Calcolo del potenziale elettrostatico

[_clockwise]

Salve a tutti! Ho una curiosità su un problema che compare in una prova delle Olimpiadi della Fisica.

Una barra sottile viene piegata a formare un quarto di circonferenza di raggio \( r = 10\; \text{cm} \). Sulla barra viene distribuita uniformemente una carica elettrica con densità lineare \( \lambda=15\;\text{nC m}^{-1}\). Determinare, motivando la risposta, il potenziale elettrostatico nel centro dell’arco di circonferenza, avendo posto \(V=0\) a distanza molto grande (infinita).

Ok, visto che tutte le cariche distano \( r \) dal centro dell'arco basta utilizzare la definizione di potenziale per una carica puntiforme e si ottiene:

\( V=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0r}\displaystyle\sum^n_{i=1} q_i = \dfrac{\lambda}{8\epsilon_0} \)

Però pensavo che si potesse risolvere anche ricordando la relazione differenziale:

\( dV=-E(r)dr \)

da cui:

\( V(A)-V(\infty) = \displaystyle\int^{r_B}_{r_A} E(r)dr \)

ossia, ponendo \(V(\infty)=0\), \( r_B = +\infty\) e \(r_A=r\):

\( V(r) = \displaystyle\int^{+\infty}_r E(r)dr \)

Per trovare l'espressione di \( E(r)dr\) ho considerato un tronco di toro che ha i centri delle superfici di base coincidenti con gli estremi dell'arco carico, di lunghezza \( l \) e ho calcolato che:

\( \Phi(\vec{E})=2\pi rlE = \dfrac{\lambda l}{\epsilon_0}\)

per cui:

\( E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} \)

Se però calcolo l'integrale di prima chiaramente diverge, invalidando tutto il procedimento. Cos'è che ho sbagliato?

[RenzoDF]

Ovviamente, hai sbagliato a determinare il campo elettrico, usando quel "tronco di toro".

[_clockwise]

Ho fatto del mio meglio con la geometria, non potevo aspirare a una perfetta correttezza terminologica... Comunque grazie di cuore. Ora come faccio a calcolare il campo?

[RenzoDF]

Non si tratta di correttezza terminologica ma metodologica.

"_clockwise":... Ora come faccio a calcolare il campo?

Beh, determinare il campo in un generico punto dello spazio la vedo una vera "mission impossible", potresti però provare lungo l'asse dell'arco, dovrebbe essere relativamente più semplice, ma chiaramente rimane sempre una assurda alternativa al metodo diretto del calcolo del potenziale.

[_clockwise]

Terminologica perché non ho mai toccato topologia, metodologica perché, sì, non avevo dove sbattere la testa!

Certo, è un'alternativa inutilmente calcolosa. Anche lungo l'asse ci sono tutte queste somme vettoriali parecchio fastidiose, magari è meglio lasciar perdere. Grazie ancora per la dritta.