Calcolare il campo elettrico di una semisfera
Mi serve aiuto per il seguente problema:
"Sia data, nel vuoto, una superficie semisferica di raggio $R$ uniformemente carica con densità superficiale di carica $\sigma$. Qual è l'espressione del potenziale e del campo elettrico nel centro $O$ della semisfera?"
Il potenziale è dato dalla seguente espressione:
$V = int_{S/2} (\sigma dS)/(4\pi \epsilon_0) 1/R = \sigma/(4\pi \epsilon_0R)int_{S/2}dS = (\sigma 2\pi R^2)/(4\pi \epsilon_0R) = (\sigma R)/(2\epsilon_0)$.
Credo che almeno questo sia giusto. Passiamo invece al campo elettrico. Il testo mi suggerisce di scomporre la semisfera in elementi infinitesimi $dS$ e di tener conto della simmetria dell'insieme, per cui il campo elettrico in $O$ ha effettivamente solo la componente ortogonale al piano dove giace il centro della semisfera. Ciò significa che un qualsiasi $dS$ dà, in modulo, il seguente contributo infinitesimale al campo elettrico:
$|d\vec E| = dE_z = (\sigma dS)/(4\pi\epsilon_0) (cos \alpha)/R^2$ (assumendo come $z$ l'asse della semisfera, e come $\alpha$ l'angolo tra $R$ e l'asse stesso).
Il problema è che non sono sicuro di come integrare quest'espressione, che è nella variabile $S$, mentre $\alpha$ è anch'esso variabile. Ho pensato che possa trattarsi di un integrale doppio, e così l'ho svolto:
$dE_z = \sigma/(4\pi \epsilon_0 R^2) int dS int_{-pi/2}^{pi/2} cos \alpha d\alpha = \sigma/(2\epsilon_0)[sin\alpha]_{-pi/2}^{pi/2} = \sigma/\epsilon_0$, ma il risultato dovrebbe essere $\sigma/(4\epsilon_0)$ e io non so che pesci pigliare
.
Attendo delucidazioni.
"Sia data, nel vuoto, una superficie semisferica di raggio $R$ uniformemente carica con densità superficiale di carica $\sigma$. Qual è l'espressione del potenziale e del campo elettrico nel centro $O$ della semisfera?"
Il potenziale è dato dalla seguente espressione:
$V = int_{S/2} (\sigma dS)/(4\pi \epsilon_0) 1/R = \sigma/(4\pi \epsilon_0R)int_{S/2}dS = (\sigma 2\pi R^2)/(4\pi \epsilon_0R) = (\sigma R)/(2\epsilon_0)$.
Credo che almeno questo sia giusto. Passiamo invece al campo elettrico. Il testo mi suggerisce di scomporre la semisfera in elementi infinitesimi $dS$ e di tener conto della simmetria dell'insieme, per cui il campo elettrico in $O$ ha effettivamente solo la componente ortogonale al piano dove giace il centro della semisfera. Ciò significa che un qualsiasi $dS$ dà, in modulo, il seguente contributo infinitesimale al campo elettrico:
$|d\vec E| = dE_z = (\sigma dS)/(4\pi\epsilon_0) (cos \alpha)/R^2$ (assumendo come $z$ l'asse della semisfera, e come $\alpha$ l'angolo tra $R$ e l'asse stesso).
Il problema è che non sono sicuro di come integrare quest'espressione, che è nella variabile $S$, mentre $\alpha$ è anch'esso variabile. Ho pensato che possa trattarsi di un integrale doppio, e così l'ho svolto:
$dE_z = \sigma/(4\pi \epsilon_0 R^2) int dS int_{-pi/2}^{pi/2} cos \alpha d\alpha = \sigma/(2\epsilon_0)[sin\alpha]_{-pi/2}^{pi/2} = \sigma/\epsilon_0$, ma il risultato dovrebbe essere $\sigma/(4\epsilon_0)$ e io non so che pesci pigliare
.Attendo delucidazioni.
Risposte
Dai un occhio a questo thread
viewtopic.php?f=19&t=163325&hilit=Archimede#p8221481
Per quanto riguarda il tuo metodo, dimentichi che
$dS=(2\piR\sin\alpha)(Rd\alpha)$
che sostituito ti porta a integrare il seno di $2\alpha$, per $\alpha$ che va da 0 a $\pi/2$ ed infine al corretto risultato.
viewtopic.php?f=19&t=163325&hilit=Archimede#p8221481
Per quanto riguarda il tuo metodo, dimentichi che
$dS=(2\piR\sin\alpha)(Rd\alpha)$
che sostituito ti porta a integrare il seno di $2\alpha$, per $\alpha$ che va da 0 a $\pi/2$ ed infine al corretto risultato.
"RenzoDF":
Per quanto riguarda il tuo metodo, dimentichi che
$dS=(2\piR\sin\alpha)(Rd\alpha)$
Scusami, potresti spiegarmi da dove viene fuori questa formula? Credo di non averla mai vista.
EDIT: Ho visto il link che mi hai dato e ho capito. Va detto che non ci sarei mai arrivato da solo, però...
Grazie per l'aiuto.
Quella formula non è altro che la superficie infinitesima della fetta di guscio sferico relativa a un $d\alpha$, ottenuta via prodotto fra lunghezza $2\pi R \sin \alpha$ (circonferenza generica) e altezza $Rd\alpha$.
Ricordando Archimede, come hai visto, il calcolo si semplifica un po' andando ad uguagliarla alla proiezione sul cilindro circoscritto alla sfera.
Ricordando Archimede, come hai visto, il calcolo si semplifica un po' andando ad uguagliarla alla proiezione sul cilindro circoscritto alla sfera.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo