Calcolare il lavoro di un campo non conservativo
Salve a tutti, ho un problema riguardo al calcolo del lavoro di un campo NON conservativo. Ecco i dati:
Il campo: F=y(y-x)i+x(x-y)j
Calcolare il lavoro del campo lungo il perimetro del triangolo di vertici (0,0) (1,0) (0,2) in verso antiorario.
Ora, io solitamente questo tipo di esercizi l'ho fatto lungo archi di curva la cui equazione r(t) in forma parametrica mi veniva data nel testo dell'esercizio.
Quindi è facilmente calcolabile il lavoro come:
∫F(r(t))⋅r'(t)dt
In questo caso in cui non ho r(t) nota come posso calcolare il lavoro?? E' sufficiente calcolarlo lungo una circonferenza che passi per i tre vertici del triangolo? Se sì, come si ottiene l'equazione parametrica?
Grazie anticipatamente per l'aiuto!
Il campo: F=y(y-x)i+x(x-y)j
Calcolare il lavoro del campo lungo il perimetro del triangolo di vertici (0,0) (1,0) (0,2) in verso antiorario.
Ora, io solitamente questo tipo di esercizi l'ho fatto lungo archi di curva la cui equazione r(t) in forma parametrica mi veniva data nel testo dell'esercizio.
Quindi è facilmente calcolabile il lavoro come:
∫F(r(t))⋅r'(t)dt
In questo caso in cui non ho r(t) nota come posso calcolare il lavoro?? E' sufficiente calcolarlo lungo una circonferenza che passi per i tre vertici del triangolo? Se sì, come si ottiene l'equazione parametrica?
Grazie anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
ciao, non puoi calcolarlo sulla circonferenza, proprio perchè il campo non è conservativo (quindi gli integrali dipendono dal percorso) devi quindi trovare le equazioni dei segmenti che uniscono i tre punti, calcolare gli integrali di linea e sommarli.
E le equazioni dei tre segmenti dove le vado a mettere poi? Devo averle nella forma parametrica r(t) giusto?
esatto, ad esempio, il segmento $(0,0),(1,0)$ ha equazione parametrica $(t,0)$ con $0<=t<=1$
"Akuma":
esatto, ad esempio, il segmento $(0,0),(1,0)$ ha equazione parametrica $(t,0)$ con $0<=t<=1$
Bene, ora non mi resta che chiedervi come si fa a scrivere un'equazione parametrica conoscendo i punti in cui deve passare... ho visto un altro topic dove si chiedeva questa cosa ma non ho capito la spiegazione! Qualcuno mi illumina? Grazie!
il testo ti chiede ti calcolare il lavoro sui lati del triangolo, quindi basta che trovi le equazioni dei tre segmenti che compongono il triangolo, di ognuno calcoli l'integrale e poi li sommi, il primo lato te l'ho già detto io, gli altri sono analoghi.
Ciao a tutti. Scusate se mi intrufolo anch'io in questa conversazione ma ho una domanda simile anche se forse è anche banale. Non riesco a trovare una spiegazione esauriente con relativa dimostrazione sulle parametrizzazioni. Cos'è la "parametrizzazione standard" di un segmento orientato e come si fa a ricavarla conoscendo gli estremi del segmento? Infine, si può generalizzare parlando di parametrizzazione standard di una curva?
"magliocurioso":
Ciao a tutti. Scusate se mi intrufolo anch'io in questa conversazione ma ho una domanda simile anche se forse è anche banale. Non riesco a trovare una spiegazione esauriente con relativa dimostrazione sulle parametrizzazioni. Cos'è la "parametrizzazione standard" di un segmento orientato e come si fa a ricavarla conoscendo gli estremi del segmento? Infine, si può generalizzare parlando di parametrizzazione standard di una curva?
Stesso mio problema... è sicuramente una banalità ma non riesco a trovare nessuna formula standard per ricavare l'equazione parametrica conoscendo gli estremi del segmento... nessuno mi può illuminare?
mi è venuto pure un altro dubbio, FORSE, questa forma parametrica non è altro che la forma vettoriale e quindi FORSE, tale parametrizzazione standard di un segmento non è altro che un vettore... però potrei aver aver detto una mostruosità assoluta... 
se $\vec{x}, \vec{y}\inV$ spazio vettoriale reale (o complesso) allora il segmento xy si può anche definire direttamente come ${(1-t)\vec{x}+t\vec{y}\ |\ t\in[0,1]\ }$. penso si possa dire che $t\mapsto(1-t)\vec{x}+t\vec{y}$ è una "parametrizzazione standard"... Ma se non mi sbaglio, ai fini del calcolo di integrali di linea, va bene una parametrizzazione qualunque, no?
"dissonance":
se $\vec{x}, \vec{y}\inV$ spazio vettoriale reale (o complesso) allora il segmento xy si può anche definire direttamente come ${(1-t)\vec{x}+t\vec{y}\ |\ t\in[0,1]\ }$. penso si possa dire che $t\mapsto(1-t)\vec{x}+t\vec{y}$ è una "parametrizzazione standard"...
ma è una definizione o un teorema?
Guarda, io la teoria la so così:
in uno spazio affine reale o complesso, un segmento si definisce mediante coordinate baricentriche - quindi il segmento $AB$, dove $A, B$ sono punti affini, è l'insieme dei punti $alphaA+betaB$ dove $alpha+beta=1, alpha, beta >=0$. E perciò $alpha=1-beta$. qui finisco con i paroloni e vengo al sodo
Se siamo in uno spazio vettoriale reale o complesso, questo è anche uno spazio affine e la definizione precedente (che è quella formale) diventa esattamente la definizione di due post fa. Ecco perché secondo me un segmento in uno spazio vettoriale si può anche definire direttamente come $(1-t)\vec{x}+t\vec{y}$. tutto IMHO, ma sono abbastanza sicuro...
in uno spazio affine reale o complesso, un segmento si definisce mediante coordinate baricentriche - quindi il segmento $AB$, dove $A, B$ sono punti affini, è l'insieme dei punti $alphaA+betaB$ dove $alpha+beta=1, alpha, beta >=0$. E perciò $alpha=1-beta$. qui finisco con i paroloni e vengo al sodo
Se siamo in uno spazio vettoriale reale o complesso, questo è anche uno spazio affine e la definizione precedente (che è quella formale) diventa esattamente la definizione di due post fa. Ecco perché secondo me un segmento in uno spazio vettoriale si può anche definire direttamente come $(1-t)\vec{x}+t\vec{y}$. tutto IMHO, ma sono abbastanza sicuro...
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