra i vettori $bar{k}$ e $ bar{r}$.

sostituendo nelle equazioni di Maxwell si ottiene:

${( \nabla xx (bar{E_0}e^(-j)) = -j\omega\mu bar{H_0}e^(-j) ), ( \nabla xx (bar{H_0}e^(-j)) = j\omega\epsilon bar{E_0}e^(-j)):}$


e qui arriva il passaggio che non mi è chiaro:
non ho capito perchè al posto del primo membro sparisce il rotore ed esce fuori il $-jbar{k}$

$ \nabla xx (bar{E_0}e^(-j)) = -jbar{k} xx bar{E_0}e^(-j)$

$ \nabla xx (bar{H_0}e^(-j)) = jbar{k} xx bar{H_0}e^(-j)$

Grazie :)

[redlex91-votailprof]

"Giux":Ciao a tutti..
non ho capito perchè al posto del primo membro sparisce il rotore ed esce fuori il $-jbar{k}$

$ \nabla xx (bar{E_0}e^(-j)) = -jbar{k} xx bar{E_0}e^(-j)$

$ \nabla xx (bar{H_0}e^(-j)) = jbar{k} xx bar{H_0}e^(-j)$

Grazie :)

Perché hai calcolato il rotore
\(\vec{E}_0\) non dipende da \(x\) quindi è come una costante per le derivate del rotore; prova a fare il determinante formale del rotore
\[\nabla\times\vec{E}=
\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
\partial_x&\partial_y&\partial_z\\
E_x&E_y&E_z
\end{vmatrix}
\]
con \(E_n=E_{0n}e^{-\imath\vec{k}\cdot\vec{x}}\), \(n=x,y,z\). Io lo faccio al volo così
\[\begin{split}
\nabla\times\left[\vec{E}_0\exp{\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{x}\}}\right]&=\epsilon_{ijk}\partial^jE_0^k\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=E_0^k\epsilon_{ijk}\partial^j\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=-\imath E_0^k\epsilon_{ijk}k^l\delta^j_l\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=-\imath E_0^k\epsilon_{ijk}k^j\exp{\{-\imath k^lx_l\}}\\
&=-\imath\vec{k}\times\vec{E}_0\exp{\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{x}\}}
\end{split}
\]

Ciao

[Giux1]

ciao friction, grazie per la risposta... per quanto riguarda il rotore, sono stato poco chiaro io nell'esposizione, perchè $bar{E_0}$ sarebbe un vettore addirittura anche complesso tipo : $hat x +j hat y$ ecc ora siccome qui parla di una sostituzione di $\nabla xx$ con $-jk$ non ho capito se è l'applicazione del rotore a far scaturire il $-jk$ oppure è una sostituzione vera e propria...

[redlex91-votailprof]

Ti sei calcolato il determinante che ti ho scritto?
Non importa se \(\vec{E}_0\in\mathbb{C}^3\), la cosa importante è che sia indipendente da \(\vec{r}\). Il calcolo del rotore senza usare il simbolo di Levi-Civita è noioso... ma se non ti è ovvio che è proprio il rotore a "tirare giù" il \(-\imath\vec{k}\times\) allora è bene che tu lo faccia per intero. Poi confronta con la traccia qui sotto

\[\begin{split}
\nabla\times\left[\vec{E}_0\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\right]&=
\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
\partial_x&\partial_y&\partial_z\\
E_{0x}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}&E_{0y}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}&E_{0z}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\end{vmatrix}\\
&=\vec{e}_1\left[E_{0z}\partial_y\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}-E_{0y}\partial_z\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\right]+\dots\\
&=-\imath\vec{e}_1\left[E_{0z}k_y-E_{0y}k_z\right]\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}+\dots\\
&=-\imath\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
k_x&k_y&k_z\\
E_{0x}&E_{0y}&E_{0z}\end{vmatrix}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\\
&=-\imath\vec{k}\times\vec{E_0}\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}
\end{split}\]
dove \(\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}\), etc., \(\vec{E}_0=(E_{0x},E_{0y},E_{0z})\); le derivate parziali hanno l'effetto di "estrarre" dall'esponenziale il fattore moltiplicativo della variabile rispetto cui si deriva, infatti
\[\begin{split}
\partial_x\exp\{-\imath(k_xx+k_yy+k_zz)\}&=\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\partial_x[-\imath(k_xx+k_yy+k_zz)]\\
&=-\imath k_x\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}
\end{split}\]
e ti ricordo anche che il prodotto vettore può scriversi come determinante formale
\[
a\times b=\begin{vmatrix}
\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
a_x&a_y&a_z\\
b_x&b_y&b_z
\end{vmatrix}
\]

Quindi se tu hai una funzione del tipo
\[
\vec{A}(\vec{r})=\vec{A}_0\exp\{-\imath\vec{k}\cdot\vec{r}\}\,\quad \vec{A}_0\in\mathbb{C}^3
\]
con \(\vec{A}_0,\,\vec{k}\) indipendenti da \(\vec{r}\), allora l'effeto del rotore su funzioni di questo tipo è descritto dalla sostituzione formale
\[
\nabla\times\rightsquigarrow-\imath\vec{k}\times
\]
Ciao

[Giux1]

Grazie mille chiarissimo... adesso tutto torna.. e come se si "algebrizzassero" i passaggi quando compare il $-jk$ e sparisce nabla, cmq non sapevo del calcolo del rotore con il simbolo di Levi-Civita, non lo uso spesso.. non ne ho avuto l'occasione...

[redlex91-votailprof]

Qui sono riportati alcuni trucchetti col simbolo di Levi-Civita; a volte semplificano decisamente la vita. Prendi ad esempio l'identità
\[
\nabla\times\nabla f=0, \quad f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R})
\]
allora
\[
(\nabla\times\nabla f)_i=\epsilon_{ijk}\nabla^j\nabla^k f\equiv0
\]
perché \(\epsilon_{ijk}\) è antisimmetrico negli indici \(jk\) mentre \(\nabla^j\nabla^k\) è simmetrico negli stessi indici per il teorema di Schwarz. Molto più veloce che andare a fare il determinante formale del rotore, no?

Ciao

[Giux1]

un metodo o meglio una notazione molto potente, anche in algebra multilineare quando si studiano i tensori...

tu quindi col simbolo $e_(ijk)\nabla^j\nabla^kf$ intendi $(del^2(f))/(del(y)del(z)) - (del^2(f))/(del(z)del(y))$

cioè ad esempio $\nabla^jf$ è un modo per esprimere la derivata parziale rispetto ad $y$?

[redlex91-votailprof]

No. \(i,j,k\) sono indici[nota]Le convenzioni sugli indici sono molto... varie! Normalmente quando si usa la "notazione tensoriale" si usano le lettere latine per le tre dimensioni spaziali, quindi \(i=1,\dots,3\), mentre quelle greche si usano per lo spazio-tempo, quindi \(\alpha=0,\dots,3\) dove \(\alpha=0\) corrisponde alla cosiddetta "componente tempo" o "quarta componente"... perché "quarta"? Perché inizialmente \(x_4=ct\). Ovviamente gli autori russi (come Landau) usano la convenzione esattamente opposta... A tal proposito un primer per il calcolo "naif" in notazione tensoriale e alla sua applicazione alla RR sono i primi capitoli del Landau, Lifshitz - The Classical Theory of Fields. Poi esistono altre convenzioni su lettere latine e greche che non sto a dirti perché riguardano la RG, ma poi alla fine ognuno fa un po' ciò che gli pare.[/nota] che vanno da \(1\) a \(3\). Si adotta anche la convenzione di somma sugli indici ripetuti, cioé
\[
\epsilon_{ijk}\nabla^j\nabla^k f=\sum_{j=1}^3
\sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\nabla^j\nabla^k f\]
e \(\nabla^i\equiv\partial^i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i},\quad x_1=x,\,x_2=y,\,x_3=z\). Non mi chiedere di scriverti per esteso la somma, eh! Il punto di forza di questa tecnica è proprio quello di astrarre proprietà possedute da insiemi di quantità che trasformano in un certo modo quando si effettua un cambio di coordinate e di fare calcoli in modo molto compatto. All'inizio sembra parecchio controintuitivo, ma una volta che ci hai preso la mano non puoi più farne a meno

[Giux1]

Ok ti risparmio questa impresa , piuttosto ti chiedo se esiste qualche testo e/o guida possibilmente in italiano che tratti, partendo dalle basi, il simbolo di Levi-Civita la delta di kronecker e i tensori in generale, visto che è un argomento che mi appassiona e che vorrei approfondire...

[redlex91-votailprof]

La teoria "astratta" dei tensori è svolta spesso nei libri di Geometria Differenziale o in alcuni libri di Algebra/Algebra Lineare che trattano l'Algebra Multilineare... ma per fare i calcoli è sufficiente lavorare in componenti, che mi pare sia ciò che ti interessa.

Per quanto riguarda libri/dispense devi abituarti a studiare da testi in inglese Un'introduzione più che altro concettuale al calcolo coi tensori è questa di Galgani, et al.; poi come già detto ci sono i primi (due mi pare) capitoli di Landau, Lifshitz, The Classical Theory of Fields (esiste una traduzione in italiano), e anche questa dispensa (in inglese) di Dullemond, Peeters sembra carina. Se fai una veloce ricerca sul forum dovresti trovare poi alcune dispense in italiano consigliate da Navigatore; io non le conosco per cui mi astengo dal consiglartele.

Comunque il modo migliore per imparare a fare i calcoli in notazione tensoriale è quello di... farli! La Relatività Ristretta e l'Elettrodinamica Classica in formulazione covariante sono degli ottimi "eserciziari" per questo argomento

[Giux1]

come libro di testo possiedo il Nacinovich, che sto iniziando a leggere non so se lo conosci; credo di si; ... cmq tratta dell'algebra multilineare, ma non so se è introduttivo all'argomento, per l'inglese ci vorrà un po... per ora mi dovrò dedicare a solo a testi italiani.... però mi chiedevo visto che hai citato la relatività, l'algebra multilineare ed i tensori io credevo venissero adoperati solo in relatività generale non in quella ristretta, ...

[redlex91-votailprof]

I tensori permettono di scrivere equazioni in modo Lorentz-covariante, quindi sono utilizzati in tutta la Relatività ed anche in Elettrodinamica Classica (in opposizione all'Elettrodinamica Quantistica [QED] che pure fa uso di questa comoda notazione ).
Non ho mai consultato il Nacinovich, ma ne ho sentito parlare come di un libro parecchio ostico; in ogni caso per la Relatività Ristretta e l'Elettrodinamica Classica in forma covariante a vista penso sia sufficiente usare i tensori in componenti... insomma per un primissimo studio non[nota]A meno che tu non sia interessato principalmente a questo aspetto, ma pensavo che ti interessasse capire come si fanno i calcoli.[/nota] andrei ad impelagarmi in mappe multilineari, prodotti tensoriali, varietà lisce, spazio tangente, spazio cotangente, etc. Per la Relatività Generale invece questa matematica diventa importante, se non essenziale (ci tengo a evidenziare questa cosa , penso per ovvi motivi credo ).
La dispensa di Galgani secondo me motiva bene la necessità di usare tensori in Relatività e dà anche qualche cenno di come questi vengano formalizzati nelle Geometria su varietà lisce ( "smooth manifolds"); può essere che faccia riferimento a capitoli precedenti visto che la dispensa che ti ho linkato fa parte di un corso di Meccanica Analitica[nota]Il prof. Galgani non è stato mio docente per cui te le consiglio in modo imparziale, penso che siano ben fatte[/nota]. Il link alla pagina principale è il seguente: http://www.mat.unimi.it/users/carati/#DISPENSE

[Giux1]

Ti ringrazio molto per le risposte , la questione è che io sono molto ma molto appassionato di matematica e fisica e quindi mi piacerebbe capire a fondo questi argomenti soprattutto la relatività ristretta e generale.... perciò penso ci voglia un percorso particolare visto che dovrò studiare da autodidatta.... per iniziare leggero le dispense che mi hai citato del Prof Galani.. penso vadano bene per una introduzione...