Calcolo componente reazione vincolare impulsiva in asta e disco
ciao a tutti ho un esercizio sul calcolo dell impulso di cui sono incerto del procedimento da seguire.
Al bordo di un disco omogeneo di massa $M$, centro $O$ e raggio $R$ è avvolto un filo ideale. All’estremo libero del filo è attaccata una massa puntiforme di massa $m =2 M$. Il disco è vincolato da una cerniera ideale orizzontale posta in O. Nel punto P posto sul bordo del disco è imperniato il centro di massa di un’asta omogenea di spessore trascurabile, massa M e lunghezza R.
il sistema parte da fermo con $ vartheta =pi/3 $ . Quando $ vartheta =0$ il perno in P si trasforma istantaneamente in una saldatura. Si calcolino le componenti della reazione vincolare impulsiva del perno in O.
per la conservazione dell' energia meccanica
$ U_o=U_1+T_1 $
$ Mgrcosvartheta +2MgRvartheta=MgR+1/2I_o omega_1^2 $
da cui
$ omega =((MgR3^(1/2)/2+2MgR(pi/3)-MgR)/(1/2( 1/2MR^2+MR^2 )))^(1/2) $
Il momento dell quantità di moto in O si conserva
$ I_(o1)omega _1=I_(o2)omega _2 $
da cui $ (I_(o1)omega _1)/ I_(o2)=omega _2 $
da cui
$ omega _2=(1/2MR^2+MR^2)/(1/2MR^2+(MR^2+1/12MR^2))omega _1 $= $ 18/19w_1 $
calcolo adesso l' impulso in O (che ha solo componente x) ottenuto come variazione della quantità di moto del sistema
$ J=2MR/2omega _2-MRomega _1 $= $ MR(18/19-1)w_1=-1/19MRw_1 $
al di là dei singoli calcoli il procedimento che ho seguito è corretto?
E' corretto porre la conservazione del momento della quantità di moto in O?
e quando nella formula finale calcolo l' impulso come variazione della quantità di moto del sistema, per calcolare la quantità di moto iniziale (quando ancora l' asta è imperniata e quindi si può considerare come un punto materiale) ho fatto
$ p= p_(disco)+p_(as ta)=Md_(disco)w_1+Md_(as ta)w_2=0+MRw_1 $
dove $d$= distanza centro di massa dall asse di rotazione O
Al bordo di un disco omogeneo di massa $M$, centro $O$ e raggio $R$ è avvolto un filo ideale. All’estremo libero del filo è attaccata una massa puntiforme di massa $m =2 M$. Il disco è vincolato da una cerniera ideale orizzontale posta in O. Nel punto P posto sul bordo del disco è imperniato il centro di massa di un’asta omogenea di spessore trascurabile, massa M e lunghezza R.
il sistema parte da fermo con $ vartheta =pi/3 $ . Quando $ vartheta =0$ il perno in P si trasforma istantaneamente in una saldatura. Si calcolino le componenti della reazione vincolare impulsiva del perno in O.
per la conservazione dell' energia meccanica
$ U_o=U_1+T_1 $
$ Mgrcosvartheta +2MgRvartheta=MgR+1/2I_o omega_1^2 $
da cui
$ omega =((MgR3^(1/2)/2+2MgR(pi/3)-MgR)/(1/2( 1/2MR^2+MR^2 )))^(1/2) $
Il momento dell quantità di moto in O si conserva
$ I_(o1)omega _1=I_(o2)omega _2 $
da cui $ (I_(o1)omega _1)/ I_(o2)=omega _2 $
da cui
$ omega _2=(1/2MR^2+MR^2)/(1/2MR^2+(MR^2+1/12MR^2))omega _1 $= $ 18/19w_1 $
calcolo adesso l' impulso in O (che ha solo componente x) ottenuto come variazione della quantità di moto del sistema
$ J=2MR/2omega _2-MRomega _1 $= $ MR(18/19-1)w_1=-1/19MRw_1 $
al di là dei singoli calcoli il procedimento che ho seguito è corretto?
E' corretto porre la conservazione del momento della quantità di moto in O?
e quando nella formula finale calcolo l' impulso come variazione della quantità di moto del sistema, per calcolare la quantità di moto iniziale (quando ancora l' asta è imperniata e quindi si può considerare come un punto materiale) ho fatto
$ p= p_(disco)+p_(as ta)=Md_(disco)w_1+Md_(as ta)w_2=0+MRw_1 $
dove $d$= distanza centro di massa dall asse di rotazione O
Risposte
C'è del buono in ciò che dici, ma c'è anche qualcosa che non mi torna.
E' giusto secondo me il ragionamento di principio che tento di riassumere qui, e dimmi se è uguale al tuo.
La velocità angolare un istante prima che avvenga la saldatura si può trovare con la conservazione dell'energia.
La velocità angolare un istante dopo avvenuta la saldatura si può ottenere dalla conservazione del momento angolare rispetto al punto O, poiché le reazioni impulsive in O, che sono incognite, non fanno momento rispetto al punto O stesso, dunque il momento angolare totale si conserva (o meglio è una funzione continua anche in quel punto di possibile discontinuità nel quale avviene la saldatura).
Detto questo, ciò che per prima cosa non mi torna è il calcolo dell'energia che tu fai.
Per me il calcolo giusto è il seguente:
$$\eqalign{
& \frac{1}
{2}2M{R^2}{\omega _1}^2 + \frac{1}
{2}\frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _1}^2 + \frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _1}^2 = 2MgR{\theta _0} - MgR\left( {1 - \cos {\theta _0}} \right) \cr
& {\omega _1} = \sqrt {\frac{{4g}}
{{7R}}\left( {2{\theta _0} - 1 + \cos {\theta _0}} \right)} \cr} $$
Adesso passiamo alla conservazione del momento angolare.
Quando lo calcoli perché trascuri il peso attaccato alla fune (mi sembra)?.
Per me il calcolo è questo:
$$\eqalign{
& {L_1} = \frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _1} + 2M{R^2}{\omega _1} + M{R^2}{\omega _1} = \frac{7}
{2}M{R^2}{\omega _1} \cr
& {L_2} = \frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _2} + 2M{R^2}{\omega _2} + \left( {\frac{1}
{{12}}M{R^2} + M{R^2}} \right){\omega _2} = \frac{{43}}
{{12}}M{R^2}{\omega _2} \cr
& \frac{{42}}
{{43}}{\omega _1} = {\omega _2} \cr
& \Delta \omega = - \frac{{{\omega _1}}}
{{43}} \cr} $$
Le reazioni impulsive, infine, sono quelle che producono le variazioni a gradino di quantità di moto.
Esse pertanto ci sono sia in senso x che in senso y.
In senso x perché c'è una decelerazione istantanea della massa dell'asta che si sta appunto muovendo in senso orizzontale, ma anche in senso Y perché c'è una decelerazione anche del peso attaccato alla fune che si muove in senso verticale. Dunque:
$${P_x} = MR\Delta \omega = - MR\frac{{{\omega _1}}}
{{43}}$$
Il segno meno indica che l'impulso è discorde con il segno della rotazione, dunque è diretto verso destra.
$${P_y} = 2MR\Delta \omega = - 2MR\frac{{{\omega _1}}}
{{43}}$$
Anche qui il segno dice che l'impulso è diretto in modo discorde con omega e quindi è verso l'alto-
Ovviamente omega1 è quello calcolato sopra, col metodo dell'energia.
E' giusto secondo me il ragionamento di principio che tento di riassumere qui, e dimmi se è uguale al tuo.
La velocità angolare un istante prima che avvenga la saldatura si può trovare con la conservazione dell'energia.
La velocità angolare un istante dopo avvenuta la saldatura si può ottenere dalla conservazione del momento angolare rispetto al punto O, poiché le reazioni impulsive in O, che sono incognite, non fanno momento rispetto al punto O stesso, dunque il momento angolare totale si conserva (o meglio è una funzione continua anche in quel punto di possibile discontinuità nel quale avviene la saldatura).
Detto questo, ciò che per prima cosa non mi torna è il calcolo dell'energia che tu fai.
Per me il calcolo giusto è il seguente:
$$\eqalign{
& \frac{1}
{2}2M{R^2}{\omega _1}^2 + \frac{1}
{2}\frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _1}^2 + \frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _1}^2 = 2MgR{\theta _0} - MgR\left( {1 - \cos {\theta _0}} \right) \cr
& {\omega _1} = \sqrt {\frac{{4g}}
{{7R}}\left( {2{\theta _0} - 1 + \cos {\theta _0}} \right)} \cr} $$
Adesso passiamo alla conservazione del momento angolare.
Quando lo calcoli perché trascuri il peso attaccato alla fune (mi sembra)?.
Per me il calcolo è questo:
$$\eqalign{
& {L_1} = \frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _1} + 2M{R^2}{\omega _1} + M{R^2}{\omega _1} = \frac{7}
{2}M{R^2}{\omega _1} \cr
& {L_2} = \frac{1}
{2}M{R^2}{\omega _2} + 2M{R^2}{\omega _2} + \left( {\frac{1}
{{12}}M{R^2} + M{R^2}} \right){\omega _2} = \frac{{43}}
{{12}}M{R^2}{\omega _2} \cr
& \frac{{42}}
{{43}}{\omega _1} = {\omega _2} \cr
& \Delta \omega = - \frac{{{\omega _1}}}
{{43}} \cr} $$
Le reazioni impulsive, infine, sono quelle che producono le variazioni a gradino di quantità di moto.
Esse pertanto ci sono sia in senso x che in senso y.
In senso x perché c'è una decelerazione istantanea della massa dell'asta che si sta appunto muovendo in senso orizzontale, ma anche in senso Y perché c'è una decelerazione anche del peso attaccato alla fune che si muove in senso verticale. Dunque:
$${P_x} = MR\Delta \omega = - MR\frac{{{\omega _1}}}
{{43}}$$
Il segno meno indica che l'impulso è discorde con il segno della rotazione, dunque è diretto verso destra.
$${P_y} = 2MR\Delta \omega = - 2MR\frac{{{\omega _1}}}
{{43}}$$
Anche qui il segno dice che l'impulso è diretto in modo discorde con omega e quindi è verso l'alto-
Ovviamente omega1 è quello calcolato sopra, col metodo dell'energia.
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