Calcolo potenza
sto provando a farmi un programma in excel per il calcolo della potenza di un mezzo in base all'accelerazione, e c'è una cosa che non mi torna.
inizialmente, l'ho fatto considerando la variazione di energia meccanica, quindi cinetica più potenziale, 1/2*m*v^2+m*g*h.
questa variazione di energia l'ho divisa nel tempo (appunto da definizione la potenza è la variazione di lavoro, ovvero energia, nel tempo), trovando la cercata potenza, il problema è che mi viene sbagliata della metà! cioè se ho una prova di una moto ad esempio, prendo l'accelerazione 0-100 km/h e il tempo impiegato, calcolo la potenza e mi viene la metà di quella effettiva.
poi ho provato con un altro approccio, cioè partendo dalla seconda equazione di newton F = m*a, considerando poi che la potenza è una forza per la velocità e che l'accelerazione è una velocità diviso un tempo, con un pò di passaggi ottengo la formula della potenza cioè P = m*(v2^2-v1^2)/t
provando, questa mi calcola la potenza giusta, e infatti (energia potenziale a parte) viene uguale alla formula precedente, ma senza il 2 a denominatore, quindi viene esattamente il doppio.
quello che mi chiedo è, perchè? il calcolo con l'energia deve venire giusto, è proprio la definizione di potenza! quindi perchè viene così sbagliato?
grazie
inizialmente, l'ho fatto considerando la variazione di energia meccanica, quindi cinetica più potenziale, 1/2*m*v^2+m*g*h.
questa variazione di energia l'ho divisa nel tempo (appunto da definizione la potenza è la variazione di lavoro, ovvero energia, nel tempo), trovando la cercata potenza, il problema è che mi viene sbagliata della metà! cioè se ho una prova di una moto ad esempio, prendo l'accelerazione 0-100 km/h e il tempo impiegato, calcolo la potenza e mi viene la metà di quella effettiva.
poi ho provato con un altro approccio, cioè partendo dalla seconda equazione di newton F = m*a, considerando poi che la potenza è una forza per la velocità e che l'accelerazione è una velocità diviso un tempo, con un pò di passaggi ottengo la formula della potenza cioè P = m*(v2^2-v1^2)/t
provando, questa mi calcola la potenza giusta, e infatti (energia potenziale a parte) viene uguale alla formula precedente, ma senza il 2 a denominatore, quindi viene esattamente il doppio.
quello che mi chiedo è, perchè? il calcolo con l'energia deve venire giusto, è proprio la definizione di potenza! quindi perchè viene così sbagliato?
grazie
Risposte
Mah, non so se ci prendo, provo a dire qualcosa.
La potenza in generale è la derivata dell'energia
[tex]P\left( t \right) = \frac{{dE}}{{dt}}[/tex]
Dunque integrando si ha:
[tex]\int_0^t {P\left( t \right)dt} = E - {E_0} = \frac{1}{2}m\left( {{v^2} - {v_0}^2} \right)[/tex]
La potenza è in generale una funzione del tempo o di altre variabili derivate.
Se però ipotizziamo si riuscire a sfruttare sempre la potenza massima, la possiamo prendere come una costante, e solo in questo caso si ha:
[tex]\begin{array}{l}
P\left( t \right) = {P_{\max }} \\
\frac{1}{2}m\left( {{v^2} - {v_0}^2} \right) = {P_{\max }}t \\
\end{array}[/tex]
Se per semplicità assumiamo di partire da velocità zero e di accelerare fino a una V di riferimento (es. 100 km/h), allora la formula diventa:
[tex]{P_{\max }} = \frac{{m{V_{rif}}^2}}{{2T}}[/tex]
Però non è mica detto che una moto o qualsiasi altro mezzo possa esprimere la sua potenza massima a qualunque regime di giri, anche sfruttando bene il cambio. Per cui tutto dipende dalla progressione con la quale la potenza viene erogata.
Supponiamo, per pura ipotesi, che la potenza realmente disponibile sia proporzionale alla velocità fino a raggiungere la potenza massima alla velocità di riferimento scelta (es. i 100 km/h). Allora la funzione potenza dipendente linearmente dalla velocità assume la forma:
[tex]P = \frac{{{P_{\max }}}}{{{V_{rif}}}}v[/tex]
In questo caso riprendendo la prima equazione si ha:
[tex]P = \frac{{{P_{\max }}}}{{{V_{rif}}}}v = \frac{{dE}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{1}{2}m{v^2}} \right) = mv\frac{{dv}}{{dt}}[/tex]
ovvero
[tex]\frac{{{P_{\max }}}}{{{V_{rif}}}}dt = mdv[/tex]
e quindi integrando fino alla [tex]{{V_{rif}}}[/tex] si ottiene:
[tex]{P_{\max }} = \frac{{m{V_{rif}}^2}}{T}[/tex]
che è il doppio di quella calcolata prima.
Il che significa che a parità di tempo di accelerazione da 0 a 100 km/h, se la potenza erogabile non è sempre quella massima ma varia linearmente con la velocità, per ottenere la stessa accelerazione media serve potenza massima doppia.
La potenza in generale è la derivata dell'energia
[tex]P\left( t \right) = \frac{{dE}}{{dt}}[/tex]
Dunque integrando si ha:
[tex]\int_0^t {P\left( t \right)dt} = E - {E_0} = \frac{1}{2}m\left( {{v^2} - {v_0}^2} \right)[/tex]
La potenza è in generale una funzione del tempo o di altre variabili derivate.
Se però ipotizziamo si riuscire a sfruttare sempre la potenza massima, la possiamo prendere come una costante, e solo in questo caso si ha:
[tex]\begin{array}{l}
P\left( t \right) = {P_{\max }} \\
\frac{1}{2}m\left( {{v^2} - {v_0}^2} \right) = {P_{\max }}t \\
\end{array}[/tex]
Se per semplicità assumiamo di partire da velocità zero e di accelerare fino a una V di riferimento (es. 100 km/h), allora la formula diventa:
[tex]{P_{\max }} = \frac{{m{V_{rif}}^2}}{{2T}}[/tex]
Però non è mica detto che una moto o qualsiasi altro mezzo possa esprimere la sua potenza massima a qualunque regime di giri, anche sfruttando bene il cambio. Per cui tutto dipende dalla progressione con la quale la potenza viene erogata.
Supponiamo, per pura ipotesi, che la potenza realmente disponibile sia proporzionale alla velocità fino a raggiungere la potenza massima alla velocità di riferimento scelta (es. i 100 km/h). Allora la funzione potenza dipendente linearmente dalla velocità assume la forma:
[tex]P = \frac{{{P_{\max }}}}{{{V_{rif}}}}v[/tex]
In questo caso riprendendo la prima equazione si ha:
[tex]P = \frac{{{P_{\max }}}}{{{V_{rif}}}}v = \frac{{dE}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{1}{2}m{v^2}} \right) = mv\frac{{dv}}{{dt}}[/tex]
ovvero
[tex]\frac{{{P_{\max }}}}{{{V_{rif}}}}dt = mdv[/tex]
e quindi integrando fino alla [tex]{{V_{rif}}}[/tex] si ottiene:
[tex]{P_{\max }} = \frac{{m{V_{rif}}^2}}{T}[/tex]
che è il doppio di quella calcolata prima.
Il che significa che a parità di tempo di accelerazione da 0 a 100 km/h, se la potenza erogabile non è sempre quella massima ma varia linearmente con la velocità, per ottenere la stessa accelerazione media serve potenza massima doppia.
a bene, in effetti è quello che avevo pensato ma grazie per tutta la dimostrazione 
Assolutamente corretta la risposta di Falco5x, alla aggiungerei una considerazione che cmq non altera la dimostrazione fornita: se io nel 1° integrale considero la potenza media Pmed, intesa come quel valore che, qualunque sia la distribuzione effettiva, rende l'integrale in questione uguale alla variazione di energia cinetica allora, essendo Pmed =Cost posso scrivere la formula che deriva dall'eguaglianza fra energia somministrata al mezzo e variazione di Ec (ossia quella con il "2" al denominatore), ovviamente trascurando sia l'attrito delle ruote al terreno che la resistenza aerodinamica (considerare quest'ultima complicherebbe notevolmente le cose in quanto, come tutti sanno, è funzione del quadrato della velocità). Se, come capita spesso nei mezzi da gara (auto o moto che siano), l'accelerazione è sensibilmente costante per un esteso campo di velocità e quindi la potenza varia linearmente sia con la velocità che con il tempo (Se F = m a = Cost1 ==> P = m a v = m a^2 t = Cost2 t) allora Pmax diventa pari al doppio di Pmed, come d'altronde già evidenziato da Falco5x, con l'unica precisazione che occorre verificare sperimentalmente che l'accelerazione sia in effetti (abbastanza) costante lungo l'intero tragitto di prova: in caso differente Pmax può essere maggiore o minore del doppio di Pmed.
PS MI spiace per le formule scritte in modo un po' artigianale, ma devo ancora prendere dimestichezza con l'editor...
PS MI spiace per le formule scritte in modo un po' artigianale, ma devo ancora prendere dimestichezza con l'editor...
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