Calcolo campo elettrico elementi bidimensionali forati
Sto giochicchiando con il calcolo dei campi elettrici e mi trovo di fronte ad una difficoltà alla quale non riesco a dare risposta: i campi elettrici generati da piani (o dischi o quant'altro) forati.
Ad esempio sul mio libro leggo che il campo generato da un piano indefinito con un buco circolare al centro è definito così:
- Campo piano: \(E_x=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
- Campo disco di carica \(-\sigma\): \(E_x=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}[1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}]\)
Il campo totale risulta dunque la somma dei due.
Ora la domanda che mi viene spontanea è perché il buco venga considerato come con carica \(-\sigma\)?
Nel caso di un disco forato dovrei fare il campo del disco esterno meno il disco interno con densità di carica opposta a quello esterno?
Ad esempio sul mio libro leggo che il campo generato da un piano indefinito con un buco circolare al centro è definito così:
- Campo piano: \(E_x=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
- Campo disco di carica \(-\sigma\): \(E_x=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}[1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}]\)
Il campo totale risulta dunque la somma dei due.
Ora la domanda che mi viene spontanea è perché il buco venga considerato come con carica \(-\sigma\)?
Nel caso di un disco forato dovrei fare il campo del disco esterno meno il disco interno con densità di carica opposta a quello esterno?
Risposte
Ricordo bene di aver fatto un esercito analogo con una sfera con dentro un foro, comunque si, il calcolo del campo considerando un qualche vuoto di carica si fa cosi sfruttando la sommabilita del campo elettrico, e quindi sommando al campo generato dalla distribuzione di carica + il campo generato dal vuoto (considerandolo come fosse carico -) , e si fa cosí perchè dovrebbe essere molto piè semplice, dato che come saprai se la distribuzione nn ha particolari simmetrie (piana,sferica,cilindrica etc) il calcolo del campo diventa presto un macello, nota che per x->0 il campo totale tende a zero, com'è giusto poichè il campo generato dal piano è ortogonale allo stesso, e eventuali effetti dovuti al bordo del foro sono simmetrici e quindi in totale nulli, per x-> infinito il campo totale tende a quello di una distribuzione piana, che va bene perche se ti allontani molto dal foro i suoi effetti sono trascurabili, e quindi per valori intermedi di x il campo è quello di un piano unpó meno intenso del caso standard
Il ragionamento mi sembra che sia questo....
Il campo della piastra intera si può considerare come la somma del campo della piastra senza un disco con il campo creato dal disco stesso.
Cioè
$E_text(piastra intera)=E_text(piastra senza disco)+E_text(disco)$.
Da cui
$E_text(piastra senza disco)=E_text(piastra intera)-E_text(disco)$.
Ma il campo del disco sul suo asse ha espressione $sigma/(2epsilon_0)(1-x/sqrt(x^2+R^2))$, mentre il campo di una piastra infinita è $sigma/(2epsilon_0)$.
Perciò, sull'asse del foro:
$E_text(piastra senza disco)=sigma/(2epsilon_0)-sigma/(2epsilon_0)(1-x/sqrt(x^2+R^2))=sigma/(2epsilon_0)x/sqrt(x^2+R^2)$.
Il campo della piastra intera si può considerare come la somma del campo della piastra senza un disco con il campo creato dal disco stesso.
Cioè
$E_text(piastra intera)=E_text(piastra senza disco)+E_text(disco)$.
Da cui
$E_text(piastra senza disco)=E_text(piastra intera)-E_text(disco)$.
Ma il campo del disco sul suo asse ha espressione $sigma/(2epsilon_0)(1-x/sqrt(x^2+R^2))$, mentre il campo di una piastra infinita è $sigma/(2epsilon_0)$.
Perciò, sull'asse del foro:
$E_text(piastra senza disco)=sigma/(2epsilon_0)-sigma/(2epsilon_0)(1-x/sqrt(x^2+R^2))=sigma/(2epsilon_0)x/sqrt(x^2+R^2)$.
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