Caduta dei gravi nel caso generale

[boba74]

Salve, cercando in rete non sono riuscito a trovare una trattazione relativa al problema della caduta dei gravi nel caso "generale", ossia non considerando l'ipotesi semplificativa g=costante (valida a rigore solo in prossimità della superficie terrestre), bensì il caso generale partendo dalla gravitazione universale, ma sempre riferito a un grave sul pianeta Terra che cade da un'altezza qualunque.
Se parto dalla legge di gravitazione universale tentando di risolvere le equazioni generali del moto, anche limitandomi al caso di caduta verticale (senza componenti trasversali, senza considerare l'attrito dell'aria e la rotazione terrestre), mi pare risultino equazioni differenziali non lineari, dato che la variabile "altezza" compare anche al denominatore. O forse mi sbaglio?
Immagino esista una soluzione analitica...

[Faussone]

Non sbagli, credo che non esista una funzione analitica soluzione dell'equazione non lineare che ne viene, si può comunque risolvere numericamente in modo relativamente semplice.

[Lucacs1]

Credo si chiami problema dei due corpi, e si trova

[Shackle]

Supponiamo che la massa del pianeta $M$ ( che potrebbe essere la Terra, di raggio R ) sia molto maggiore della massa m del corpo che è attratto : m<< M , sicché possiamo non prendere in esame il problema dei due corpi ; la massa $m$ sia inizialmente in “quiete" a grande distanza $D$ dal centro O della Terra, assunto come origine di un riferimento inerziale a sua volta in quiete rispetto alle stelle fisse; trascuriamo cioè ogni moto terrestre.
Il corpo $m$ é lasciato andare in caduta libera radiale , a partire dalla distanza $D$ ; l’unica variabile qui è $r(t)$.

l’equazione differenziale del moto è questa :

$ m (d^2 r ) / (dt^2) = (GMm) /r^2$

che si puó scrivere semplificando m : $ (d^2 r ) / (dt^2) = (GM) /r^2 = K/r^2$ ( $K=GM$ è la costante gravitazionale del pianeta)

Però , se siamo interessati a determinare solo la velocità con cui il corpo arriva a terra , si può applicare la conservazione dell’energia ( quella del momento angolare è scontata, anzi, nell’ipotesi fatta di caduta puramente radiale, il momento angolare è nullo ), supponendo nulla la velocità iniziale perche $m$ è lasciata in caduta libera; perciò :

$-K/r + 1/2v^2 = - K/D $

da cui : $ v^2 = 2K(1/r -1/D) =2GM(1/r -1/D)$

per esempio, si può trovare la velocità di caduta sulla terra inserendo la costante $K= GM_t$ di questa , e $r =R_t$

Questo valore differisce alquanto da quello che si calcola con la formula : $ v^2 = 2gh $ che si prende quando, in prossimità, si suppone g = “costante" per tutta l’altezza di caduta.

Ma questa velocità dipende dal valore di $D$ ovviamente. Se supponiamo che : $D = infty$ , si avrebbe semplicemente :

$v^2 = (2K)/R_t rarr v= sqrt((2K)/R_t) $

Si vede che questa è la stessa espressione della velocità di fuga dalla Terra , infatti facendo il calcolo si trova:

$v = 11.2 (km)/s$

In quanto al tempo di caduta da una certa altezza data, è una questione un po’ più brigosa. Ho trovato, in un vecchio libro di esercizi di MR ( di Dario Graffi) , l’esercizio sotto spoiler , in cui si calcola il tempo di caduta di un pianeta sul Sole, se il pianeta venisse “fermato” . Come vedi, la soluzione considera la "massa ridotta” del pianeta, come nel problema dei due corpi , e applica la conservazione dell’energia come prima detto, ponendo :

$mu = 2k(M+m)$

e $k= G =$ costante di gravitazione universale ( non è la stessa costante $ K = GM $ che ho scritto prima, attenzione! )

Poi procede risolvendo l’equazione differenziale :

$((dz)/(dt))^2 = mu(1/z - 1/a) $

mediante separazione di variabili , come vedi, e scrive degli integrali che mi spaventano solo a guardarli ...

Alla fine , trova l’espressione del tempo di caduta della pianeta sul Sole , che per la Terra è circa 64 giorni , e evidenzia una cosa interessante : il tempo di caduta è circa $1/6$ del suo periodo di rivoluzione attorno al Sole.