Calcolo velocità angolare finale di un disco
ciao a tutti in questo esercizio non capisco dove sia l errore.
Un disco rigido omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ è vincolato e ruotare senza strisciare lungo una guida orizzontale.Una cordicella flessibile insestensibile e di massa trascurabile ha un estremo A collegato al bordo del disco, è avvolta per molti intorno a tale bordo, se ne distacca nel punto più alto, ad è tesa da una forza costante di modulo $F$, parallela al binario,applicata all' altro estremo in B.Nell istante iniziale in cui viene applicata la forza $F$ il disco è in quiete: determinare la velocità angolare del disco nell' istante in cui l' estremo B della cordicella si è allontanato dala posizione iniziale d un tratto lungo $L$
la relazione cinematica tra lo spostamento del punto di applicazione della forza e lo spostamento del centro del disco è
$ x_B=2x_G $
$ x_G=x_B/2=L/2 $
applico il teorema delle forze vive
$ T_f=L$ (la lettera L solo in questo caso indica il lavoro)
$ 1/2I_comega^2=FL/2 $
doce C è il punto di contatto
$ omega=(FL/I_c)^(1/2)=(2/3FL/(MR^2))^(1/2) $
Questo procedimento è corretto? perche nel libro ottiene come risultato finale
$ omega=2(1/3FL/(MR^2))^(1/2) $
Un disco rigido omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ è vincolato e ruotare senza strisciare lungo una guida orizzontale.Una cordicella flessibile insestensibile e di massa trascurabile ha un estremo A collegato al bordo del disco, è avvolta per molti intorno a tale bordo, se ne distacca nel punto più alto, ad è tesa da una forza costante di modulo $F$, parallela al binario,applicata all' altro estremo in B.Nell istante iniziale in cui viene applicata la forza $F$ il disco è in quiete: determinare la velocità angolare del disco nell' istante in cui l' estremo B della cordicella si è allontanato dala posizione iniziale d un tratto lungo $L$
la relazione cinematica tra lo spostamento del punto di applicazione della forza e lo spostamento del centro del disco è
$ x_B=2x_G $
$ x_G=x_B/2=L/2 $
applico il teorema delle forze vive
$ T_f=L$ (la lettera L solo in questo caso indica il lavoro)
$ 1/2I_comega^2=FL/2 $
doce C è il punto di contatto
$ omega=(FL/I_c)^(1/2)=(2/3FL/(MR^2))^(1/2) $
Questo procedimento è corretto? perche nel libro ottiene come risultato finale
$ omega=2(1/3FL/(MR^2))^(1/2) $
Risposte
F fa sia un "lavoro di traslazione" sia un "lavoro di rotazione", tu hai considerato solo il lavoro di traslazione. Per essere più precisi, il moto è di puro rotolamento e possiamo considerare l'atto di moto di rotazione istantaneo attorno al punto C di contatto col terreno. Rispetto a C l'unica forza che fa momento è F, il suo momento è 2FR, inoltre come hai ben detto, la ruota trasla di L/2 ma ruota anche di $(L/2)/R=theta$ pertanto il lavoro totale che la forza F fa rispetto a C è: $2FR*theta=(2FR(L/2))/R=FL$
Molto banalmente...
Supponiamo di chiudere il disco che rotola, dentro una scatola nera fissa, lunga quel tanto che basta a consentire il moto del disco per il tratto che serve. Però noi non vediamo cosa c'è nella scatola, non sappiamo cosa contiene, vediamo solo che ha un buco sul lato destro in alto e da questo buco esce un filo. Applichiamo al filo una forza costante F finché il filo esce per una lunghezza incrementale L. Domanda: quale lavoro abbiamo fatto sul sistema? risposta quasi ovvia: $W=FL$.
Ebbene questo è il lavoro fatto sul sistema, e questo lavoro si deve tradurre in energia immagazzinata nella scatola. Se ci fossero un cilindro adiabatico contenente gas che viene compresso da questa forza, il lavoro incrementerebbe l'energia interna del gas. In questo caso invece il lavoro incrementa l'energia cinetica totale del disco.
Supponiamo di chiudere il disco che rotola, dentro una scatola nera fissa, lunga quel tanto che basta a consentire il moto del disco per il tratto che serve. Però noi non vediamo cosa c'è nella scatola, non sappiamo cosa contiene, vediamo solo che ha un buco sul lato destro in alto e da questo buco esce un filo. Applichiamo al filo una forza costante F finché il filo esce per una lunghezza incrementale L. Domanda: quale lavoro abbiamo fatto sul sistema? risposta quasi ovvia: $W=FL$.
Ebbene questo è il lavoro fatto sul sistema, e questo lavoro si deve tradurre in energia immagazzinata nella scatola. Se ci fossero un cilindro adiabatico contenente gas che viene compresso da questa forza, il lavoro incrementerebbe l'energia interna del gas. In questo caso invece il lavoro incrementa l'energia cinetica totale del disco.
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