Calcolo Variazione di Entropia
Ciao ragazzi, riscontro qualche difficoltà nel calcolo dell'entropia dell'ambiente in esercizi di questo tipo.
" \(\displaystyle 32.62 * 10^-2 \) moli di un gas perfetto biatomico descrivono il seguente ciclo: dallo stato iniziale A (\(\displaystyle P_A=10^5 Pa \), \(\displaystyle V_A=8 * 10^-3 m^3 \)) si ha una compressione adiabatica reversibile che dimezza il volume, poi da B segue una trasformazione isoterma irreversibile fino allo stato C (\(\displaystyle V_C=7 * 10^-3 m^3 \)) con assorbimento di calore \(\displaystyle Q_1=550J \) e ritorno allo stato A con una trasformazione rettilinea reversibile (pressione che varia linearmente con il volume). Calcolare rendimento del ciclo e variazione dell’entropia dell’universo."
Il rendimento del ciclo che ho trovato vale \(\displaystyle \eta = 0.066 \) circa. Per il calcolo della variazione dell'entropia dell'universo termodinamico, essa è data dalla somma della variazione dell'entropia dell'ambiente e del sistema ( in questo caso il gas):
\(\displaystyle \Delta S_u = \Delta S_G + \Delta S_A \) ma \(\displaystyle \Delta S_G = 0 \) perché l'entropia è una funzione di stato e il gas compie un ciclo ritornando allo stato iniziale. Come si determina (in questo caso ma anche in generale) l'entropia dell'ambiente? L'unica cosa che posso dire è che durante le varie trasformazioni il gas scambia calore con l'ambiente, quindi ciò che assorbe (cede) il gas viene ceduto (assorbito) dall'ambiente.
" \(\displaystyle 32.62 * 10^-2 \) moli di un gas perfetto biatomico descrivono il seguente ciclo: dallo stato iniziale A (\(\displaystyle P_A=10^5 Pa \), \(\displaystyle V_A=8 * 10^-3 m^3 \)) si ha una compressione adiabatica reversibile che dimezza il volume, poi da B segue una trasformazione isoterma irreversibile fino allo stato C (\(\displaystyle V_C=7 * 10^-3 m^3 \)) con assorbimento di calore \(\displaystyle Q_1=550J \) e ritorno allo stato A con una trasformazione rettilinea reversibile (pressione che varia linearmente con il volume). Calcolare rendimento del ciclo e variazione dell’entropia dell’universo."
Il rendimento del ciclo che ho trovato vale \(\displaystyle \eta = 0.066 \) circa. Per il calcolo della variazione dell'entropia dell'universo termodinamico, essa è data dalla somma della variazione dell'entropia dell'ambiente e del sistema ( in questo caso il gas):
\(\displaystyle \Delta S_u = \Delta S_G + \Delta S_A \) ma \(\displaystyle \Delta S_G = 0 \) perché l'entropia è una funzione di stato e il gas compie un ciclo ritornando allo stato iniziale. Come si determina (in questo caso ma anche in generale) l'entropia dell'ambiente? L'unica cosa che posso dire è che durante le varie trasformazioni il gas scambia calore con l'ambiente, quindi ciò che assorbe (cede) il gas viene ceduto (assorbito) dall'ambiente.
Risposte
"MrEngineer":
Come si determina (in questo caso ma anche in generale) l'entropia dell'ambiente? L'unica cosa che posso dire è che durante le varie trasformazioni il gas scambia calore con l'ambiente, quindi ciò che assorbe (cede) il gas viene ceduto (assorbito) dall'ambiente.
Ma se le trasformazioni in questione sono tutte reversibili l'entropia che cede e l'entropia che prende sono uguali.
"dRic":
[quote="MrEngineer"]Come si determina (in questo caso ma anche in generale) l'entropia dell'ambiente? L'unica cosa che posso dire è che durante le varie trasformazioni il gas scambia calore con l'ambiente, quindi ciò che assorbe (cede) il gas viene ceduto (assorbito) dall'ambiente.
Ma se le trasformazioni in questione sono tutte reversibili l'entropia che cede e l'entropia che prende sono uguali.[/quote]
Esatto,ma non lo sono. Il tratto B->C è irreversibile
Sorry avevo letto di fretta. Beh scusa allora credo basti calcolare la differenza di entropia che si avrebbe se B->C fosse reversibile e confrontarla con la variazione di entropia che hai invece calcolato per l'ambiente. La differenza è entropia "generata" quindi dovrebbe essere l'aumento totale di entropia dell'universo
"dRic":
e confrontarla con quella che hai invece calcolato.
Ciao Ric, a quale variazione di entropia ti riferisci? io non ne ho calcolata alcuna, ho solo supposto che la variazione di entropia del gas si annulli in quanto esso compie una trasformazione ciclica.
"MrEngineer":
[...]Per il calcolo della variazione dell'entropia dell'universo termodinamico, essa è data dalla somma della variazione dell'entropia dell'ambiente e del sistema ( in questo caso il gas):
\( \displaystyle \Delta S_u = \Delta S_G + \Delta S_A \) ma \( \displaystyle \Delta S_G = 0 \) perché l'entropia è una funzione di stato e il gas compie un ciclo ritornando allo stato iniziale. Come si determina (in questo caso ma anche in generale) l'entropia dell'ambiente? L'unica cosa che posso dire è che durante le varie trasformazioni il gas scambia calore con l'ambiente, quindi ciò che assorbe (cede) il gas viene ceduto (assorbito) dall'ambiente.
Un metodo consiste nel calcolare la variazione di entropia dell'universo per le trasformazioni irreversibili, visto che per le reversibili la variazione di entropia è uguale ad opposta per il gas e per l'ambiente.
La variazione di entropia del gas per quelle trasformazioni la calcoli semplicemente immaginando una trasformazione reversibile che porta il gas dallo stato iniziale della trasformazione al finale (senza considerare il calore che è realmente scambiato lungo quella trasformazione irreversibile), per il calcolo della variazione di entropia dell'ambiente è facile, basta considerare il calore scambiato lungo la trasformazione e considerare che l'ambiente si trova sempre a una temperatura costante.
"Faussone":
[quote="MrEngineer"]
[...]Per il calcolo della variazione dell'entropia dell'universo termodinamico, essa è data dalla somma della variazione dell'entropia dell'ambiente e del sistema ( in questo caso il gas):
\( \displaystyle \Delta S_u = \Delta S_G + \Delta S_A \) ma \( \displaystyle \Delta S_G = 0 \) perché l'entropia è una funzione di stato e il gas compie un ciclo ritornando allo stato iniziale. Come si determina (in questo caso ma anche in generale) l'entropia dell'ambiente? L'unica cosa che posso dire è che durante le varie trasformazioni il gas scambia calore con l'ambiente, quindi ciò che assorbe (cede) il gas viene ceduto (assorbito) dall'ambiente.
Un metodo consiste nel calcolare la variazione di entropia dell'universo per le trasformazioni irreversibili, visto che per le reversibili la variazione di entropia è uguale ad opposta per il gas e per l'ambiente.
La variazione di entropia del gas per quelle trasformazioni la calcoli semplicemente immaginando una trasformazione reversibile che porta il gas dallo stato iniziale della trasformazione al finale (senza considerare il calore che è realmente scambiato lungo quella trasformazione irreversibile), per il calcolo della variazione di entropia dell'ambiente è facile, basta considerare il calore scambiato lungo la trasformazione e considerare che l'ambiente si trova sempre a una temperatura costante.[/quote]
Potresti rielaborare il concetto? non ho ben capito che intendi!
Le trasformazioni A->B e C-A sono reversibili quindi $\DeltaS_{u} = 0$. L'unica trasformazione che dà contributo alla variazione di entropia dell'universo è quella irreversibile B->C.
Come si calcola la variazione dell'universo di entropia per la trasformazione B->C?
Devi fare $\DeltaS_u = \DeltaS_s + \DeltaS_a$ ovvero è la somma algebrica della variazione di entropia (per la trasformazione B->C) del sistema e dell'ambiente circostante. Ovviamente, poiché irreversibile, $\DeltaS_s$ sarà diverso da $\DeltaS_a$ e quindi ne deve risultare un $DeltaS_u > 0$.
Come si calcolano le variazioni di entropia per la trasformazione B->C per l'ambiente e per il sistema?
PS: corretto il mio precedente post perché era scritto un po' con i piedi
Come si calcola la variazione dell'universo di entropia per la trasformazione B->C?
Devi fare $\DeltaS_u = \DeltaS_s + \DeltaS_a$ ovvero è la somma algebrica della variazione di entropia (per la trasformazione B->C) del sistema e dell'ambiente circostante. Ovviamente, poiché irreversibile, $\DeltaS_s$ sarà diverso da $\DeltaS_a$ e quindi ne deve risultare un $DeltaS_u > 0$.
Come si calcolano le variazioni di entropia per la trasformazione B->C per l'ambiente e per il sistema?
"Faussone":
La variazione di entropia del gas per quelle trasformazioni la calcoli semplicemente immaginando una trasformazione reversibile che porta il gas dallo stato iniziale della trasformazione al finale (senza considerare il calore che è realmente scambiato lungo quella trasformazione irreversibile), per il calcolo della variazione di entropia dell'ambiente è facile, basta considerare il calore scambiato lungo la trasformazione e considerare che l'ambiente si trova sempre a una temperatura costante.
PS: corretto il mio precedente post perché era scritto un po' con i piedi
"MrEngineer":
Potresti rielaborare il concetto? non ho ben capito che intendi!
Rileggi quanto ti ho scritto, dRic ti ha dato anche qualche altro stimolo.
Grazie ragazzi! In giornata riprendo in mano l'esercizio e rileggo i vostri suggerimenti. Se dovessi avere qualche altro dubbio vi farò sapere
@Faussone, @dRic ho riletto con attenzione i vostri preziosi consigli. Credo di aver capito. Dunque, ogni qualvolta mi si chieda di calcolare la variazione di entropia dell'universo, a buone ragioni posso tralasciare le trasformazioni reversibili del gas dato che essi porteranno ad una variazione nulla e considerare soltanto quelle irreversibili. Essendo in questo caso
\(\displaystyle \Delta S_u = \Delta S_g + \Delta S_A\) dovrò calcolare la variazione d'entropia per il gas prendendo una qualunque trasformazione reversibile e per l'ambiente considerare il calore scambiato durante quella trasformazione a temperatura ambiente appunto. E' tutto corretto?
Il libro calcola questa variazione di entropia nel modo seguente:
\(\displaystyle \Delta S_u = nRln(V_c/V_b) - Q_1 / T_B\).
Il primo elemento corrisponde alla variazione di entropia per una isoterma ( dico bene? ) mentre il secondo termine corrisponde al rapporto tra il calore \(\displaystyle Q_1 \) - che il libro dice assorbito dal gas (da qui il meno per l'ambiente) - e la temperatura \(\displaystyle T_B \). Faussone ha parlato di temperatura costante e io ho immaginato che questa temperatura fosse quella ambiente, ma evidentemente non è così dato che \(\displaystyle T_B = 389 K \) e non \(\displaystyle 289.15 K \) come invece per una temperatura ambiente a \(\displaystyle 25°C \).
\(\displaystyle \Delta S_u = \Delta S_g + \Delta S_A\) dovrò calcolare la variazione d'entropia per il gas prendendo una qualunque trasformazione reversibile e per l'ambiente considerare il calore scambiato durante quella trasformazione a temperatura ambiente appunto. E' tutto corretto?
Il libro calcola questa variazione di entropia nel modo seguente:
\(\displaystyle \Delta S_u = nRln(V_c/V_b) - Q_1 / T_B\).
Il primo elemento corrisponde alla variazione di entropia per una isoterma ( dico bene? ) mentre il secondo termine corrisponde al rapporto tra il calore \(\displaystyle Q_1 \) - che il libro dice assorbito dal gas (da qui il meno per l'ambiente) - e la temperatura \(\displaystyle T_B \). Faussone ha parlato di temperatura costante e io ho immaginato che questa temperatura fosse quella ambiente, ma evidentemente non è così dato che \(\displaystyle T_B = 389 K \) e non \(\displaystyle 289.15 K \) come invece per una temperatura ambiente a \(\displaystyle 25°C \).
Non mi è ancora molto chiaro ciò che mi avete detto. Perché ad esempio in
questo esercizio la variazione d'entropia viene calcolata soltanto cambiando il segno al calore assorbito ( o ceduto ) dal gas? Si potrebbe fare lo stesso discorso che abbiamo fatto qualche post fa per le trasformazioni irreversibili. Ho ancora un pò di confusione
questo esercizio la variazione d'entropia viene calcolata soltanto cambiando il segno al calore assorbito ( o ceduto ) dal gas? Si potrebbe fare lo stesso discorso che abbiamo fatto qualche post fa per le trasformazioni irreversibili. Ho ancora un pò di confusione
"MrEngineer":
[...] mentre il secondo termine corrisponde al rapporto tra il calore \( \displaystyle Q_1 \) - che il libro dice assorbito dal gas (da qui il meno per l'ambiente)
Per l'ambiente è un calore assorbito, quindi il segno per la variazione di entropia è positivo.
"MrEngineer":
Non mi è ancora molto chiaro ciò che mi avete detto. Perché ad esempio in [...]
Il metodo lì usato è diverso e consiste nel considerare che la variazione di entropia del gas è nulla per il ciclo quindi viene calcolata la variazione di entropia del solo ambiente per tutte le trasformazioni del ciclo che coincide con quella complessiva dell'universo.
L'alternativa è fare quello che dicevamo prima: cioè calcolare la variazione di entropia per le sole trasformazioni irreversibili che è quella che dà contributo all'aumento di entropia dell'universo.
Prova a fare il calcolo anche secondo questo approccio e otterrai lo stesso risultato.
"Faussone":
[quote="MrEngineer"] [...] mentre il secondo termine corrisponde al rapporto tra il calore \( \displaystyle Q_1 \) - che il libro dice assorbito dal gas (da qui il meno per l'ambiente)
Per l'ambiente è un calore assorbito, quindi il segno per la variazione di entropia è positivo.[/quote]
Ciao Faussone, hai frainteso la mia domanda. Il perché il segno venga invertito ponendo un meno davanti mi è chiaro ( se il gas assorbe l'ambiente cede), quello che non mi è chiaro è il perchè venga presa in esame la temperatura \(\displaystyle T_B \). Qualche post fa mi parlasti di temperatura costante per l'ambiente, pensavo si considerasse la temperatura ambiente.
In sostanza, quando vado a calcolare la variazione di entropia dell'ambiente a partire dal calore scambiato lungo la singola trasformazione, quale temperatura devo considerare?
"Faussone":
Il metodo lì usato è diverso e consiste nel considerare che la variazione di entropia del gas è nulla per il ciclo quindi viene calcolata la variazione di entropia del solo ambiente per tutte le trasformazioni del ciclo che coincide con quella complessiva dell'universo.
L'alternativa è fare quello che dicevamo prima: cioè calcolare la variazione di entropia per le sole trasformazioni irreversibili che è quella che dà contributo all'aumento di entropia dell'universo.
Prova a fare il calcolo anche secondo questo approccio e otterrai lo stesso risultato.
Sono quindi due modi di procedere analoghi per portare alla stessa conclusione.. mi sono lievemente confuso perchè pensavo che non fossero alla fine due modi di procedere equivalenti. Li proverò entrambi
"MrEngineer":
In sostanza, quando vado a calcolare la variazione di entropia dell'ambiente a partire dal calore scambiato lungo la singola trasformazione, quale temperatura devo considerare?
La risposta è ovvia: la temperatura dell'ambiente con cui avviene lo scambio di calore.
"MrEngineer":
Sono quindi due modi di procedere analoghi per portare alla stessa conclusione.. mi sono lievemente confuso perchè pensavo che non fossero alla fine due modi di procedere equivalenti. Li proverò entrambi
Esattamente. Bene.
Buongiorno! Riprendendo l'esercizio, durante la trasformazione A -> B non si ha scambio di calore in quanto adiabatica; durante B -> C il gas assorbe il calore \(\displaystyle Q_1 = 550J \); durante C-> A il gas cede il calore \(\displaystyle Q_2 = - 513.6J \). Per quanto riguarda le temperature, \(\displaystyle T_A = 295 K \); \(\displaystyle T_B = T_C = 389.3K \).
Per l'ambiente, si dovrebbe avere \(\displaystyle \Delta S_A = - Q_1/T_B - Q_2 /T_A \) o sbaglio?
A me risulta \(\displaystyle \Delta S_A = 0.328 J/K \) contro \(\displaystyle \Delta S_A = 0.105 J/K \) indicata dal libro di testo. Dove sbaglio? provo con l'altro modo, considerando le sole irreversibili
Per l'ambiente, si dovrebbe avere \(\displaystyle \Delta S_A = - Q_1/T_B - Q_2 /T_A \) o sbaglio?
A me risulta \(\displaystyle \Delta S_A = 0.328 J/K \) contro \(\displaystyle \Delta S_A = 0.105 J/K \) indicata dal libro di testo. Dove sbaglio? provo con l'altro modo, considerando le sole irreversibili
AB non è adiabatica ma isoterma e quindi si ha variazione di entropia dell'ambiente in quel tratto.
In ogni caso, essendo AB reversibile, la variazione di entropia del gas è uguale ed opposta per quel tratto, quindi se usi il metodo che ti dicevo io non va considerato il tratto AB, altrimenti considerando l'altro metodo sì (ma non si considera la variazione di entropia del gas visto che in tutto il ciclo è nulla).
Considerando il metodo che ti dicevo io devi calcolare la variazione di entropia di ambiente e gas solo per BC e DA, non mi pare difficile.
In ogni caso, essendo AB reversibile, la variazione di entropia del gas è uguale ed opposta per quel tratto, quindi se usi il metodo che ti dicevo io non va considerato il tratto AB, altrimenti considerando l'altro metodo sì (ma non si considera la variazione di entropia del gas visto che in tutto il ciclo è nulla).
Considerando il metodo che ti dicevo io devi calcolare la variazione di entropia di ambiente e gas solo per BC e DA, non mi pare difficile.
"Faussone":
AB non è adiabatica ma isoterma e quindi si ha variazione di entropia dell'ambiente in quel tratto.
In ogni caso, essendo AB reversibile, la variazione di entropia del gas è uguale ed opposta per quel tratto, quindi se usi il metodo che ti dicevo io non va considerato il tratto AB, altrimenti considerando l'altro metodo sì (ma non si considera la variazione di entropia del gas visto che in tutto il ciclo è nulla).
Considerando il metodo che ti dicevo io devi calcolare la variazione di entropia di ambiente e gas solo per BC e DA, non mi pare difficile.
Ciao Faussone, si sta creando un pò di confusione. Nel post di oggi non parlavo dell'esercizio che ho linkato in pdf ma di quello di partenza che ho fornito io!
Vabbè, mutatis mutandis vale anche per quel problema, anzi lì è più facile visto che hai un solo tratto irreversibile che è proprio l'isoterma.
Calcola allora la variazione di entropia per la isoterma del solo gas, (e qui non va considerato il calore effettivamente scambiato, ma solo le variabili di stato iniziali e finali di quel tratto), e del solo ambiente, (e qui va considerato il calore effettivamente scambiato lungo quella trasformazione che infatti è esplicitamente dato) e poi sommale.
Prova a vedere se ti torna, più di questo non so che dirti.
Calcola allora la variazione di entropia per la isoterma del solo gas, (e qui non va considerato il calore effettivamente scambiato, ma solo le variabili di stato iniziali e finali di quel tratto), e del solo ambiente, (e qui va considerato il calore effettivamente scambiato lungo quella trasformazione che infatti è esplicitamente dato) e poi sommale.
Prova a vedere se ti torna, più di questo non so che dirti.
Ho capito la logica che sta dietro al ragionamento che avete fatto tu e dRic e non fa una piega. Fila liscio come l'olio. Per il gas si calcola la variazione d'entropia come fosse una qualunque trasformazione reversibile, per l'ambiente si considera il calore effettivamente scambiato lungo la trasformazione. Su questo non ci piove. Quello che volevo chiederti io è questo: per l'ambiente di solito la variazione di entropia si calcola con una relazione del tipo \(\displaystyle \Delta S = Q/T \). Ora, in questo caso (ma anche negli altri) \(\displaystyle T \) è la temperatura iniziale o quella finale? Per questo esercizio la temperatura è uguale perché neanche a farlo apposta l'isoterma è irreversibile. Ma non potrebbe esserci un'altra trasformazione tipo una isobara in cui varia la temperatura andando da una certa \(\displaystyle T_1 \) a una \(\displaystyle T_2 \)??
Mr Engineer,
non so come dirtelo, visto che su questo mi pare di averti già risposto...
Riprovo: il problema non si pone in nessuno caso, durante una trasformazione l'ambiente è una sorgente a capacità termica infinita e quindi con temperatura fissa (e in qualche modo data sempre in un problema o che sei in grado di conoscere), qualunque sia la temperatura del gas con cui scambia calore e qualunque sia la quantità di calore scambiata.
non so come dirtelo, visto che su questo mi pare di averti già risposto...
Riprovo: il problema non si pone in nessuno caso, durante una trasformazione l'ambiente è una sorgente a capacità termica infinita e quindi con temperatura fissa (e in qualche modo data sempre in un problema o che sei in grado di conoscere), qualunque sia la temperatura del gas con cui scambia calore e qualunque sia la quantità di calore scambiata.
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