Calcolo coefficiente attrito
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Buon pomeriggio a tutti,
sono alle prese con un esercizio con cui vorrei mi aiutaste.
Ci sono tre tubi cilindrici che sono uguali tra di loro; essi hanno raggio esterno pari a r.
Si chiede di calcolare il valore minimo del coefficiente di attrito nei punti di contatto tra i cilindri affinchè tutto resti in equilibrio.
Premettendo che non c'è alcun dato (se non quello che ho scritto nelle righe precedenti), io ho pensato di svolgerlo in questo modo:
in condizioni di equilibrio su di essi agisce solamente la forza peso e la normale alle superfici. Chiamo 1 il cilindro in alto al centro, 2 quello in basso a destra e 3 quello basso a sinistra.
Per 1 ho: $Ncos30 + Ncos30 - mg = 0$ e ricavo $N$.
Ecco già che nascono i primi dubbi e vorrei una conferma: la direzione della forza di attrito nel punto A per 1, la si considera tangente alla superficie di contatto tra i tubi ed opposta allo spostamento (se ci fosse)? Il modulo, per definizione, dovrebbe essere pari a $(mu_B*N)$...
Lo stesso vale per il punto di contatto di A.
Per 2 ho la reazione vincolare del pavimento, quella di 1 su 2 e la forza peso
(posso considerare metà della massa di 1 addizionata a quella di 2?);
ho: $N_1 -Ncos30 -(3/2)*mg=0$ e ricavo $N_1$ del pavimento su 2.
La forza di attrito rispetto al punto di contatto D sarà: $mu_D*N_1$; in modulo vale anche per il tubo 3...
Dovrebbe essere $mu_A=mu_b, mu_c=mu_d$ e vale per le relative forze in modulo.
Ora, se ho svolto bene tutti i passaggi ma dubito... come procedo per il calcolo del coefficiente? Devo ipotizzare uno spostamento in una direzione per i tre tubi e calcolare i momenti delle forze di attrito rispetto ad un polo?
Se così fosse e se vale quello che ho scritto nella domanda riguardo alla direzione, devo prendere la componente che dà momento? Come fareste voi?
Mi scuso per eventuali sciocchezze scritte, voglio semplicemente capire
Risposte
Ciao , e benvenuto nel forum , visto che questo è il tuo primo messaggio . Ti chiedo dapprima di chiarire un punto . Hai scritto :
il testo non chiede anche il coefficiente di attrito minimo tra i due cilindri in basso e il piano di appoggio ? Ci deve essere attrito anche qui , altrimenti l'equilibrio non può sussistere.
Ma poi leggo che consideri anche $mu_c$ e $mu_d$ , quindi è chiaro che deve esserci la richiesta anche per questi coefficienti di attrito col piano . Certamente $mu_c = mu_d$ , e anche $mu_a = mu_b$ , vita la simmetria del sistema .
Tieni presente che , proprio per la presenza delle forze di attrito, le azioni e reazioni di un cilindro sull'altro a contatto non sono esclusivamente normali !
Considera il diagramma di corpo libero di ciascun cilindro , e applica a ciascuno di essi le forze agenti. Per esempio, il cilindro centrale in alto è soggetto al peso proprio e a due reazioni, che per simmetria hanno uguale modulo , e hanno ciascuna una componente orizzontale e una verticale.
Scrivi le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale, alla traslazione orizzontale , e alla rotazione assumendo il centro $O$ come polo dei momenti. Sono abbastanza ovvie.
Lo stesso lavoro devi farlo per tutti e tre i cilindri. Ma ovviamente per i due in basso la situazione è simmetrica .
Ti do un suggerimento : se consideri le due reazioni verticali del piano sui due cilindri in basso, il loro valore è $V_c = V_d = 1.5 P $ , visto che il peso totale è $3P$ .
Analogamente , le componenti verticali delle reazioni dei cilindri in basso su quello in alto valgono $V_a = V_b = P/2$ , perché insieme devono equilibrare il peso del cilindro superiore.
In pratica , devi determinare ora solo le componenti orizzontali delle reazioni. Poi scriverai la condizione per i coefficienti di attrito. Vai .
Si chiede di calcolare il valore minimo del coefficiente di attrito nei punti di contatto tra i cilindri affinchè tutto resti in equilibrio.
il testo non chiede anche il coefficiente di attrito minimo tra i due cilindri in basso e il piano di appoggio ? Ci deve essere attrito anche qui , altrimenti l'equilibrio non può sussistere.
Ma poi leggo che consideri anche $mu_c$ e $mu_d$ , quindi è chiaro che deve esserci la richiesta anche per questi coefficienti di attrito col piano . Certamente $mu_c = mu_d$ , e anche $mu_a = mu_b$ , vita la simmetria del sistema .
Tieni presente che , proprio per la presenza delle forze di attrito, le azioni e reazioni di un cilindro sull'altro a contatto non sono esclusivamente normali !
Considera il diagramma di corpo libero di ciascun cilindro , e applica a ciascuno di essi le forze agenti. Per esempio, il cilindro centrale in alto è soggetto al peso proprio e a due reazioni, che per simmetria hanno uguale modulo , e hanno ciascuna una componente orizzontale e una verticale.
Scrivi le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale, alla traslazione orizzontale , e alla rotazione assumendo il centro $O$ come polo dei momenti. Sono abbastanza ovvie.
Lo stesso lavoro devi farlo per tutti e tre i cilindri. Ma ovviamente per i due in basso la situazione è simmetrica .
Ti do un suggerimento : se consideri le due reazioni verticali del piano sui due cilindri in basso, il loro valore è $V_c = V_d = 1.5 P $ , visto che il peso totale è $3P$ .
Analogamente , le componenti verticali delle reazioni dei cilindri in basso su quello in alto valgono $V_a = V_b = P/2$ , perché insieme devono equilibrare il peso del cilindro superiore.
In pratica , devi determinare ora solo le componenti orizzontali delle reazioni. Poi scriverai la condizione per i coefficienti di attrito. Vai .
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