Caduta libera e geodetica
Nella mia animazione
https://www.geogebra.org/m/x6cdbjx5
l'ascensore che scende in caduta libera segue la sua geodetica?
E la segue ancora anche quando inverte la marcia e risale?
https://www.geogebra.org/m/x6cdbjx5
l'ascensore che scende in caduta libera segue la sua geodetica?
E la segue ancora anche quando inverte la marcia e risale?
Risposte
Se la cabina cade dal polo nord verso quello sud e/o viceversa, quella traiettoria mi pare sia corretta (credo si possa trascurare il moto di rivoluzione della Terra).
Si può anche fare il conto della legge oraria considerando che la forza di attrazione della Terra varia sia direttamente per la variazione della distanza dell'ascensore del centro della Terra, sia perché la massa della Terra verso cui l'ascensore è attratto si può pensare concentrata al centro della Terra stessa, ma include in ogni momento solo la massa della Terra interna alla sfera avente centro nella Terra e con raggio pari alla distanza del corpo dal centro della Terra (miracoli del calcolo integrale).
Si può anche fare il conto della legge oraria considerando che la forza di attrazione della Terra varia sia direttamente per la variazione della distanza dell'ascensore del centro della Terra, sia perché la massa della Terra verso cui l'ascensore è attratto si può pensare concentrata al centro della Terra stessa, ma include in ogni momento solo la massa della Terra interna alla sfera avente centro nella Terra e con raggio pari alla distanza del corpo dal centro della Terra (miracoli del calcolo integrale).
Si l’animazione è corretta, e si può anche fare il calcolo del tempo che il grave impiega per andare dal polo Nord al polo Sud , supponiamo. È metà del tempo che un satellite radente alla terra, quindi con velocità relativa uguale alla prima velocità cosmica $ sqrt(gR)$, impiega a fare il giro completo della terra. Il moto del grave nel tunnel non è altro che un moto armonico semplice. Siccome il satellite, supponiamo la ISS, con quella velocità impiega circa 90 minuti a fare il giro completo della terra, la metà è circa 45 min.
Ma tu stai chiedendo qualcosa che va al di là della meccanica newtoniana, e implica concetti di relatività. Allora faccio io una domanda : che cosa sai della caduta libera e delle geodetiche ? Ti auto, mettendo il link ad un mio lungo post di qualche tempo fa, dove mi sono speso non poco per scrivere qualcosa di semplice riguardo a questi
concetti. [hide="."]Il post, per la gioia di alcuni soggetti che non amano che io metta immagini, e dicono che i moderatori sono stati “magnanimi” nei miei confronti, ne contiene invece diverse![/hide]
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... a#p8440362
Ma tu stai chiedendo qualcosa che va al di là della meccanica newtoniana, e implica concetti di relatività. Allora faccio io una domanda : che cosa sai della caduta libera e delle geodetiche ? Ti auto, mettendo il link ad un mio lungo post di qualche tempo fa, dove mi sono speso non poco per scrivere qualcosa di semplice riguardo a questi
concetti. [hide="."]Il post, per la gioia di alcuni soggetti che non amano che io metta immagini, e dicono che i moderatori sono stati “magnanimi” nei miei confronti, ne contiene invece diverse![/hide]
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... a#p8440362
Le tue precisazioni sono corrette ma io vorrei sapere se i due percorsi dell'ascensore sono o non sono geodetiche spaziotemporali.
"Shackle":
Ma tu stai chiedendo qualcosa che va al di là della meccanica newtoniana, e implica concetti di relatività. Allora faccio io una domanda
Perché, prima, non rispondi alla mia domanda?
"Shackle":
Si l’animazione è corretta, e si può anche fare il calcolo del tempo che il grave impiega per andare dal polo Nord al polo Sud , supponiamo. È metà del tempo che un satellite radente alla terra, quindi con velocità relativa uguale alla prima velocità cosmica $ sqrt(gR)$, impiega a fare il giro completo della terra. Il moto del grave nel tunnel non è altro che un moto armonico semplice. Siccome il satellite, supponiamo la ISS, con quella velocità impiega circa 90 minuti a fare il giro completo della terra, la metà è circa 45 min.
Una piccola precisazione: questo vale supponendo che tutta la massa della Terra sia concentrata nel centro o, che è la stessa cosa, trascurando che l'ascensore passa "dentro" la Terra.
Altrimenti va considerato che la massa attrattiva varia con la distanza dell'ascensore dal centro, come dicevo nel messaggio precedente.
[hide="."][xdom="Faussone"]
"Shackle":
Il post, per la gioia di alcuni soggetti che non amano che io metta immagini, e dicono che i moderatori sono stati “magnanimi” nei miei confronti, ne contiene invece diverse!
Le immagini sono ben accette quando costituiscono un "di più" ad un messaggio, quando insomma la loro mancanza non pregiudicherebbe la comprensione del messaggio stesso. Questo perché le immagini non fanno parte del forum e tendono a perdersi col passare del tempo, rendendo il forum e il suo archivio inutile.
Se si tratta ad esempio di riportare formule meglio usare quindi gli appositi strumenti che il forum offre.
Per questo nel regolamento si esorta in pratica a inserire le immagini con "parsimonia".
Per lamentele sulla moderazione e affini comunque evita di scrivere messaggi pubblici, che per quanto riguarda questa stanza ti verranno nascosti appena me ne rendessi conto.
Grazie per la comprensione.[/xdom][/hide]
"LuigiFortunati":
Le tue precisazioni sono corrette ma io vorrei sapere se i due percorsi dell'ascensore sono o non sono geodetiche spaziotemporali.
Da quello che so io la risposta è sì, ma la mia conoscenza di relatività è molto limitata quindi su questo meglio che ascolti altri.
Non vedi che ho lasciato la parola a te? Sforzati un po’, non rispondo io per primo. Leggi prima il mio link, se vuoi.
Ti do un suggerimento: un corpo in caduta libera in un campo gravitazionale è in preda della sola gravità, la sua traiettoria nello ST è una geodetica.
Ti do un suggerimento: un corpo in caduta libera in un campo gravitazionale è in preda della sola gravità, la sua traiettoria nello ST è una geodetica.
Una piccola precisazione: questo vale supponendo che tutta la massa della Terra sia concentrata nel centro o, che è la stessa cosa, trascurando che l'ascensore passa "dentro" la Terra.
Faussone, non ho capito questa precisazione.
Comunque, per non farla lunga, la risposta a Luigi Fortunati è affermativa : si tratta di una geodetica, essendo il corpo in caduta libera in un campo gravitazionale. Quando il corpo arriva al polo Sud e inverte il moto, la traiettoria è ancora una geodetica, ma non c’è bisogno di considerarla distinta da quella di prima, piuttosto una continuazione. Data una geodetica, ogni pezzo i cui puoi immaginarla divisa è sempre un pezzo di geodetica, anche se cambia direzione, ma NON per intervento di forze esterne ! Sempre e solo per effetto del campo gravitazionale, il quale è lui, nel tuo caso, a cambiare direzione.
"Shackle":
Ti do un suggerimento: un corpo in caduta libera in un campo gravitazionale è in preda della sola gravità, la sua traiettoria nello ST è una geodetica.
Ok, questa è la tua risposta: l'ascensore che va su e giù, dal polo nord al polo sud e viceversa, segue la sua geodetica spaziotemporale.
Quand'è che un corpo segue la sua geodetica? Quando è in caduta libera, cioè quando non interviene alcuna forza dall'esterno.
Questo è talmente vero che la Relatività Generale ha voluto (e dovuto) eliminare ogni forza nell'ascensore in caduta libera, compreso la forza di gravità, declassata a forza apparente.
Senza rimandarmi a precedenti discussioni o ad altro, mi dici se sei d'accordo su quanto ho qui scritto?
"Shackle":
Comunque, per non farla lunga, la risposta a Luigi Fortunati è affermativa : si tratta di una geodetica, essendo il corpo in caduta libera in un campo gravitazionale. Quando il corpo arriva al polo Sud e inverte il moto, la traiettoria è ancora una geodetica, ma non c’è bisogno di considerarla distinta da quella di prima, piuttosto una continuazione. Data una geodetica, ogni pezzo i cui puoi immaginarla divisa è sempre un pezzo di geodetica, anche se cambia direzione, ma NON per intervento di forze esterne ! Sempre e solo per effetto del campo gravitazionale, il quale è lui, nel tuo caso, a cambiare direzione.
Perfetto.
E adesso, guarda la mia animazione dove c'è quella linea rossa tratteggiata e immagina che essa sia una molla (fissata al centro della Terra) che s'allunga da zero a 5 e che sostiene il moto ondulatorio dell'ascensore.
Dimmi: perché mai la forza esercitata da questa molla è reale e quella esercitata dalla gravità (che pure è la STESSA) dovrebbe essere apparente?
"LuigiFortunati":
Quand'è che un corpo segue la sua geodetica? Quando è in caduta libera, cioè quando non interviene alcuna forza dall’esterno.
Questo è talmente vero che la Relatività Generale ha voluto (e dovuto) eliminare ogni forza nell'ascensore in caduta libera, compreso la forza di gravità, declassata a forza apparente.
Senza rimandarmi a precedenti discussioni o ad altro, mi dici se sei d'accordo su quanto ho qui scritto?
No, non è cosí. La RG non ha voluto e dovuto eliminare ogni forza nell’ascensore in caduta libera. Una teoria non può permettersi di eliminare alcun fatto naturale, semmai lo interpreta in un certo modo.
La caduta libera, per cui l’ascensore e gli oggetti che stanno dentro cadono insieme, è strettamente legata alla “casuale coincidenza” (cosí la definisce Wolfgang Rindler, relativista passato ormai a miglior vita) della massa inerziale di un corpo con la sua massa gravitazionale. La forza di gravità non è declassata a forza apparente, ma la si può pensare cosí. La caduta libera e i suoi effetti si possono trattare anche in meccanica non relativistica.
LA RG è una teoria metrica della gravitazione, che si occupa di descrivere lo spaziotempo curvato da massa-energia, mettendo in relazione la curvatura dello ST , assunto come una varietà differenziabile a 4 dimensioni, col tensore energia-impulso T:
$G =kT$
è la sintesi estrema! Essa introduce una metrica che non è più piatta come quella di Minkowski della RR, e alla fine di un lungo percorso perviene a 10 equazioni differenziali di campo (equazioni di Einstein sintetizzate sopra ) tanto difficili , poiché non lineari, che sono state risolte solo in alcuni casi particolari. Quindi la RG non elimina la gravitazione, ma la interpreta in una certa maniera.
In uno spaziotempo curvo l’elemento lineare $ds^2$ può assumere forme diverse, anche oggigiorno se ne studiano sempre di nuove , e si ricavano risultati strabilianti! Ma alla fine si tratta sempre di descrivere come si comportano, in un certo ST descritto da una certa metrica, le particelle materiali e le particelle di luce , i fotoni. Un esempio è lo ST vuoto, esterno ad un buco nero statico non rotante, la cui soluzione è la metrica (cioè il $ds^2$ ) di Schwarzschild.
Devo per forza rimandarti a pubblicazioni serie, cerca anche nel forum, innumerevoli volte ho suggerito libri e corsi sel web di RG.
Ad esempio :
https://www.eftaylor.com/exploringblackholes/
è una ottima introduzione alla RG , alla seconda edizione, liberamente accessibile , scritta da tre autorità in materia. Se vuoi sapere che cosa dice, scarica dal web.
Molto buone sono anche le “lecture notes” di Sean Carroll, che sono libere sul web dal 1997 :
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019
Ma ci sono sterminate quantità di dispense sul web!
Quanto detto sopra è sufficiente penso. Non è il caso di aggiungere altro,ma nel forum ci sono vari thread dedicati. Per cui scusami, ma chiudo qui.
"Shackle":Una piccola precisazione: questo vale supponendo che tutta la massa della Terra sia concentrata nel centro o, che è la stessa cosa, trascurando che l'ascensore passa "dentro" la Terra.
Faussone, non ho capito questa precisazione.
Lo avevo spiegato nel primo messaggio di risposta a questa discussione. In altri termini: una massa che si trovi in prossimità del centro della Terra non è soggetta, quasi, a nessuna forza netta di attrazione verso il centro stesso, nell'esempio che hai fatto tu invece la forza di attrazione tenderebbe all'infinito...
Facendo i conti (se non li ho sbagliati) il periodo del moto armonico dell'ascensore sarebbe meno di un'ora e mezza.
@Faussone
Stando a profondi studi (
) sembra che "l'attraversamento" da un punto al suo antipodo sia pari a $42$ minuti ... quindi i conti tornano 
Mi è capitato di (ri)leggerlo recentemente e ... rilancio: quanto durerebbe sulla Luna?
E da Parigi a New York?
Cordialmente, Alex
Stando a profondi studi (
) sembra che "l'attraversamento" da un punto al suo antipodo sia pari a $42$ minuti ... quindi i conti tornano Mi è capitato di (ri)leggerlo recentemente e ... rilancio: quanto durerebbe sulla Luna?
E da Parigi a New York?
Cordialmente, Alex
Nel 1973 tre fisici americani, Misner, Thorne and Wheeler , scrissero un ponderoso trattato chiamandolo “Gravitation” , che io acquistai. É noto come MTW , e di recente é stato rieditato. LE pagine che riporto qui sotto sono copiate da quel trattato. Si discute proprio il moto di due particelle, che cadono in un buco praticato attraverso la Terra, descrivendo ciascuna un moto armonico. I risultati sono conformi a quanto finora detto. Questo dà un primo assaggio delle componenti del tensore di curvatura di Riemann, in un caso molto semplice, all’interno della Terra.
"axpgn":
Stando a profondi studi (
Mi è capitato di (ri)leggerlo recentemente e ... rilancio: quanto durerebbe sulla Luna?
E da Parigi a New York?
Per la Luna durerebbe poco di più (una decina di minuti abbondanti in più), anche se potrebbe sembrare strano, infatti è vero che la Luna è più piccola ma anche la gravità è più piccola.
Alla domanda tra Parigi e New York non so rispondere al volo invece, dovrei fare qualche altro conto.
Bene Faussone, come sempre 
($53$ minuti per la Luna)
Mentre Shackle esagera, come sempre
Buon Natale a Tutti (mi porto avanti )
Alex
($53$ minuti per la Luna)Mentre Shackle esagera, come sempre
Buon Natale a Tutti (mi porto avanti
)Alex
Nessuna esagerazione Alex, in quello che ho riportato, che è un piccolo assaggio di ciò che si deve affrontare quando si va a determinare l’equazione della deviazione geodetica in tutta la sua pienezza. Il vettore $vec\xi$ è il vettore della deviazione geodetica, e il calcolo (rigorosamente tensoriale, altrimenti non cavi neanche la zampetta di un ragno dal buco) della deviazione è sostanzialmente il calcolo di una derivata seconda covariante.
Il tensore di Riemann, dal suo canto, è un oggetto matematico che nello ST curvo a 4 dimensioni ha “solo” $4^4 = 256$ componenti; ma per fortuna ha tante di quelle simmetrie che le componenti indipendenti si riducono solo a 20 . Anche calcolare queste 20 componenti non é uno scherzo, ma spesso il problema in esame consente di limitare il calcolo a meno componenti.
Una volta ho svolto per intero il calcolo della deviazione geodetica completo, e non è stato semplice. Ho ancora tutti i fogli scritti a mano, ma siccome qui non vogliono che si mettano appunti scritti a mano, evito di pubblicare.
Il tensore di Riemann, dal suo canto, è un oggetto matematico che nello ST curvo a 4 dimensioni ha “solo” $4^4 = 256$ componenti; ma per fortuna ha tante di quelle simmetrie che le componenti indipendenti si riducono solo a 20 . Anche calcolare queste 20 componenti non é uno scherzo, ma spesso il problema in esame consente di limitare il calcolo a meno componenti.
Una volta ho svolto per intero il calcolo della deviazione geodetica completo, e non è stato semplice. Ho ancora tutti i fogli scritti a mano, ma siccome qui non vogliono che si mettano appunti scritti a mano, evito di pubblicare.
"axpgn":
Bene Faussone, come sempre
..comunque la domanda riguardo Parigi e New York non richiede conti con altri numeri.
In pratica per arrivare da un punto della Terra ad un altro attraverso un tunnel rettilineo che congiunge i due punti, e sotto la sola azione di gravità, ci vorrebbero sempre quei 42 minuti.
"axpgn":
Buon Natale a Tutti (mi porto avanti
Io aspetto ancora un poco per ricambiare
[xdom="Faussone"]@axpgn
Ho tolto tutti gli ot perché questo scambio secondo me non è così ot e è una curiosità che merita un minimo di attenzione.[/xdom]
[xdom="Faussone"]@Shackle
Qui nessuno vieta nulla a nessuno solo per capriccio, mi pare di averti chiarito quali sono i limiti.
Credo ora tu possa essere in grado da solo di capire se il regolamento lo stai rispettando o meno.
Comunque in questo caso ti dico direttamente io che se metti l'immagine "sotto spoiler" non vedo problemi e nessuno ti "censurerà".
Tieni conto comunque dei seguenti punti.
1) Stai rispondendo e spiegando a qualcosa che nessuno, per ora, ha chiesto, quindi potresti non avere molta soddisfazione.
2) Le immagini caricate sono "scritte sulla sabbia": a distanza di tempo potrebbero non essere più disponibili a secondo dell'host su cui le carichi (questo lo hai già visto con i post più vecchi tuoi o di altri tuoi "predecessori").
Insomma lo sforzo potrebbe non valere la pena, ma vedi tu.[/xdom]
Qui nessuno vieta nulla a nessuno solo per capriccio, mi pare di averti chiarito quali sono i limiti.
Credo ora tu possa essere in grado da solo di capire se il regolamento lo stai rispettando o meno.
Comunque in questo caso ti dico direttamente io che se metti l'immagine "sotto spoiler" non vedo problemi e nessuno ti "censurerà".
Tieni conto comunque dei seguenti punti.
1) Stai rispondendo e spiegando a qualcosa che nessuno, per ora, ha chiesto, quindi potresti non avere molta soddisfazione.
2) Le immagini caricate sono "scritte sulla sabbia": a distanza di tempo potrebbero non essere più disponibili a secondo dell'host su cui le carichi (questo lo hai già visto con i post più vecchi tuoi o di altri tuoi "predecessori").
Insomma lo sforzo potrebbe non valere la pena, ma vedi tu.[/xdom]
Be’ , siccome l’OP ha chiesto se l’ascensore che scende e sale nel tunnel descrive una geodetica, gli ho risposto su questo innanzitutto. E avendo egli cominciato a chiosare sulla RG , ho dato un colpo di barra al timone.
Poi, si sa, una cosa tira l’altra, da cosa nasce cosa...e cosí sono andato a pescare nella memoria l’esempio di MTW, che ho riportato sotto spoiler, e credo sia in argomento e interessante di per sé, no ?
Quindi non capisco perché Alex dica che esagero, visto che quanto riportato è pertinente, finora, al buco nella terra e alle domande dell’OP. Le figure e le spiegazioni di MTW hanno bisogno spesso di ulteriori e semplici chiarificazioni, perchè non è per nulla un libro facile.
Ma ora effettivamente non conviene proseguire.
Poi, si sa, una cosa tira l’altra, da cosa nasce cosa...e cosí sono andato a pescare nella memoria l’esempio di MTW, che ho riportato sotto spoiler, e credo sia in argomento e interessante di per sé, no ?
Quindi non capisco perché Alex dica che esagero, visto che quanto riportato è pertinente, finora, al buco nella terra e alle domande dell’OP. Le figure e le spiegazioni di MTW hanno bisogno spesso di ulteriori e semplici chiarificazioni, perchè non è per nulla un libro facile.
Ma ora effettivamente non conviene proseguire.
@Faussone
Perfect!
Comunque sembra che qualcuno ci abbia pensato seriamente a qualcosa del genere (per andare da Parigi a New York); se ritrovo gli articoli che avevo letto, li posto (improbabile ...)
@Shackle
Era una battuta (e ci ho pure messo ben due "faccine" stavolta ma non è bastato).
Volevo solo sottolineare, cordialmente, che talvolta sei un pochino "estremo" (o forse più semplicemente, come dice Faussone, non ne vale la pena )
Cordialmente, Alex
Perfect!
Comunque sembra che qualcuno ci abbia pensato seriamente a qualcosa del genere (per andare da Parigi a New York); se ritrovo gli articoli che avevo letto, li posto (improbabile ...)
@Shackle
Era una battuta (e ci ho pure messo ben due "faccine" stavolta ma non è bastato).
Volevo solo sottolineare, cordialmente, che talvolta sei un pochino "estremo"
(o forse più semplicemente, come dice Faussone, non ne vale la pena )Cordialmente, Alex
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