Calcolo energia magnetica e induttanza conduttore cilindrico
Devo risolvere il seguente esercizio:
Calcolare energia magnetica per unità di lunghezza e induttanza per unità di lunghezza di un cilindro conduttore pieno percorso da corrente $i$.
Uso il Teorema di Ampère per dedurre l'espressione del campo: se $R$ è il raggio del cilindro, detta $j=\frac{i}{\pi R^{2}}$ la densità di corrente, integro lungo un percorso circolare coassiale con il cilindro di raggio $r\leq R$:
\[
2\pi rB=\mu_{0}j\pi r^{2}\Rightarrow B=\frac{\mu_{0}j}{2}r
\]
Considero un rettangolo infinitesimo di altezza unitaria e base $dr$ a distanza $r$ dall'asse del cilindro e ortogonale alle linee di campo e calcolo il flusso:
\[
d\Phi=Bd\Sigma=Bdr=\frac{1}{2}\mu_{0}jrdr
\]
e integrando fra $0$ e $R$ ottengo
\[
\Phi=\frac{1}{2}\mu_{0}j\int_{0}^{R}rdr=\frac{1}{4}\mu_{0}jR^{2}=\frac{1}{4}\mu_{0}\frac{i}{\pi R^{2}}R^{2}=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\Rightarrow L=\frac{\Phi}{i}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\text{ e }U_{m}=\frac{1}{2}Li^{2}=\frac{\mu_{0}i^{2}}{8\pi}
\]
Se però faccio il conto diretto usando la densità di energia magnetica $u_{m}=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}$ e integrando su un cilindro di altezza unitaria di volume $\tau=\pi r^{2}\Rightarrow d\tau=2\pi rdr$
\begin{eqnarray*}
U_{m} & = & \frac{1}{2\mu_{0}}\int_{\tau}B^{2}d\tau=\frac{1}{2\mu_{0}}\int_{0}^{R}\left(\frac{\mu_{0}j}{2}\right)^{2}2\pi r^{3}dr=\\
& = & \frac{\mu_{0}\pi j^{2}}{4}\int_{0}^{R}r^{3}dr=\frac{\mu_{0}\pi j^{2}R^{4}}{16}=\frac{\mu_{0}i^{2}}{16\pi}
\end{eqnarray*}
Credo che il risultato corretto sia il secondo, ma non riesco a capire quale sia l'errore nel primo procedimento!
Calcolare energia magnetica per unità di lunghezza e induttanza per unità di lunghezza di un cilindro conduttore pieno percorso da corrente $i$.
Uso il Teorema di Ampère per dedurre l'espressione del campo: se $R$ è il raggio del cilindro, detta $j=\frac{i}{\pi R^{2}}$ la densità di corrente, integro lungo un percorso circolare coassiale con il cilindro di raggio $r\leq R$:
\[
2\pi rB=\mu_{0}j\pi r^{2}\Rightarrow B=\frac{\mu_{0}j}{2}r
\]
Considero un rettangolo infinitesimo di altezza unitaria e base $dr$ a distanza $r$ dall'asse del cilindro e ortogonale alle linee di campo e calcolo il flusso:
\[
d\Phi=Bd\Sigma=Bdr=\frac{1}{2}\mu_{0}jrdr
\]
e integrando fra $0$ e $R$ ottengo
\[
\Phi=\frac{1}{2}\mu_{0}j\int_{0}^{R}rdr=\frac{1}{4}\mu_{0}jR^{2}=\frac{1}{4}\mu_{0}\frac{i}{\pi R^{2}}R^{2}=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\Rightarrow L=\frac{\Phi}{i}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\text{ e }U_{m}=\frac{1}{2}Li^{2}=\frac{\mu_{0}i^{2}}{8\pi}
\]
Se però faccio il conto diretto usando la densità di energia magnetica $u_{m}=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}$ e integrando su un cilindro di altezza unitaria di volume $\tau=\pi r^{2}\Rightarrow d\tau=2\pi rdr$
\begin{eqnarray*}
U_{m} & = & \frac{1}{2\mu_{0}}\int_{\tau}B^{2}d\tau=\frac{1}{2\mu_{0}}\int_{0}^{R}\left(\frac{\mu_{0}j}{2}\right)^{2}2\pi r^{3}dr=\\
& = & \frac{\mu_{0}\pi j^{2}}{4}\int_{0}^{R}r^{3}dr=\frac{\mu_{0}\pi j^{2}R^{4}}{16}=\frac{\mu_{0}i^{2}}{16\pi}
\end{eqnarray*}
Credo che il risultato corretto sia il secondo, ma non riesco a capire quale sia l'errore nel primo procedimento!
Risposte
"Oromis":
... ma non riesco a capire quale sia l'errore nel primo procedimento!
L'errore sta nel primo metodo quando scrivi
$L=\Phi/i$
lascio a te scoprire perché, ... la risposta sta in quel numeratore.
Forse è il fatto che sul bordo del rettangolo che ho considerato non circola la corrente $i$, ma la circuitazione della densità di corrente è nulla visto che nei lati "lunghi" paralleli la corrente scorre nello stesso verso...
No, nella definizione del coefficiente di autoinduzione, il flusso che deve essere considerato è quello ..... ?
Il flusso concatenato, ma in effetti la definizione è data -almeno sul libro che sto studiando- per un circuito: qui ho a che fare con un conduttore percorso da corrente come si generalizza la definizione?
"Oromis":
Il flusso concatenato,
Proprio così, e il flusso che hai determinato con quell'integrale non è concatenato con l'intera corrente $i$, ne segue che per convenienza di calcolo si passa normalmente alla via energetica, ovvero al secondo metodo da te utilizzato, ma volendo seguire la prima strada "del flusso concatenato", l'induttanza totale potrebbe essere ricavata via integrale dell' induttanza infinitesima parziale relativa al generico tubo infinitesimo ottenuto via suddivisione del conduttore cilindrico oppure, andando a "correggere" il tuo flusso concatenato infinitesimo, con un fattore ${\pi r^2}/{\pi R^2}$ al fine di mettere in conto il suo concatenamento con una sola frazione della corrente totale.
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