Cambio di sistema di coordinate
Ciao a tutti.
Sto studiando un esame di fluidodinamica. Lo studio viene fatto per pompe radiali, di cui si studia inizialmente solo la sezione meridiana, cioè questa in figura, in cui si vedono anche le linee di flusso, cioè le traiettorie delle particelle di fluido:
L'asse orizzontale è $z$ mentre l'asse verticale è $r$ (scelto $r$ perchè è una sezione di un corpo assialsimmetrico, quindi $theta$ è perpendicolare al foglio).
Il problema mi sorge nel momento in cui devo passare dalle coordinate $(r,z)$ a $(m,n)$. Queste ultime coordinate sono tali che:
$m$ sia tangente alle linee di flusso
$n$ sia perpendicolare alle linee di flusso (quindi anche ad m)
$gamma$ sia l'angolo che $m$ forma con l'orizzontale, quindi con l'asse $z$
Una delle robe che ci servivano era di ottenere i termini $(dr)/(dt)$ e $(d^2 r)/(dt^2)$ nel sistema di coordinate $(m,n)$
[size=150]Lo svolgimento del prof. per il passaggio di coordinate in classe[/size] è questo:
$u=sin gamma*m+cos gamma*n$
$k=cos gamma*m - sin gamma*n$
con $u$ e $k$ rispettivamente versori di $r$ e $z$
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
$c_r=(dr)/(dt)=sin gamma c_m+cos gamma*c_n$
quindi considera $gamma$ costante! $c_i$ sono le velocità del fluido
Poi ricava la derivata seconda in maniera differente:
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) ((dr)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) (sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (d gamma)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (d gamma)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*((dm)/(dt))^2+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$a_r=(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d c_m)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*c_m^2+cos gamma (dc_n)/(dt)-sin gamma (del gamma)/(del m)*c_mc_n$
e a me sembra palese che questa volta, in disaccordo con il pasaggio precedente, ha considerato $gamma(m)$ variabile nel tempo come funzione di $m$
Inoltre poi esplicita pure che :
$(del gamma)/(del m)= 1/(R_c)$
cioè l'inverso del raggio di curvatura della linea di flusso.
Ovviamente [size=150]non sono d'accordo[/size] in quello che secondo me è un errore di fondo, cioè l'aver considerato $gamma$ prima costante e poi variabile!
A mio parere il primo passaggio sarebbe da fare così:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*m-sin gamma (del gamma)/(del m)*n+cos gamma(dn)/(dt)$
Ho provato a chiedere a tutti i miei compagni di corso e loro non vedevano il problema, gli sembrava tutto giusto.
Ho provato a chiedere al prof, e lui mi ha detto che $gamma$ localmente è costante, ma non mi ha saputo dire perchè non era così nel secondo passaggio.
Insomma a me sembra palesemente sbagliato, ma sembra solo a me....mi dite se ho sbagliato e se sì dove???
E' un sacco che vado avanti con sta cosa, e non ce la faccio più!!
Sto studiando un esame di fluidodinamica. Lo studio viene fatto per pompe radiali, di cui si studia inizialmente solo la sezione meridiana, cioè questa in figura, in cui si vedono anche le linee di flusso, cioè le traiettorie delle particelle di fluido:
L'asse orizzontale è $z$ mentre l'asse verticale è $r$ (scelto $r$ perchè è una sezione di un corpo assialsimmetrico, quindi $theta$ è perpendicolare al foglio).
Il problema mi sorge nel momento in cui devo passare dalle coordinate $(r,z)$ a $(m,n)$. Queste ultime coordinate sono tali che:
$m$ sia tangente alle linee di flusso
$n$ sia perpendicolare alle linee di flusso (quindi anche ad m)
$gamma$ sia l'angolo che $m$ forma con l'orizzontale, quindi con l'asse $z$
Una delle robe che ci servivano era di ottenere i termini $(dr)/(dt)$ e $(d^2 r)/(dt^2)$ nel sistema di coordinate $(m,n)$
[size=150]Lo svolgimento del prof. per il passaggio di coordinate in classe[/size] è questo:
$u=sin gamma*m+cos gamma*n$
$k=cos gamma*m - sin gamma*n$
con $u$ e $k$ rispettivamente versori di $r$ e $z$
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
$c_r=(dr)/(dt)=sin gamma c_m+cos gamma*c_n$
quindi considera $gamma$ costante! $c_i$ sono le velocità del fluido
Poi ricava la derivata seconda in maniera differente:
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) ((dr)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=d/(dt) (sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt))$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (d gamma)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (d gamma)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dm)/(dt)+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d^2m)/(dt^2)+cos gamma (del gamma)/(del m)*((dm)/(dt))^2+cos gamma (d^2 n)/(dt^2)-sin gamma (del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)*(dn)/(dt)$
$a_r=(d^2 r)/(dt^2)=sin gamma (d c_m)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*c_m^2+cos gamma (dc_n)/(dt)-sin gamma (del gamma)/(del m)*c_mc_n$
e a me sembra palese che questa volta, in disaccordo con il pasaggio precedente, ha considerato $gamma(m)$ variabile nel tempo come funzione di $m$
Inoltre poi esplicita pure che :
$(del gamma)/(del m)= 1/(R_c)$
cioè l'inverso del raggio di curvatura della linea di flusso.
Ovviamente [size=150]non sono d'accordo[/size] in quello che secondo me è un errore di fondo, cioè l'aver considerato $gamma$ prima costante e poi variabile!
A mio parere il primo passaggio sarebbe da fare così:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma (del gamma)/(del m)*m-sin gamma (del gamma)/(del m)*n+cos gamma(dn)/(dt)$
Ho provato a chiedere a tutti i miei compagni di corso e loro non vedevano il problema, gli sembrava tutto giusto.
Ho provato a chiedere al prof, e lui mi ha detto che $gamma$ localmente è costante, ma non mi ha saputo dire perchè non era così nel secondo passaggio.
Insomma a me sembra palesemente sbagliato, ma sembra solo a me....mi dite se ho sbagliato e se sì dove???
E' un sacco che vado avanti con sta cosa, e non ce la faccio più!!
Risposte
"pizzaf40":
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)$
$(dr)/(dt)=sin gamma (dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
$c_r=(dr)/(dt)=sin gamma c_m+cos gamma*c_n$
quindi considera $gamma$ costante! $c_i$ sono le velocità del fluido
Secondo me quello che sbaglia sei tu. Infatti nella seconda delle relazioni che ho riportato il prof ha semplicemente sostituito $(del r)/(del m)$ con il suo sinonimo $sin gamma $, niente di più.
Avresti ragione tu se il prof avesse ulteriormente derivato (come ha fatto per la derivata seconda infatti), ma qui ha solo sostituito. La derivata l'aveva già fatta nella prima di queste tre relazioni, quindi nello scrivere la seconda relazione ha solo sostituito, mica doveva derivare ulteriormente!
E' che non capisco come mai fa così, perchè lui stesso ha definito $gamma=gamma(m)$, quindi pensavo che fosse da fare:
$(del r)/(del m)=del/(del m) (sin[gamma(m)]*m+cos[gamma(m)]*n)=sin [gamma(m)]+cos[gamma(m)]*(del gamma(m))/(del m)*m-sin[gamma(m)]*(del gamma(m))/(del m)*n$
al posto di:
$(del)/(del m)(sin gamma*m+cos gamma*n)= sin gamma$
Cioè è proprio la sostituzione che mi puzza, perchè considera il gamma come indipendente da qualunque variabile, quindi costante.
Nel passo successivo della derivata seconda, invece, gamma viene considerata come $gamma(m)$ e trattata di conseguenza...
$(del r)/(del m)=del/(del m) (sin[gamma(m)]*m+cos[gamma(m)]*n)=sin [gamma(m)]+cos[gamma(m)]*(del gamma(m))/(del m)*m-sin[gamma(m)]*(del gamma(m))/(del m)*n$
al posto di:
$(del)/(del m)(sin gamma*m+cos gamma*n)= sin gamma$
Cioè è proprio la sostituzione che mi puzza, perchè considera il gamma come indipendente da qualunque variabile, quindi costante.
Nel passo successivo della derivata seconda, invece, gamma viene considerata come $gamma(m)$ e trattata di conseguenza...
Anche qua temo che il prof. abbia fatto giusto, e cerco di spiegarmi con un esempio anche se la matematica non è la mia materia per cui mi spiego sicuramente in modo scimmiesco e se mi legge un matematico mi impallina. Comunque...
Tu (credo) fai confusione tra la derivata parziale e la derivata totale.
Supponiamo che ci sia una funzione $y=f(x,t)$, e supponiamo che si voglia fare il differenziale totale:
$dy= (delf)/(delx)dx+(delf)/(delt)dt$
Sulle due variabili x e t, però, nessuno ti dà ulteriori informazioni: possono essere tra loro indipendenti come no, ma qualunque sia la loro relazione il differenziale totale si scrive sempre allo stesso modo.
Dunque se adesso uno ti dice che $x=g(t)$ non cambia niente nella formula del differenziale: cambia però il fatto che adesso è possibile calcolare la derivata totale rispetto a t (mentre prima di sapere questa relazione non aveva senso farlo), e la derivata totale è dunque $(dy)/(dt)=(delf)/(delx)(dg)/(dt)+(delf)/(delt)$. Ovviamente avendo saputo prima questa relazione si poteva anche abbreviare il cammino e scrivere: $y=f[g(t)]$ e calcolare direttamente $(dy)/(dt)$, però per fare questo calcolo serviva esplicitare la funzione $x=g(t)$ all'interno della $f(x,t)$ rendendo quest'ultima funzione di una variabile sola. I due procedimenti però sono esattamente equivalenti.
Per concludere dunque, è possibile considerare le variabili x e t come se fossero indipendenti e prenderne le derivate parziali, le quali come noto considerano come una costante la variabile che non è oggetto di derivazione.
Insomma e la faccio finita: quando si fa una derivata parziale le variabili non oggetto di derivazione vanno considerate come delle costanti; e ciò è vero anche se esistono ulteriori interdipendenze tra le variabili che alla fine potranno consentire di calcolare un'unica derivata totale.
Non so se ho colto il nocciolo dei tuoi dubbi oppure se ho fatto ulteriore casino... ad ogni modo apprezza la buona volontà.
Ciao.
Tu (credo) fai confusione tra la derivata parziale e la derivata totale.
Supponiamo che ci sia una funzione $y=f(x,t)$, e supponiamo che si voglia fare il differenziale totale:
$dy= (delf)/(delx)dx+(delf)/(delt)dt$
Sulle due variabili x e t, però, nessuno ti dà ulteriori informazioni: possono essere tra loro indipendenti come no, ma qualunque sia la loro relazione il differenziale totale si scrive sempre allo stesso modo.
Dunque se adesso uno ti dice che $x=g(t)$ non cambia niente nella formula del differenziale: cambia però il fatto che adesso è possibile calcolare la derivata totale rispetto a t (mentre prima di sapere questa relazione non aveva senso farlo), e la derivata totale è dunque $(dy)/(dt)=(delf)/(delx)(dg)/(dt)+(delf)/(delt)$. Ovviamente avendo saputo prima questa relazione si poteva anche abbreviare il cammino e scrivere: $y=f[g(t)]$ e calcolare direttamente $(dy)/(dt)$, però per fare questo calcolo serviva esplicitare la funzione $x=g(t)$ all'interno della $f(x,t)$ rendendo quest'ultima funzione di una variabile sola. I due procedimenti però sono esattamente equivalenti.
Per concludere dunque, è possibile considerare le variabili x e t come se fossero indipendenti e prenderne le derivate parziali, le quali come noto considerano come una costante la variabile che non è oggetto di derivazione.
Insomma e la faccio finita: quando si fa una derivata parziale le variabili non oggetto di derivazione vanno considerate come delle costanti; e ciò è vero anche se esistono ulteriori interdipendenze tra le variabili che alla fine potranno consentire di calcolare un'unica derivata totale.
Non so se ho colto il nocciolo dei tuoi dubbi oppure se ho fatto ulteriore casino... ad ogni modo apprezza la buona volontà.
Ciao.
Ok, ma $gamma$ sappiamo che è variabile e che è funzione di $m$.
Se invece non si fosse saputo di cos'era funzione, di sicuro si sarebbe saputo che era potenzialmente variabile e non costante, quindi si sarebbe dovuto fare:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)+(del r)/(del gamma)*(d gamma)/(dt)$
perchè la derivata totale la devo esplicitare in funzione di tutte le potenziali variabili tramite le derivate parziali...sennò, al contrario, per lo stesso motivo potrei anche escludere la varibile $n$, perchè per quanto ne so può essere messa in relazione con $m$, ma non conoscendone la relazione, considero $n$ costante e scrivo:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)$
e mi fermo quì.
Capisci il mio dubbio? Se un termine è variabile, pur non conoscendo la relazione con cui varia, devo considerarne la variabilità...poi il fatto che in realtà la relazione tra $m$ e $gamma$ sia conosciuta la momento può essere considerato secondario nel discorso.
Il tutto, a mio parere è palesemente confermato dalla seconda parte, in cui la derivata seconda sviluppata in due modi distinti ma equivalenti porta allo stesso risultato, il quale è ottenuto considerando $gamma$ variabile in funzione di $m$...
Mi spiace ma continuo a non capire
Se invece non si fosse saputo di cos'era funzione, di sicuro si sarebbe saputo che era potenzialmente variabile e non costante, quindi si sarebbe dovuto fare:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)+(del r)/(del gamma)*(d gamma)/(dt)$
perchè la derivata totale la devo esplicitare in funzione di tutte le potenziali variabili tramite le derivate parziali...sennò, al contrario, per lo stesso motivo potrei anche escludere la varibile $n$, perchè per quanto ne so può essere messa in relazione con $m$, ma non conoscendone la relazione, considero $n$ costante e scrivo:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)$
e mi fermo quì.
Capisci il mio dubbio? Se un termine è variabile, pur non conoscendo la relazione con cui varia, devo considerarne la variabilità...poi il fatto che in realtà la relazione tra $m$ e $gamma$ sia conosciuta la momento può essere considerato secondario nel discorso.
Il tutto, a mio parere è palesemente confermato dalla seconda parte, in cui la derivata seconda sviluppata in due modi distinti ma equivalenti porta allo stesso risultato, il quale è ottenuto considerando $gamma$ variabile in funzione di $m$...
Mi spiace ma continuo a non capire
"pizzaf40":
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)+(del r)/(del gamma)*(d gamma)/(dt)$
Riporto questa relazione e provo a osservarla criticamente.
Con le definizioni date devo immaginare di trovarmi in un punto P situato lungo una linea di flusso. Da questo punto P faccio partire un sistema di assi ortogonali, uno tangente alla linea di flusso sulla quale mi trovo, l'altro ortogonale a questo e quindi ortogonale alle linee di flusso. E' un sistema cartesiano anch'esso, solo che è ruotato di un angolo $\gamma$ rispetto al sistema base centrato in O. Adesso mi muovo di un $\vec(dP)$ rispetto al punto P e voglio definire le caratteristiche di questo movimento nel tempo. Allora prendo la coordinata assoluta r e guardo come cambia al cambiare di uno solo alla volta dei parametri locali che ho definito, per poi moltiplicare ciascuna variazione parziale per la variazione nel tempo di quel parametro e sommare le diverse componenti ottenendo la derivata totale. Ho solo descritto a parole quello che c'è nella tua relazione che ho riportato.
Allora prima suppongo di muovermi cambiando solo il parametro m, lasciando fermi n e $\gamma$. Trovo come cambia r in funzione di questo cambiamento, che, nota bene, avviene lungo una retta, ovvero l'asse tangente alla linea di flusso. Chiamo questo rapporto "derivata parziale di r rispetto a m" e mi accorgo che coincide con $sin\gamma$. Poi torno in P e mi sposto in un punto P' cambiando solo n, accorgendomi adesso che la derivata parziale è $cos\gamma$. Poi pretendo di trovare un punto P' che abbia la caratteristica di avere le medesime coordinate m e n di P, ma $\gamma$ diverso. Mi accorgo che questo punto è P stesso, ruotato di un $d\gamma$, perché la costanza di m e n mi costringe a rimanere fermo. Allora devo concludere che $(delr)/(del\gamma)=0$. Se applichi questo concetto alla tua espressione esce quella del tuo prof.
Il fatto è che finché mi limito alla derivata prima il sistema cartesiano locale è uno solo.
Diverso è quando devo passare alla derivata seconda, perché allora devo confrontare le variazioni tra punti limitrofi quando avvengono in due sistemi cartesiani locali vicinissimi ma diversi, il primo centrato in P, il secondo centrato in P'. Ecco allora che passando da un sistema all'alto $\gamma$ cambia anche se le altre variabili, che adesso non sono più m e n bensì $(dm)/(dt)$ e $(dn)/(dt)$, restano inalterate.
Ok, mi hai quasi convinto 
Quindi intendi dire che faccio le derivate parziali rispetto alle mie variabili (2D ne bastano 2, $m$ ed $n$) e se mi muovo infinitesimamente lungo $m$ non varia l'angolo (quindi $gamma$ è costante) e lungo $n$ pure. Mentre ne caso della derivata seconda (immaginando lo spostamento infinitesimamente discreto) sto osservando 3 punti anzichè 2, quindi ho una variazione di $gamma$. Fin quì mi è chiaro e sarei convinto.
Mi manca solo capire perchè:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
è diverso da:
$(dr)/(dt)=d/(dt)(sin gamma*m+cos gamma*n)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)+(cos gamma*m-msin gamma*n)(d gamma)/(dt)$
con $(d gamma)/(dt)=(del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)$ dato che $gamma=gamma(m)$
Le due scritture della derivata non dovrebbero essere equivalenti? Perchè io credo che dovrei poter scrivere $(dr)/(dt)=(dr)/(dt)$ ma questo mi imporrebbe:
$(cos gamma*m-msin gamma*n)(del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)=0$
ma il primo termine non può essere nullo sennò perde senso la trasformazione, la velocità in $m$ non può essere nulla, ma non vedo perchè $(del gamma)/(del m)$ debba essere nulla visto che è una funzione esplicitabile in $m$.
Mi manca questo dubbio
(ti ringrazio infinitamente per la pazienza...veramente!)
Quindi intendi dire che faccio le derivate parziali rispetto alle mie variabili (2D ne bastano 2, $m$ ed $n$) e se mi muovo infinitesimamente lungo $m$ non varia l'angolo (quindi $gamma$ è costante) e lungo $n$ pure. Mentre ne caso della derivata seconda (immaginando lo spostamento infinitesimamente discreto) sto osservando 3 punti anzichè 2, quindi ho una variazione di $gamma$. Fin quì mi è chiaro e sarei convinto.
Mi manca solo capire perchè:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
è diverso da:
$(dr)/(dt)=d/(dt)(sin gamma*m+cos gamma*n)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)+(cos gamma*m-msin gamma*n)(d gamma)/(dt)$
con $(d gamma)/(dt)=(del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)$ dato che $gamma=gamma(m)$
Le due scritture della derivata non dovrebbero essere equivalenti? Perchè io credo che dovrei poter scrivere $(dr)/(dt)=(dr)/(dt)$ ma questo mi imporrebbe:
$(cos gamma*m-msin gamma*n)(del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)=0$
ma il primo termine non può essere nullo sennò perde senso la trasformazione, la velocità in $m$ non può essere nulla, ma non vedo perchè $(del gamma)/(del m)$ debba essere nulla visto che è una funzione esplicitabile in $m$.
Mi manca questo dubbio
(ti ringrazio infinitamente per la pazienza...veramente!)
"pizzaf40":
Mi manca solo capire perchè:
$(dr)/(dt)=(del r)/(del m)*(dm)/(dt)+(del r)/(del n)*(dn)/(dt)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)$
è diverso da:
$(dr)/(dt)=d/(dt)(sin gamma*m+cos gamma*n)=sin gamma*(dm)/(dt)+cos gamma*(dn)/(dt)+(cos gamma*m-msin gamma*n)(d gamma)/(dt)$
con $(d gamma)/(dt)=(del gamma)/(del m)*(dm)/(dt)$ dato che $gamma=gamma(m)$
Le due scritture della derivata non dovrebbero essere equivalenti?
NO, non lo sono.
La relazione lineare è solo locale e vale per i differenziali ovvero:
$dr= dmsin\gamma+dncos\gamma$
Se fosse vero quello che dici allora sarebbe valida anche la seguente relazione tra le grandezze r, m, n,:
$r=msin\gamma+ncos\gamma$
e analogamente per z.
Ma nessuno ha detto questo, perché se ci pensi questa relazione su r e la sua duale su z, unite alla definizione di $\gamma$ come angolo tangente in ogni punto alle curve con n costante, sarebbero già le equazioni di un reticolo con caratteristiche particolari, mentre invece la relazione sulle derivate risulta più generale e valida per ogni tipo di reticolo localmente ortogonale.
"Falco5x":
La relazione lineare è solo locale e vale per i differenziali ovvero:
$dr= dmsin\gamma+dncos\gamma$
Se fosse vero quello che dici allora sarebbe valida anche la seguente relazione tra le grandezze r, m, n,:
$r=msin\gamma+ncos\gamma$
e analogamente per z.
Eh eh eh eh
non ci crederai ma il prof ha iniziato la trattazione proprio scrivendo $r=m* sin gamma+n*cos gamma$ e $z=m*cos gamma- n* sin gamma$.Ma mi fido di te, fidati che ne ho motivo...sto corso è fatto veramente coi piedi...mai avuto un prof così!
Comunque ora mi è chiaro il motivo e perchè c'è questa apparente discepanza tra la derivata prima e seconda.
Grazie $10^(23)$...mi hai levato un bel pensiero!
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